■河南省許昌高級(jí)中學(xué) 徐文建

兩“板斧”解決三角形的形狀判斷問題

■河南省許昌高級(jí)中學(xué) 徐文建

編者的話:“經(jīng)典題突破方法”欄目里例、習(xí)題選名校模擬題或三年高考真題,推出本欄目的主要目的是讓同學(xué)們更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)解題思想方法,通過多解多變培養(yǎng)同學(xué)們多思多想的好習(xí)慣。學(xué)會(huì)解題反思,無疑是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一條捷徑,愿同學(xué)們不斷在反思中進(jìn)步,在反思中收獲!

三角形形狀的判斷問題,是正、余弦定理應(yīng)用的衍生,也是解三角形中常見問題之一,其問題形式多變,方法靈活。但其常用方法有兩種,掌握這兩種基本方法,可使得三角形的形狀判斷問題迎刃而解。

利用正、余弦定理判斷三角形形狀的基本方法:

1.“角化邊”:利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系,通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀。

2.“邊化角”:利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過三角函數(shù)恒等變形,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀,此時(shí)要注意應(yīng)用A+B+C=π這個(gè)結(jié)論。

問題:設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,如果bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為( )。

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.銳角三角形 D.不確定

解析:依據(jù)題設(shè)條件的特點(diǎn),由正弦定理,得sinBcosC+cosBsinC=sin2A,有sin(B+C)=sin2A,從而sin(B+C)=sinA=sin2A,解得sinA=1,故應(yīng)選B。

答案:B

變式1:若將問題中的條件改為“如果asinA+bsinB＜csinC”,則△ABC的形狀為( )。

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.不確定

解析:由正弦定理可將asinA+bsinB＜csinC化為a2+b2＜c2,由余弦定理得cos故C是鈍角。

答案:C

變式2:若將問題中的條件改為“如果acosA=bcosB”,那么△ABC一定是( )。

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

解析:由正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB?sin2A=sin2B,因?yàn)?A,2B∈(0,π),所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=故選D。

答案:D

變式3:若將問題中的條件改為“若2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,且sinB+sinC=1”,試判斷△ABC的形狀。

解析:由已知,根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,cos則sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC。

變式4:若將問題中的條件改為“如果△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13”,則△ABC( )。

A.一定是銳角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是鈍角三角形

D.可能是銳角三角形,也可能是鈍角三角形

解析:在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,所以a∶b∶c=5∶11∶13,故設(shè)a=5k,b=11k,c=13k(k＞0),由余弦定理可得:

所以△ABC為鈍角三角形。

答案:C

變式5:若將問題中的條件改為“如果a2+b2-c2=ab,且2cosAsinB=sinC”,請(qǐng)確定△ABC的形狀。

解法一:(利用邊的關(guān)系來判斷)由正弦定理得

又因?yàn)閍2+b2-c2=ab,所以2b2-c2=b2,b2=c2,b=c。所以有a=b=c。

故△ABC為等邊三角形。

解法二:(利用角的關(guān)系來判斷)因?yàn)锳+B+C=180°,所以sinC=sin(A+B)。

又因?yàn)?cosAsinB=sinC,故2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,sin(A-B)=0。

又因?yàn)锳與B均為△ABC的內(nèi)角,所以A=B。

又由a2+b2-c2=ab,根據(jù)余弦定理,得cos又0°＜C＜180°,所以C=60°。

所以△ABC為等邊三角形。

變式6:若將問題中的條件改為“(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)”,試判斷三角形的形狀。

解析:因?yàn)?a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),所以b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)]。

故2sinAcosB·b2=2cosAsinB·a2,即a2cosAsinB=b2sinAcosB。

方法一:由正弦定理知B,故sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB。

又sinA·sinB≠0,故sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B。在△ABC中,0＜2A＜2π,0＜2B＜2π。故2A=2B或2A=π-2B,A=B或A+B=

故△ABC為等腰三角形或直角三角形。

方法二:由正弦定理、余弦定理得:

所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,a2-b2=0或a2+b2-c2=0。

解得a=b或a2+b2=c2,所以△ABC為等腰三角形或直角三角形。

特別提醒:1.無論使用哪種方法,都不要隨意約掉公因式。要移項(xiàng)提取公因式,否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能。

2.在判斷三角形形狀時(shí)一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隱含條件。另外,在變形過程中要注意角A,B,C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響。

(責(zé)任編輯 徐利杰)