“新定義”型問題中的推理探究

■陜西省洋縣中學(xué) 劉大鳴(特級(jí)教師) 朱永明

“新定義”型問題,主要是指在問題中定義了同學(xué)們沒有學(xué)過的一些新概念、新運(yùn)算、新符號(hào),要求同學(xué)們讀懂題意并結(jié)合已有的知識(shí)、能力進(jìn)行理解,并根據(jù)新的定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型。這類題目具有啟發(fā)性、思考性、挑戰(zhàn)性和隱蔽性等特點(diǎn),由于它構(gòu)思巧妙,題意新穎,是考查同學(xué)們核心素養(yǎng)、挖掘同學(xué)們潛力的較佳題型,因而受到命題者的青睞。下面對(duì)“新定義”中的推理探究題進(jìn)行提煉,希望對(duì)同學(xué)們有所幫助。

題型1 定義的新概念問題“照章辦事”,逐條“分析、驗(yàn)證、運(yùn)算”推理

(2017年四川省成都市高三模擬)設(shè)S,T是R的兩個(gè)非空子集,如果存在一個(gè)從S到T的函數(shù)y=f(x)滿足:(1)T ={f(x)|x∈S};(2)對(duì)任意x1,x2∈S,當(dāng)x1＜x2時(shí),恒有f(x1)＜f(x2),那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”。以下集合對(duì)不是“保序同構(gòu)”的是( )。

A.A=N*,B=N

B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0＜x≤10}

C.A={x|0＜x＜1},B=R

D.A=Z,B=Q

解析：由題中(1)可知,S為函數(shù)y= f(x)的定義域,T為函數(shù)y=f(x)的值域。由(2)可知,函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,對(duì)于選項(xiàng)A,可構(gòu)造函數(shù)y=x-1,x∈N*,y∈N,滿足條件;對(duì)于選項(xiàng)B,可構(gòu)造函數(shù)滿足條件;對(duì)于選項(xiàng)C,構(gòu)造函數(shù)(0,1),滿足條件;對(duì)于選項(xiàng)D,無法構(gòu)造其定義域?yàn)閆,值域?yàn)镼且遞增的函數(shù),故選D。

點(diǎn)評(píng):對(duì)于新定義問題,一定要讀懂新定義的本質(zhì),緊扣題目所給定義合理進(jìn)行構(gòu)造推理,本題依據(jù)兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”的定義,構(gòu)建函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則,滿足定義域到值域的映射且為增函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,再進(jìn)行驗(yàn)證推理判斷,切忌新定義同已有概念或定義相混淆。

題型2 定義的新運(yùn)算依據(jù)“新法則”合理運(yùn)算和推理

(2017屆四川省雅安中學(xué)高三月考)一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)稱為第k位碼元。二元碼是通信中常用的碼,但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?),已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組:其中運(yùn)算⊕定義為:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0?，F(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101,那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于____。

解析：根據(jù)二元碼運(yùn)算法則,按照所給的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算,由題意得相同數(shù)字經(jīng)過運(yùn)算后為0,不同數(shù)字運(yùn)算后為1;由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0可判斷后4個(gè)數(shù)字出錯(cuò)(可用反證法):由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0可判斷后2個(gè)數(shù)字沒錯(cuò)(可用反證法),即出錯(cuò)的是第4個(gè)或第5個(gè);由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0可判斷出錯(cuò)的是第5個(gè)。綜上,第5位發(fā)生碼元錯(cuò)誤。

點(diǎn)評(píng):新定義的運(yùn)算問題,關(guān)鍵在于找到元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系再進(jìn)行合理運(yùn)算,有時(shí)需要借助圖表尋找關(guān)系,利用對(duì)應(yīng)關(guān)系列方程求解。本題結(jié)合運(yùn)算法則“相同數(shù)字經(jīng)過運(yùn)算后為0,不同數(shù)字運(yùn)算后為1”和校驗(yàn)方程組以及“反證法”由后向前進(jìn)行逆推和計(jì)算,最后得到結(jié)果。

題型3 集合中的“新定義”抓代表元素驗(yàn)證其屬性推理

(2017屆山東省濰坊市高三月考)已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若對(duì)于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,則稱集合M是“理想集合”。給出下列4個(gè)集合:①M(fèi)1=;②M2={(x,y)|y= s i nx};③M3={(x,y)|y=ex-2};④M4= {(x,y)|y=l gx}。其中所有“理想集合”的序號(hào)是( )。

A.①③ B.②③

C.②④ D.③④

解析：由題意得,設(shè)A(x1,y1),B(x2, y2),由x1x2+y1y2=0可知對(duì)于①是以x軸,y軸為漸近線的雙曲線,漸近線的夾角為90°,所以當(dāng)點(diǎn)A、B在同一支上時(shí),∠A O B＜90°,當(dāng)點(diǎn)A、B不在同一支上時(shí),∠A O B＞90°,不存在,故①不正確;對(duì)于②,通過對(duì)圖像的分析發(fā)現(xiàn),對(duì)于任意的點(diǎn)A都能找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B,使得成立,故正確;對(duì)于③,由圖像可得直角始終存在,故正確;對(duì)于④,由圖像可知,點(diǎn)(1,0)在曲線上不存在另外一個(gè)點(diǎn),使得成立,故錯(cuò)誤。故②③對(duì),應(yīng)選B。

點(diǎn)評(píng):對(duì)于新定義的集合,抓代表元素,根據(jù)新概念、新定義或新運(yùn)算,明確集合中元素的特點(diǎn)和元素的產(chǎn)生過程,構(gòu)造出符合要求的情境,再進(jìn)行新概念和集合運(yùn)算,合理進(jìn)行推理判斷。本題“理想集合”通過x1x2+y1y2=0就是在函數(shù)的曲線上任意一個(gè)點(diǎn)A都能找到一個(gè)點(diǎn)B,使得成立的解析式,然后對(duì)函數(shù)解析式逐一推理判斷。

題型4 根據(jù)函數(shù)中的“新定義”捕捉信息,合理轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)或圖像求解

(2017屆遼寧省盤錦市高中月考)如果定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)于任意x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)＞x1f(x2)+x2f(x1),則稱f(x)為“H函數(shù)”。給出下列函數(shù):①y=-x3+x+1;②y=3x-2(s i nx-co sx);③y=ex+1;④其中為“H函數(shù)”的是____。

解析：因?yàn)閷?duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)x1,x2,不等式x1f(x1)+x2f(x2)＞x1· f(x2)+x2f(x1)恒成立,所以不等式等價(jià)為(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≥0恒成立,即函數(shù)f(x)是定義在R上的“不減函數(shù)”即無遞減區(qū)間。①函數(shù)y=-x3+x+1,則y'= -3x2+1,在上為增函數(shù),其他區(qū)域?yàn)闇p函數(shù),不滿足條件。②y=3x-2(s i nx -co sx),y'=3-2co sx+2s i nx=3-函數(shù)單調(diào)遞增,滿足條件。③y=ex+1是定義在R上的增函數(shù),滿足條件。當(dāng)x≥1時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)x＜1時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,不滿足條件。故答案為②③。

點(diǎn)評(píng):函數(shù)的“新定義”,應(yīng)依據(jù)要求分析新定義的特點(diǎn),弄清新定義的性質(zhì),按新定義的要求,“照章辦事”,逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算,使問題得以解決。本題通過新定義可知f(x)為“H函數(shù)”即為“不減函數(shù)”,判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論。

題型5 不等式中的“新定義”合理轉(zhuǎn)化為均值不等式求最值

對(duì)于使x2-2x≥M成立的所有常數(shù)M中,我們把M的最大值-1,稱為函數(shù)x2-2x的“下確界”。若x,y,z∈R+,且的“下確界”為____。

點(diǎn)評(píng):函數(shù)“下確界”來源于高等數(shù)學(xué),這要求同學(xué)們認(rèn)真閱讀題意,在充分理解題意的基礎(chǔ)上,求的最小值,運(yùn)用學(xué)過的均值不等式知識(shí)求出相應(yīng)函數(shù)的最值。

題型6 三角中的“新定義”依據(jù)定義和三角知識(shí)驗(yàn)證判斷或計(jì)算推理

(北京市海淀區(qū)2017屆高三第一學(xué)期期末測(cè)試)已知△AB C,若存在△A1B1C1,滿足1,則稱△A1B1C1是△AB C的一個(gè)“友好”三角形。在滿足下述條件的三角形中,存在“友好”三角形的是____:(寫出符合要求條件的序號(hào))

(1)①A=90°,B=60°,C=30°;

②A=75°,B=60°,C=45°;

③A=75°,B=75°,C=30°。

(2)若等腰△AB C存在“友好”三角形,且其頂角的度數(shù)為____。

解析：(1)由“友好”三角形和三角形中的三角變換逐一驗(yàn)證,

對(duì)于①A=90°,B=60°,C=30°,則co sA=co s90°=0不滿足題意,不存在“友好”三角形;對(duì)于②,若,且A=75°,B=60°,C=45°,取A +A1=90°,A1=15°,同理取B1=30°,C1= 135°,△AB C存在“友好”三角形;對(duì)③,若=1,且A=75°,B= 75°,C=30°,取A1=15°,B1=15°,C1=60°或120°都不能構(gòu)成三角形,即不存在“友好”三角形。

(2)依據(jù)等腰三角形存在“友好”三角形的特點(diǎn),求其頂角的值,若等腰△AB C存在“友好”三角形,則A=B,所以A+A+C= 180°。A1=B1=90°-A,C1=90°-C或C1=90°+C,分析可知C1=90°+C。

所以A1+B1+C1=180°,即270°-2A +C=180°,2C=90°,故C=45°,即頂角的度數(shù)為45°。

點(diǎn)評(píng):依據(jù)題意,挖掘新定義的意義,結(jié)合三角知識(shí)要么逐一推理判斷,要么依據(jù)定義合理計(jì)算確定其屬性,本題“友好”三角形的判斷和由“友好”三角形確定原三角形頂角的過程,都用到了誘導(dǎo)公式和組成三角形的條件。

題型7 數(shù)列中的“新定義”依據(jù)定義和數(shù)列知識(shí)驗(yàn)證判斷或推理證明

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都大于3,則稱這個(gè)數(shù)列為“S型數(shù)列”。

(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=4,a2=8,an+an-1=8n-4(n≥2,n∈N*),求證:數(shù)列{an}是“S型數(shù)列”;

(2)已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)與公比q均為正整數(shù),且{an}為“S型數(shù)列”,記bn=,當(dāng)數(shù)列{bn}不是“S型數(shù)列”時(shí),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解析：(1)由“S型數(shù)列”定義結(jié)合數(shù)列知識(shí)證明數(shù)列{an}是“S型數(shù)列”。

由題設(shè)知an+1+an=8n+4。①

an+an-1=8n-4。②

①-②得an+1-an-1=8。而a1=4,a2=8,所以a2n=8n,a2n-1=8n-4。

因此an=4n,從而an-an-1=4＞3,所以,數(shù)列{an}是“S型數(shù)列”。

(2)利用{an}為“S型數(shù)列”,{bn}不是“S型數(shù)列”,結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)及單調(diào)性兩邊逼近求出其通項(xiàng)公式。由題意可知a1≥1,且an-an-1＞3,因此{(lán)bn-bn-1}單調(diào)遞增且q≥2。而(an-an-1)-(an-1-an-2)= an-1(q-1)-an-2(q-1)=(q-1)(an-1-an-2)＞0,所以{an-an-1}單調(diào)遞增。

又{bn}不是“S型數(shù)列”,所以存在n0,使得bn0

-bn0-1≤3。則b2-b1≤bn0-bn0-1≤3,a1(q-1)≤4。

又因?yàn)閍2-a1＞3,即a1(q-1)＞3且a1,q∈N*,所以a1(q-1)=4。

從而a1=4,q=2或a1=2,q=3或a1= 1,q=5,即an=2n+1或an=2·3n-1或an= 5n-1。

點(diǎn)評(píng):數(shù)列的“新定義”問題,關(guān)鍵是合理利用給定的定義與性質(zhì),結(jié)合相應(yīng)的數(shù)列知識(shí)來處理。本題(1)中,由題設(shè)遞推關(guān)系變形,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及新定義證明數(shù)列{an}是“S型數(shù)列”;(2)中由{an}為“S型數(shù)列”,{bn}不是“S型數(shù)列”,可結(jié)合數(shù)列單調(diào)性,兩邊逼近求出首項(xiàng)和公比確定其通項(xiàng)公式,解法耐人回味。

題型8 圓錐曲線中的新定義題型可運(yùn)用定義合理轉(zhuǎn)化為“定點(diǎn)、定值及最值”問題

(2017屆江西師大附中、鷹潭一中高三第一次聯(lián)考)已知拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2p x(p＞0),M為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn),A(a,0)(a≠0)為其對(duì)稱軸上一點(diǎn),直線MA與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為N。當(dāng)A為拋物線C的焦點(diǎn)且直線MA與其對(duì)稱軸垂直時(shí),△MON的面積為18。(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)記若t值與M點(diǎn)位置無關(guān),則稱此時(shí)的點(diǎn)A為“穩(wěn)定點(diǎn)”,試求本題中所有“穩(wěn)定點(diǎn)”。

(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN的方程為x=m y+a。得 y2-12m y-12a=0,Δ=144m2+48a＞0,y1+y2=12m,y1y2=-12a。

由對(duì)稱性,不妨設(shè)m＞0。

①a＜0時(shí),因?yàn)閥1y2=-12a＞0,所以y1,y2同號(hào)。

②當(dāng)a＞0時(shí),y1y2=-12a＜0,故y1y2異號(hào)。

當(dāng)a-3=0,即a=3時(shí),t與m無關(guān),此時(shí)A(3,0)為“穩(wěn)定點(diǎn)”。

點(diǎn)評(píng):圓錐曲線中的“新定義”,合理轉(zhuǎn)化為“定點(diǎn)、定值及最值”問題,這是解析幾何的本質(zhì)——代數(shù)的方法研究幾何問題所決定的。本題將“穩(wěn)定點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為定值的探究,設(shè)直線方程,聯(lián)立方程組,合理構(gòu)建目標(biāo)式t=,分類用坐標(biāo)表示,由穩(wěn)定點(diǎn)的意義確定a的值,其中“設(shè)而不求、整體和消元”思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算過程。

題型9 導(dǎo)數(shù)中的“新定義”合理轉(zhuǎn)化為“函數(shù)的極值、最值和不等式”問題

(1)若函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

(2)對(duì)于函數(shù)f(x),f1(x),f2(x),若對(duì)于區(qū)間D上的任意一個(gè)x,都有f1(x)＜f(x)＜f2(x),則稱函數(shù)f(x)是函數(shù)f1(x),f2(x)在區(qū)間D上的一個(gè)“分界函數(shù)”。已知f1(x)=(1-a2)l nx,f2(x)= (1-a)x2,是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)是函數(shù)f1(x),f2(x)在區(qū)間(1,+∞)上的一個(gè)“分界函數(shù)”?若存在,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;若不存在,說明理由。

(2)利用“分界函數(shù)”的定義合理轉(zhuǎn)化。若函數(shù)f(x)是函數(shù)f1(x),f2(x)在區(qū)間(1,+∞)上的一個(gè)“分界函數(shù)”,則當(dāng)x∈(1, +∞)時(shí),f(x)-(1-a)x2＜0恒成立,且f(x)-(1-a2)l nx＞0恒成立。記h(x)=

不妨記m(x)=f(x)-(1-a2)l nx=

故m(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,由f(x)-(1-a2)l nx＞0恒成立,得m(1)≥0,得

點(diǎn)評(píng):導(dǎo)數(shù)中的新定義轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值、最值或不等式恒成立問題,本題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題,常用方法: (1)分離參數(shù)法,將原不等式分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)最值問題,利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值,根據(jù)要求得所求范圍。(2)函數(shù)思想法,將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題,利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值或最值,然后構(gòu)建不等式求解。

綜上所述,“新定義”型的問題,通常是選取合適的數(shù)學(xué)背景,把新定義、新運(yùn)算巧妙地融入到試題中來,雖然它的構(gòu)思巧妙、題意新穎、隱蔽性強(qiáng),到處都體現(xiàn)出新意,但它考查的還是基本知識(shí)和基本技能,解題的關(guān)鍵在于全面準(zhǔn)確理解題意,科學(xué)合理地推理運(yùn)算。因此,“新題”不一定是“難題”,只有夯實(shí)基礎(chǔ),掌握好雙基,以不變應(yīng)萬變才是我們?nèi)俚姆▽殹?/p>

(責(zé)任編輯 徐利杰)