■江蘇省張家港職業(yè)教育中心校 韓文美

"七大意識"應(yīng)對二項式定理

■江蘇省張家港職業(yè)教育中心校 韓文美

二項式定理是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,也是每年高考必考的內(nèi)容之一,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。二項式定理是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中較為獨特的一部分知識,內(nèi)容雖不多,但分散于教材及習(xí)題的解法卻蘊含了待定系數(shù)法、構(gòu)造法、特殊值法和逆向思維等高中數(shù)學(xué)的基本思想方法。因此,對二項式定理的學(xué)習(xí)也是比較集中學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)思想方法、提高思維能力的好機遇。同學(xué)們通過學(xué)習(xí),對思維能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高是十分有益的。

1.通項公式意識

凡涉及展開式的項及其系數(shù)(如常數(shù)項、某項的系數(shù))問題,常要先寫出其通項Tr+1=·an-r·br(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N*),然后再根據(jù)題意列出相應(yīng)式子進行求解,有時需要建立方程才能解決。

分析:寫出二項展開式的通項,令其對應(yīng)的x的指數(shù)為3,判斷相應(yīng)的r的值,再求解對應(yīng)的項,得到相應(yīng)的系數(shù)。

解:二項展開式的通項為Tr+1=

則展開式中x3的項為T5=21·C45·x3= 10x3,x3的系數(shù)為10,故答案為10。

點評:本題主要考查二項展開式及其計算。這是應(yīng)用二項式定理的通項的典型問題,通過通項寫出所需的項,再利用方程思想,根據(jù)條件列出方程,有時還要先解出相應(yīng)n的值,從而解出對應(yīng)項的值。

2.基本性質(zhì)意識

二項式定理的基本性質(zhì)的應(yīng)用有:求與首末兩端等距離的兩項的二項式系數(shù),求二項式系數(shù)的最大項,求二項式系數(shù)的和以及偶數(shù)項或奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等。

分析:根據(jù)二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和,及組合數(shù)的性質(zhì)確定參數(shù)n的值,再利用通項公式來確定常數(shù)項。

解:由題意并結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可知: 2n=256,解得n=8。

二項展開式的通項公式為Tr+1=·

點評:本題主要考查二項式系數(shù)的和,以及二項展開式及其計算,同時考查方程思想。解決此類問題的關(guān)鍵是抓住二項式定理的基本性質(zhì)來確定相應(yīng)的參數(shù)值,為進一步分析及求解奠定基礎(chǔ)。

3.系數(shù)配對意識

凡涉及兩個二項式的積或可化為兩個二項式的積的展開式中某項系數(shù)的問題,通常結(jié)合乘法分配律,利用相關(guān)的系數(shù)配對來進行解決。

(2014年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第13題)(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為____。(用數(shù)字填寫答案)

分析:要研究展開式中的x2y7的系數(shù),結(jié)合(x-y)與(x+y)8的特征,只要對應(yīng)求出(x+y)8中xy7的系數(shù)、x2y6的系數(shù),與(x-y)中的對應(yīng)項的系數(shù)相乘,最后再相加,即為所要求解的項的系數(shù)。

解:由題意知(x+y)8的展開式中xy7的系數(shù)為=8,x2y6的系數(shù)為=28,則(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為8-28=-20,答案為-20。

點評:本題主要考查二項式定理中求特定項的系數(shù)問題。求多項式與二項式的積的展開式,既要靈活運用二項式定理,又要注意多項式的乘法法則的靈活運用。只有這樣,才能準(zhǔn)確地把握它們的展開式中各項的規(guī)律,使得解題過程準(zhǔn)確無誤。

4.方程函數(shù)意識

在二項式定理的有關(guān)問題中,二項式定理往往和函數(shù)、方程等相關(guān)知識加以綜合,根據(jù)題中條件,把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程問題,通過解函數(shù)或確定方程值來達到目的。

(2014年浙江卷理科第5題)在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2) +f(0,3)=( )。

A.45 B.60 C.120 D.210

分析:結(jié)合二項式定理的通項公式中對應(yīng)系數(shù)的求法,利用函數(shù)思想確定相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,并結(jié)合組合數(shù)的計算來求解。

解:由題意知含xmyn項的系數(shù)為f(m, n)=。

那么f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+ f(0,3)=

故答案為C。

點評:本題主要考查二項式定理及其應(yīng)用,以及函數(shù)值的求法。通過二項式定理對通項公式中對應(yīng)系數(shù)的分析,確定函數(shù)關(guān)系式,再通過組合數(shù)的計算使問題得到解決。

5.賦值運算意識

對于二項式系數(shù)問題,首先要熟記二項式系數(shù)的性質(zhì),其次要掌握賦值運算法,賦值運算法是解決二項式系數(shù)問題的一個行之有效的手段。

(2015年課標(biāo)Ⅱ理科第15題) (a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=。

分析:根據(jù)二項式定理寫出相應(yīng)的展開式,通過對x賦特殊值,再結(jié)合相關(guān)的系數(shù)關(guān)系來確定相應(yīng)的參數(shù)值。

解:設(shè)(a+x)(1+x)4=a0x5+a1x4+ a2x3+a3x2+a4x+a5。

令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5= 16(a+1)。

令x=-1,可得-a0+a1-a2+a3-a4+a5=0。

整理可得a0+a2+a4=8(a+1)=32,解得a=3,故答案為3。

點評:本題主要考查二項式定理的運用及二項式系數(shù)和,也考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想和等價變形的能力。二項式定理是一個恒等式,對一切x的值都能成立。當(dāng)求展開式的系數(shù)或者證明有關(guān)組合數(shù)的恒等式時,常常用此方法——賦特殊值,常見的解法是令x的值為1,-1或0。

6.轉(zhuǎn)化變形意識

在二項式定理的有關(guān)問題中,經(jīng)常會見到多于二項的多項式(三項或者多于三項),求解時,主要是把多項式問題轉(zhuǎn)化變形為相關(guān)的二項式定理的問題來分析求解。

分析:先對含有三項的二項式加以展開,注意轉(zhuǎn)化變形,再通過二項式求解對應(yīng)的系數(shù),正確的轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵。

點評:本題主要考查運用二項式定理求特定項,解題時要特別注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。通過把較為復(fù)雜的二項式問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的二項式問題來處理,使得解題過程去繁為簡。

7.不等式意識

在二項式定理的有關(guān)問題中,經(jīng)常會碰到展開式的項或?qū)?yīng)的系數(shù)包含有參數(shù)的取值范圍的問題,必須根據(jù)不等關(guān)系建立相關(guān)的不等式,通過求解不等式來求解相關(guān)問題。

分析:利用二項展開式的通項公式,結(jié)合題中展開式中x3項的系數(shù)建立關(guān)系式,得到ab=1,進而再利用基本不等式來確定所求式的最值問題。

解:由于展開式的通項Tr+1=Cr6·

令12-3r=3,得r=3。

根據(jù)基本不等式有a2+b2≥2ab=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b,且ab=1時,等號成立。

故a2+b2的最小值是2,答案為2。

點評:深刻理解二項式定理,充分把二項展開式與題目中的代數(shù)式的最值問題加以綜合與交匯,利用基本不等式來確定最值。在實際應(yīng)用中,往往把相關(guān)的二項式定理問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)、方程、不等式等問題,再利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識來分析與求解。

同學(xué)們在學(xué)習(xí)時,應(yīng)結(jié)合二項式定理中的典型實例,認真做好基本方法的梳理工作,通過精心配置例題和習(xí)題,進行知識、方法和技巧的訓(xùn)練,才能真正掌握二項式定理。

(責(zé)任編輯 徐利杰)