■四川省廣漢市第六中學(xué) 劉浩平

利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍

■四川省廣漢市第六中學(xué) 劉浩平

在導(dǎo)數(shù)類問題中,我們經(jīng)常見到已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍的題型。解決這類問題大多數(shù)同學(xué)想到的首先是通過(guò)“參變分離”的方法把問題轉(zhuǎn)化為恒成立的不等式。然后,再求得含變量部分的最大值(或最小值),從而得到參數(shù)的最值。但是,這一方法有一弊端,那就是需要“參變分離”,一旦“參變分離”行不通這種方法就不可行了。所以,還應(yīng)掌握另一方法——利用集合間的包含關(guān)系求參數(shù)范圍。

一、轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題求參數(shù)范圍

(1)求b,c的值;

(2)若a>0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+2x,且g(x)在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析:(1)f'(x)=x2-ax+b,由題意得解得,

(2)由(1)得,f'(x)=x2-ax=x(xa)(a>0)。當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f'(x)>0。所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a)。

(3)g'(x)=x2-ax+2,依題意,存在x∈(-2,-1),使不等式g'(x)=x2-ax+ 2<0成立,即x∈(-2,-1)時(shí),。而=-22,于是,當(dāng)且僅當(dāng),即x=-2時(shí)等號(hào)成立,所以滿足要求的a的取值范圍是(-∞,-22)。

點(diǎn)評(píng):轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題求參數(shù)范圍的解決途徑是:利用“若函數(shù)單調(diào)遞增,則f'(x)≥0;若函數(shù)單調(diào)遞減,則f'(x)≤0”來(lái)求解。其中,要用到“參變分離”的方法獲得恒成立的不等式。

二、利用集合間的包含關(guān)系求參數(shù)范圍

已知函數(shù)f(x)=lnx-a2x2+ ax(a∈R)。

(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=lnx-x2+ x,其定義域是(0,+∞),則。令f'(x)=0,解得或x=1。又x>0,故x=1。當(dāng)0< x<1時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0。所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞)。

(2)顯然函數(shù)f(x)=lnx-a2x2+ax的定義域?yàn)?0,+∞),所以

②當(dāng)a>0時(shí),f'(x)≤0(x>0)等價(jià)于(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即。此時(shí)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為由得a≥1。

③當(dāng)a<0時(shí),f'(x)≤0(x>0)等價(jià)于(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即此時(shí)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為由,得

點(diǎn)評(píng):利用集合間的包含關(guān)系處理求參數(shù)范圍的解決途徑是:y=f(x)在(a,b)上單調(diào),則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集。需要特別提醒的是:f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f'(x)≠0。應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略,否則漏解。

(責(zé)任編輯 王福華)