孔曉燕

(玉環(huán)縣玉城中學(xué) 浙江 臺(tái)州 317600)

分運(yùn)動(dòng)可以應(yīng)用動(dòng)能定理

孔曉燕

(玉環(huán)縣玉城中學(xué) 浙江 臺(tái)州 317600)

學(xué)生學(xué)完動(dòng)能定理后，經(jīng)常會(huì)對(duì)分運(yùn)動(dòng)應(yīng)用動(dòng)能定理求解，有些文章將學(xué)生的這種解法稱為“動(dòng)能定理的分量式”．有的文獻(xiàn)認(rèn)為動(dòng)能定理沒有分量式；有的文獻(xiàn)認(rèn)為在正交系中，動(dòng)能定理可以有分量式．而筆者則認(rèn)為，無論兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的方向是否垂直，都可以在分運(yùn)動(dòng)中應(yīng)用動(dòng)能定理，只是稱之為“動(dòng)能定理的分量式”不太恰當(dāng)．

動(dòng)能定理 分運(yùn)動(dòng) 分量式

1 學(xué)生對(duì)分運(yùn)動(dòng)用動(dòng)能定理對(duì)嗎

由于矢量分解的任意性，我們可以把合運(yùn)動(dòng)往任意的兩個(gè)方向分解，那么這3個(gè)運(yùn)動(dòng)都是可能在真實(shí)世界中發(fā)生的(當(dāng)然，事實(shí)上只有合運(yùn)動(dòng)真實(shí)發(fā)生了．)假設(shè)分運(yùn)動(dòng)真實(shí)發(fā)生了，對(duì)它應(yīng)用動(dòng)能定理就可以求解末速度的大小(末速度的方向需要結(jié)合情境判斷)．所以筆者以為，對(duì)分運(yùn)動(dòng)應(yīng)用動(dòng)能定理并沒有問題，應(yīng)當(dāng)被認(rèn)可．以下通過兩個(gè)例子說明分方向上可以使用動(dòng)能定理．

【例1】光滑水平面上，某質(zhì)量為m的物體在兩個(gè)等大的互成60°角的恒力F作用下由靜止向前運(yùn)動(dòng)了距離s．

解法一：如圖1所示.

對(duì)分運(yùn)動(dòng)應(yīng)用動(dòng)能定理，則

分方向1

分方向2

再利用合速度與分速度的關(guān)系

解法二：對(duì)合運(yùn)動(dòng)應(yīng)用定能定理，則

解法一和解法二的答案是一致的．

例1是恒力作用下的直線運(yùn)動(dòng)，我們來看一下恒力作用下的曲線運(yùn)動(dòng)是否仍然可以應(yīng)用分運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能定理吧．以斜拋為例，如下題.

【例2】將m=1 kg的小球從h=4.2 m處以初速度v0=5 m/s與豎直方向成37°斜向上拋出，用以上兩種方法分別求解落地速度(當(dāng)然這道題使用分運(yùn)動(dòng)動(dòng)能定理來求解是舍近求遠(yuǎn)了，在此只是做個(gè)驗(yàn)證)．

圖2 例2題圖

解法一：沿豎直和水平建立正交系.

水平方向

vx=3 m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)

豎直方向

vy=4 m/s的豎直上拋運(yùn)動(dòng)

經(jīng)過t=0.4 s+1.0 s=1.4 s落地，即落地時(shí)

vy=10 m/s

解法二：沿初速度方向和重力方向分解.

初速度方向?yàn)関1=5 m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動(dòng)，則

OA=v1t=5×1.4 m=7 m

由余弦定理先求出下落的豎直距離

H=9.8 m

豎直方向應(yīng)用動(dòng)能定理

解得

v2=14 m/s

由余弦定理求得

可見兩種解法仍是一致的．

那么變力作用下的運(yùn)動(dòng)，是否也可以應(yīng)用分運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能定理呢？從微元求和的角度也可以證明．

2 將“分運(yùn)動(dòng)應(yīng)用動(dòng)能定理”這種方法稱為“動(dòng)能定理的分量式”合適嗎

“動(dòng)能定理的分量式”這種提法暗示了某種守恒關(guān)系，即分運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和應(yīng)當(dāng)?shù)扔诤线\(yùn)動(dòng)的動(dòng)能．只有兩個(gè)方向互相垂直時(shí)，分運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和恰好等于合運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能．因此有的人提出，在正交系的基礎(chǔ)上，動(dòng)能定理的分量式是正確的．但正因只有正交系才成立，有的人認(rèn)為這是巧合，這種解法缺乏物理意義，進(jìn)而認(rèn)為這是錯(cuò)解，否定了學(xué)生的這種解法．

我們是不是進(jìn)入了這樣一個(gè)誤區(qū)：分運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能的代數(shù)和一定要等于合運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能嗎？

回顧學(xué)生的解法，僅僅在分運(yùn)動(dòng)中應(yīng)用動(dòng)能定理來求分速度的大小，再通過矢量合成求合速度，并不是把總動(dòng)能分解到兩個(gè)分方向，并不涉及到動(dòng)能分解的問題，不需要滿足合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)動(dòng)能守恒的關(guān)系．由于矢量分解的任意性，分速度可以大于合速度，那么分運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和完全有可能大于合運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能．只是由于分運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和不一定等于合運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，所以把這種方法稱為“動(dòng)能定理的分量式”似乎不是很恰當(dāng)，但并不能以此來認(rèn)定學(xué)生的這種解法是錯(cuò)解．

3 “分運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和不一定等于合運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能”與能量守恒矛盾嗎

回到例1這個(gè)例子：光滑水平面上，某質(zhì)量為m的物體在兩個(gè)等大的互成60°角的恒力F作用下由靜止向前運(yùn)動(dòng)了距離s．

解法一：對(duì)分運(yùn)動(dòng)應(yīng)用動(dòng)能定理，如圖2所示.則

分方向1

分方向2

再利用合速度與分速度的關(guān)系

解法二：對(duì)合運(yùn)動(dòng)應(yīng)用定能定理

所以筆者認(rèn)為，沿任意方向分解的分運(yùn)動(dòng)都可以應(yīng)用動(dòng)能定理，只是把這種方法稱為“動(dòng)能定理的分量式”的說法不太恰當(dāng)而已．當(dāng)學(xué)生使用這種方法解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)被認(rèn)可．

TheKineticEnergyTheoremcanbeAppliedintheDecomposedMotion

Kong Xiaoyan

(Yuchenghighschool,yuhuancounty,Taizhou,Zhejiang317600)

After students learn the kinetic energy theorem,they often use the kinetic energy theorem to solve the problem in the decomposed motion.This method is called “component form of the kinetic energy theorem”by some articles.This thesis insists that the kinetic energy theorem can be applied in the decomposed motion whether Orthogonal system or not,but it is not appropriate to name it “component form of the kinetic energy theorem”.

the kinetic energy theorem;decomposed motion;component form

2016-06-27)