一道中考試題的教學(xué)思考

文︳李文英

應(yīng)州里一中學(xué)初三數(shù)學(xué)組的邀請，筆者聽了一節(jié)習(xí)題課。課題名稱是：一元二次方程的根的定義及其應(yīng)用。這一內(nèi)容主要是關(guān)于一元二次方程的根的概念，重點是韋達(dá)定理的應(yīng)用。整堂課共設(shè)計了7道試題，分三個層次，第1、2、3題為基本要求試題，第4、5題為較高要求試題，第6、7題為拓展試題。課堂完成到前兩個層次。

韋達(dá)定理是教材中的選學(xué)內(nèi)容，一般學(xué)生基本可以接受。中考很多時候會涉及，所以學(xué)?，F(xiàn)在都把這部分內(nèi)容作為必修了。本節(jié)課在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生課堂反應(yīng)積極，效果很不錯，前三道試題的正確率很高，應(yīng)該算是一堂常規(guī)意義上的好課。不足之處是試題多，方法單一，教師對解題思路的引導(dǎo)不足，缺少方法和思想上的提升，導(dǎo)致學(xué)生在處理第4、5題的時候出錯比例很高。學(xué)生出錯的關(guān)鍵是找不到切入口，思維不縝密，甚至在老師講解之后，還是感覺像勉強接受。這促使筆者有了許多思考。

我們看看其中的第5題：

已知x1，x2是方程x2+2kx+k2-2k+1=0的兩個（實數(shù)）根，且x12+x22=4，則k=。

通過網(wǎng)上搜索，筆者發(fā)現(xiàn)這是山東德州2014年的中考第16題（前12道為選擇題，填空題5道，這是填空題的倒數(shù)第二個，命題人認(rèn)為應(yīng)該是較難試題）。搜索到網(wǎng)絡(luò)上的解答（原試題只提供填空題答案，很多網(wǎng)站的解析幾乎都是一樣的解答，可見網(wǎng)絡(luò)上基本都是拿別人的照搬了上傳）：

又因為x1+x2=-2k，x1·x2=k2-2k+1，代入上式有4k2-4（k2-2k+1）=4，

解得k=1。

本堂課執(zhí)教老師的解答：

因為x1+x2=-2k，x1·x2=k2-2k+1，代入上式有4k2-2（k2-2k+1）=4，解得k=1，k=-3。

又因為二次方程有兩個實根，所以還應(yīng)該有（2k）2-4（k2-2k+1）≥0，得8k≥4，即綜上，得k=1。

網(wǎng)絡(luò)上的解答其實是錯誤的，用（x1+x2）2-2x1· x2=4，又因為x1+x2=-2k，x1·x2=k2-2k+1，代入有4k2-4（k2-2k+1）=4，得到k=1是巧合。計算錯了，實際上應(yīng)該是4k2-2（k2-2k+1）=4，當(dāng)然得k=1，k=-3。任課教師肯思考，糾正了流傳的錯誤。這說明該教師在備課的時候?qū)⒄n堂要用的試題做了一遍，并進(jìn)行了思考，這樣的習(xí)慣目前是很難得的。因為市場上的數(shù)學(xué)輔導(dǎo)資料實在太多，配套材料充足，書商的服務(wù)也非常周到。課前肯多花時間討論和分析試題的教師比十年前少了些，因為參考資料上都有現(xiàn)成的，盡管有時候是錯的?；诖?，筆者建議每一位教師都應(yīng)認(rèn)真?zhèn)湔n。

執(zhí)教老師的試題中缺少實根的實字。雖然初中生看不出，但是作為老師，已經(jīng)受過大學(xué)數(shù)學(xué)的嚴(yán)格訓(xùn)練，這個字的遺漏是不對的。因為沒有這個實字，答案就是兩個解了，也就不需要討論判別式，所以德州試題的題設(shè)嚴(yán)謹(jǐn)。在初中階段，實根中的實字不能漏掉，也不要給學(xué)生解釋，這是為高等數(shù)學(xué)留的尾巴，也是教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)。

既然課題是根的定義的應(yīng)用，那么有些時候解題回到定義也是有意義的。比如這里，直接運用根的意義解題也很有意思：由兩式相加，再很容易得到關(guān)于k的方程。我們在很多相關(guān)書籍里看到的這類試題都是像以上解答那樣借用乘法公式進(jìn)行變式。其實直接利用根的意義進(jìn)行變形也是很順暢的一種思路，希望其他老師解答的時候可以多試試各種可能的變形手法，拓展學(xué)生的思維。教材上，韋達(dá)定理是從求根公式得出。實際上，直接用根的意義，將兩式相減，可得兩根之和；再將兩式相加，運算后可得兩根之積。這應(yīng)該是更本質(zhì)的根與系數(shù)關(guān)系。如果是初中教學(xué)，當(dāng)然這里應(yīng)該加幾個字：所討論的一元二次方程存在兩個實根。

一堂課用基本相同的方法解決很多道試題，是加深學(xué)生印象的方法之一，也有很好的復(fù)習(xí)效果。同樣，用多種方法和想法解決一個典型問題，對發(fā)展學(xué)生的解題能力和思維能力也是很有實際意義的，教學(xué)中不能忽視。

其實這道試題作為填空題，出得有點兒狠！因為填空題只看結(jié)果給分，稍微錯一點兒，整道試題的分就沒了。本題中，解方程只解出一個解，正好符合要求，皆大歡喜?？扇绻玫降氖悄莻€必須去掉的根，豈不是非常冤枉？而如果直接填寫兩個k值，失掉了整道試題的成績，豈不是更冤得像竇娥？命題老師把考試重心放在判別是不是存在實根這個點上，動機有點不純。如果真喜歡這道試題，是不是可以進(jìn)行這樣的處理：首先，命制成一道大題，那就可以通過對過程的分析，對學(xué)生的解題步驟給予肯定，失分和得分就都有明確的判斷，考查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況也有了落腳點。對好學(xué)生、中等學(xué)生、后進(jìn)生也可以通過本題在相關(guān)知識和能力上予以區(qū)分。至于更理想的命制方式，個人認(rèn)為可以作為兩問來出題：

方程x2+2kx+k2-2k+1=0有兩個實數(shù)根x1，x2，

1.求k的取值范圍；

2.若x1，x2滿足x12+x22=4，求k的值。

這樣命制試題，既可以考查學(xué)生對韋達(dá)定理的應(yīng)用，也可以看出學(xué)生對有根的條件的把握，還可以考查學(xué)生的變形能力、計算能力、思維能力、綜合評判能力，可謂一題多得。

（作者單位：湘西土家族苗族自治州教科院）