■浙江省紹興市魯迅中學高二(10)班 吳偉捷

五種典型排列組合問題的解題策略

■浙江省紹興市魯迅中學高二(10)班 吳偉捷

排列組合問題聯(lián)系實際,常常注重同學們的能力與知識應用的考查。解此類問題主要涉及化歸與轉化思想和分類討論思想。下面通過實例介紹五種典型的排列組合問題的解題策略,供大家參考。

一、相鄰問題——捆綁法

此類問題就是將相鄰的幾個元素視為一個整體,把它看成一個元素進行排列,故稱捆綁法。

3個女生和5個男生排成一排,其中3個女生必須排在一起的不同排法有( )種。

A.2160 B.4320

C.1080 D.540

解析:因為3個女生要排在一起,所以可將3個女生視為一個人,與其余5個男生進行全排列,有A66種不同排法。對于其中的每一種排法,3個女生之間有A33種不同排法,所以由分步計數(shù)原理可知共有A66·A33= 4320(種)不同排法。故選B。

二、不相鄰問題——插空法

此類問題先排好沒有限制條件的元素,再將所指定的不相鄰的元素插入它們的間隙及兩端位置,故稱插空法。

由1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字且1與2不相鄰的六位數(shù),可以組成____個。

解析:因為數(shù)字1與2不相鄰,故可用插空法。先排數(shù)字3,4,5,6,有種不同排法,每種排法留出5個空位,再將1,2插入,有種排法,所以由分步計數(shù)原理可知共有·=480(種)不同排法。

三、帶有限制條件問題——優(yōu)先法

這是一類純排列問題,當問題中有了特殊元素或特殊位置,應優(yōu)先將有限制條件的元素或位置排好,再考慮其他元素的排法。

1名老師和4名同學排成一排照相留念,若老師不排在兩端,則共有多少種不同的排法?

解法1:優(yōu)先考慮特殊元素,先排老師。老師不排在兩端,只能從剩下的3個位置選1個,有種排法,然后4名同學站在另外4個位置,有種不同排法,由分步計數(shù)原理可知,共有·=72(種)不同排法。

解法2:優(yōu)先考慮特殊位置,先排兩端。從4名同學中,選2人排兩端,有種不同排法,再排其余3個位置,有種不同排法,由分步計數(shù)原理可知,共有·= 72(種)不同排法。

四、“至多”與“至少”問題——直接法或間接法

解含“至多”或“至少”的排列組合問題常有兩種方法:一種是直接法,即按題設條件分類,然后分類計算選法種數(shù);另一種是間接法,即先不考慮限制條件計算選法種數(shù),然后排除不合條件的選法。

某小組共有10名學生,其中女生3名,現(xiàn)選舉2名代表,至少有1名女生當選的不同的選法有( )。

A.27種 B.48種

C.21種 D.24種

解法1:(直接法)分類解決,顯然滿足題意的選法有兩類:一類是1名女生,1名男生的選法有·=21(種);另一類是2名女生的選法有=3(種)。故符合條件的選法共有·+=24(種)故選D。

解法2:(間接法)先不考慮限制條件,10名學生選2名代表的選法有種,再去掉不合條件的,即2名代表全是男生的選法有種,故符合條件的選法共有-= 24(種)。

五、分組分配問題

分組分配問題一般應先分組后分配,解題時要分清是平均分組、不平均分組,還是混合分組,還應判斷是編號分組,還是非編號分組,即組與組之間有無差別。

6本不同的書,按照以下要求處理,各有幾種分法?

(1)平均分成3組;

(2)分成3組,一組1本,一組2本,一組3本;

(3)分成3組,每組書的本數(shù)為1,1,4;

(4)平均分給甲、乙、丙3人。

(2)不平均分組,先拿1本,再拿2本,最后3本為一組,所以共有=60(種)不同分法。

練一練

1.4個不同的小球放入4個不同的盒中,且恰有1個空盒的放法有多少種?

2.7個人站隊排成一排,其中甲不能站排頭,也不能站排尾,有多少種排法?

3.從集合{O,P,Q,R,S}與{0,1,2,3,4, 5,6,7,8,9}中各任取2個元素排成一排(字母與數(shù)字均不能重復)。每排中字母O,Q和數(shù)字0至多只出現(xiàn)一個的不同排法種數(shù)是____。

4.從正五棱柱的10個頂點中選出5個頂點,最多可構成多少個不同的四棱錐?

5.7個人參加義務勞動,按下列方法分組有多少種不同的分法?

(1)分成三組,分別為1人、2人、4人;

(2)選出5個人再分成兩組,一組2人,另一組3人;

(3)選出6個人,平均分成兩組,每組都是3人;

(4)選出2人一組、3人一組,輪流挖土、運土。

參考答案

1.第一步從4個不同的小球中任取2個“捆綁”在一起有C24種方法,第二步從4個不同的盒里取其中的3個,將球放入有A34種方法。所以共有C24A34=144(種)方法。

2.先考慮除甲以外6人的排隊方法,有A66種排法,因為甲不能站排頭,也不能站排尾,所以讓甲插空,只有5個空,有A15種排法,因此共有A66A15=3600(種)排法。

4.①從一個底面中選4個點作為四棱錐的底面頂點,從另一個底面中選1個點作為四棱錐的頂點,有)四棱錐;②以正五棱柱的任意兩個側棱為底,從剩余的6個點中任取1個為頂點,四棱錐共有;③以兩個底面上平行的兩條棱為底,從剩余的6個點中任取1個為頂點,四棱錐有C25C16=60(個)。

四棱錐總共有50+60+60=170(個)。

5.(1)選出1人的方法有C17種,再由剩下的6個人中選出2人的方法有C26種,剩下的4人為一組有C44種,依據分步計數(shù)原理知分組的方法有C17C26C44種。

(2)可直接從7人中選出2人的方法有C27種,再由余下的5個人中選3人的方法有C35種,依分步計數(shù)原理可知,分組的方法有C27C35=210(種)。

(3)選3人為一組有C37種方法,再選3人為另一組有C34種方法,依分步計數(shù)原理可知每A22種分法只能算一種,所以不同的分法

(責任編輯 徐利杰)