■湖北省武漢市黃陂區(qū)第六中學(xué) 梅 磊

決勝高考導(dǎo)數(shù)壓軸題

■湖北省武漢市黃陂區(qū)第六中學(xué) 梅 磊

由于導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識,不等式是高中數(shù)學(xué)最重要的工具之一,對中學(xué)生來說,導(dǎo)數(shù)與不等式問題具有思維能力要求高、解題方法靈活、難度大等特點(diǎn),所以幾乎每年高考數(shù)學(xué)理科卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)不等式問題。本文結(jié)合近幾年高考數(shù)學(xué)理科卷的壓軸題,對導(dǎo)數(shù)與不等式問題進(jìn)行分類例析,希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)能有所幫助。

一、函數(shù)不等式的證明問題

(1)求a,b的值;

(2)證明:f(x)>1。

設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,則g'(x)=1+ lnx。當(dāng)時,g'(x)<0;當(dāng)x∈時,g'(x)>0。故g(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以g(x)在(0,+∞)上的最小值為所以

綜上所述,當(dāng)x>0時,g(x)>h(x),即f(x)>1。

點(diǎn)評:本題第(1)問考查函數(shù)圖像在某一點(diǎn)處的切線與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,即導(dǎo)數(shù)的幾何意義,比較簡單。第(2)問是函數(shù)不等式的證明問題,要證明不等式f(x)>1,常用的方法是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的大致圖像,進(jìn)而得到結(jié)論。但本題不易求出f'(x)的零點(diǎn),從而需要同學(xué)們打破常規(guī)思路,將要證明的不等式合理轉(zhuǎn)化。將證明不等式轉(zhuǎn)化為證明不等式后,問題便迎刃而解。

二、函數(shù)不等式中參數(shù)的取值范圍問題

設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b, g(x)=ex(cx+d)。若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P有相同的切線y=4x+2。

(1)求a,b,c,d的值;

(2)若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍。

解析:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2, f'(0)=4,g'(0)=4。而f'(x)=2x+a, g'(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a= 4,d+c=4。從而a=4,b=2,c=2,d=2。

(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2, g(x)=2ex(x+1)。設(shè)函數(shù)F(x)= kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,則F'(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+ 2)·(kex-1)。由題設(shè)可得F(0)≥0,即k≥1。令F'(x)=0,得x1=-lnk,x2=-2。

①若1≤k0。所以F(x)在(-2,-lnk)上單調(diào)遞減,在(-lnk,+∞)上單調(diào)遞增。故F(x)在[-2,+∞)上的最小值為F(-lnk)。而F(-lnk)= -2lnk+2-(-lnk)2-4(-lnk)-2= lnk·(-lnk+2)≥0,故當(dāng)x≥-2時, F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立。

②若k=e2,則F'(x)=2e2(x+2)(exe-2),從而當(dāng)x>-2時,F'(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上單調(diào)遞增。而F(-2)=0,故當(dāng)x≥-2時,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立。

③若k>e2,則F(-2)=-2ke-2+2= -2e-2(k-e2)<0,從而當(dāng)x≥-2時, f(x)≤kg(x)不可能恒成立。

綜上可知,k的取值范圍是[1,e2]。

點(diǎn)評:本題以不同函數(shù)在同一點(diǎn)處有相同切線為立意命題,第(1)問考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,比較簡單。第(2)問是求函數(shù)不等式中參數(shù)的取值范圍問題?？梢岳胒(x)≤kg(x)構(gòu)造出新的函數(shù)F(x)=kg(x)-f(x),并靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的性質(zhì),從而求出有關(guān)參數(shù)的取值范圍。

三、導(dǎo)數(shù)綜合題中間接考查不等式問題

(Ⅰ)當(dāng)a為何值時,x軸為曲線y= f(x)的切線?

(Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x> 0),討論h(x)零點(diǎn)的個數(shù)。

解析:(Ⅰ)設(shè)曲線y=f(x)與x軸相切于點(diǎn)(x0,0),則f(x0)=0,f'(x0)=0,即解得

(Ⅱ)當(dāng)x∈(1,+∞)時,可知g(x)= -lnx<0,則h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故h(x)在(1,+∞)上無零點(diǎn)。

當(dāng)x∈(0,1)時,g(x)=-lnx>0,所以只需考慮f(x)在(0,1)上的零點(diǎn)個數(shù)。

(1)若a≤-3或a≥0,則f'(x)= 3x2+a在(0,1)上無零點(diǎn),故f(x)在(0,1)上單調(diào)。而,所以,當(dāng)a≤-3時,f(x)在(0,1)上有一個零點(diǎn);當(dāng)a≥0時,f(x)在(0,1)上沒有零點(diǎn)。

點(diǎn)評:本題第(Ⅰ)問仍然是考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的基礎(chǔ)題型,比較簡單。第(Ⅱ)問在“最小值函數(shù)”這個特殊背景下命題,對同學(xué)們提出了“破解定勢,思考本質(zhì)”的要求。很多同學(xué)發(fā)現(xiàn)這道題是一個分段函數(shù)以后,就試圖去求兩個函數(shù)的交點(diǎn),從而寫出函數(shù)的解析式。但是本題聯(lián)立兩個方程后得到一個超越方程,無法求解。本題是求“零點(diǎn)的個數(shù)”問題,一味地去找分段邊界無異于舍本逐末。事實上,只要觀察f(x)的零點(diǎn)位置與g(x)的零點(diǎn)位置之間的關(guān)系即可。

縱觀以上三道例題,第一問都是涉及曲線的切線問題,即考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,同學(xué)們要引起重視。第二問雖然考查形式不同,但實質(zhì)都是導(dǎo)數(shù)與不等式問題,突出考查轉(zhuǎn)化與化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想。

高考導(dǎo)數(shù)壓軸題以考查函數(shù)的單調(diào)性為核心,研究函數(shù)的單調(diào)性實際上就是研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的最值與函數(shù)的單調(diào)性緊密相連,而不等式又與函數(shù)的最值密切相關(guān),所以解決高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的關(guān)鍵在于不等式。

同學(xué)們可以將近幾年的高考數(shù)學(xué)卷中的導(dǎo)數(shù)壓軸題加以練習(xí),不斷地在式子的變形中觀察對比結(jié)構(gòu)特征,求同存異,提煉有效信息,積累解題經(jīng)驗,體會高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的特點(diǎn)和突破策略,必然會形成屬于自己的自然而常規(guī)的思路,從而能有效地提高導(dǎo)數(shù)壓軸題復(fù)習(xí)備考的效率。

只有通過大量挑戰(zhàn)高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的訓(xùn)練,才能經(jīng)歷從不了解到了解,從了解到理解,從理解到掌握,從掌握到靈活運(yùn)用的過程,從而征服高考導(dǎo)數(shù)壓軸題。

(責(zé)任編輯 王福華)