文︳鄭毓信

數(shù)學(xué)應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)思維（上）
——數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理論性思考與實(shí)踐性解讀

文︳鄭毓信

享受國(guó)務(wù)院特殊津貼專家，江蘇省文史研究館館員；南京大學(xué)哲學(xué)系退休教授，博士生導(dǎo)師。從事學(xué)術(shù)研究與各類教學(xué)工作50多年，包括中學(xué)、大學(xué)、研究生教育與各級(jí)教師培訓(xùn)工作；多次赴英、美等國(guó)作長(zhǎng)期學(xué)術(shù)訪問(wèn)或從事合作研究，包括應(yīng)邀赴意大利、荷蘭、德國(guó)等國(guó)的著名大學(xué)作專題學(xué)術(shù)講演。已出版專著32部，在國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表論文300多篇，學(xué)術(shù)成果獲省部級(jí)獎(jiǎng)7次。在數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)教育、科學(xué)哲學(xué)與科學(xué)教育領(lǐng)域有較大影響。

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之我見

對(duì)核心素養(yǎng)的大力提倡是教育領(lǐng)域的一個(gè)新的發(fā)展趨勢(shì)。在一些學(xué)者看來(lái)，這不僅具有很大的普遍性，“當(dāng)今世界各國(guó)教育都在聚焦對(duì)人的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)”[1]，也為我國(guó)新一輪課程改革的深入發(fā)展指明了努力的方向：“今天，這個(gè)概念體系（指核心素養(yǎng)）正在成為新一輪課程改革深化的方向?！盵2]

從理論角度看，在此應(yīng)當(dāng)說(shuō)還有不少問(wèn)題需要深入地進(jìn)行研究。特別是，現(xiàn)今對(duì)核心素養(yǎng)的提倡與一般意義上的素質(zhì)教育有什么區(qū)別與聯(lián)系？“以素養(yǎng)發(fā)展為核心的教育”與新一輪課程改革中對(duì)三維目標(biāo)的提倡又有什么不同？（詳可見[3]）另外，對(duì)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域應(yīng)當(dāng)如何落實(shí)“走向核心素養(yǎng)”這一整體性教育思想也有多種不同的意見。例如，在一部分學(xué)者看來(lái)，我們應(yīng)特別重視傳統(tǒng)學(xué)科的改造與整合，包括明確提倡這樣一個(gè)立場(chǎng)：“基礎(chǔ)教育要去學(xué)科化?！迸c此相對(duì)照，也有一部分學(xué)者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，核心素養(yǎng)可被等同于核心概念，從而我們對(duì)此也就無(wú)須予以特別的重視，即如“課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）明確提出了10個(gè)核心素養(yǎng)，……曾把這些稱之為核心概念，但嚴(yán)格意義上講，稱這些詞為‘概念’并不合適……本文把這10個(gè)詞稱之為數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)”[4]。

筆者的看法是：提倡對(duì)傳統(tǒng)課程的改造有一定道理，我們更應(yīng)明確肯定相關(guān)的實(shí)踐性研究（如清華附小的“1+X課程”）的積極意義。但與唯一強(qiáng)調(diào)傳統(tǒng)學(xué)科的整合相比，我們又應(yīng)更加重視多元化與統(tǒng)一性的辯證關(guān)系，并切實(shí)防止這樣一種現(xiàn)象，即人為地制造某種“統(tǒng)一”（詳見[5]）。當(dāng)然，后一立場(chǎng)并非是指對(duì)于傳統(tǒng)的學(xué)科教育我們不應(yīng)作任何改變。毋寧說(shuō)，這進(jìn)一步突顯了深入研究這樣一個(gè)問(wèn)題的重要性，即我們?nèi)绾螌ⅰ白呦蚝诵乃仞B(yǎng)”這一思想很好地落實(shí)于各個(gè)學(xué)科的教學(xué)，真正做到“各有其長(zhǎng)，各盡其職，相互配合，互相促進(jìn)”。

進(jìn)而，這又是“走向核心素養(yǎng)”給予我們的主要啟示，即我們應(yīng)當(dāng)超出數(shù)學(xué)，從更為廣泛的角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作的意義。更為一般地說(shuō)，這也就是指，作為一名數(shù)學(xué)教育工作者，我們應(yīng)當(dāng)更為深入地思考：究竟什么是數(shù)學(xué)對(duì)個(gè)人發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步所應(yīng)承擔(dān)的主要責(zé)任？這應(yīng)當(dāng)成為具體界定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要途徑。另外，在筆者看來(lái)，我們還可由國(guó)際上的相關(guān)研究獲得這方面的直接啟示，后者即是指，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的界定應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)上普遍的高標(biāo)準(zhǔn)，并應(yīng)努力做到少而精。（詳見[6]）

以下就是筆者在這方面的具體主張，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本含義就在于：我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，并逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理，包括由理性思維逐步走向理性精神。

就上述論點(diǎn)的理解而言，我們還應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)這樣幾點(diǎn)。

第一，按照不同學(xué)科的必要分工與合作，我們可更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教育的作用。以下就通過(guò)數(shù)學(xué)教育與語(yǔ)文教育的簡(jiǎn)單比較對(duì)此做出具體說(shuō)明。

如眾所知，這是學(xué)校教育最為主要的一個(gè)作用，就是讓年輕一代健康成長(zhǎng)，并不斷取得新的進(jìn)步，即能夠越來(lái)越好，越來(lái)越完善——當(dāng)然，這也正是人類社會(huì)能夠不斷取得新的進(jìn)步最為重要的保證。那么，我們究竟如何理解這里所說(shuō)的“越來(lái)越好，越來(lái)越完善”呢？以下就依據(jù)臺(tái)灣著名作家林清玄先生的相關(guān)論述對(duì)此做出具體說(shuō)明，盡管其所論及的只是人的自我完善或修養(yǎng)而非專門的學(xué)校教育：“要通過(guò)生命不斷的轉(zhuǎn)彎，發(fā)現(xiàn)多元的樣貌，而不要生活在一元的狀態(tài)下”“今天比昨天慈悲，今天比昨天智慧，今天比昨天快樂，這就是成功?！保ā靶腋?，是打開內(nèi)心的某個(gè)開關(guān)”，《新華日?qǐng)?bào)》，2014年9月17日）

具體地說(shuō)，“今天比昨天慈悲”，在很大程度上可被看成為語(yǔ)文教育指明了努力的方向：“什么是生命里重要的事情：一是愛，能愛，能表達(dá)愛；二是美，懂美，追求美；三是情；四是義，人要有情有義；五是感動(dòng)，美好的情感能被激發(fā)?！焙?jiǎn)言之，語(yǔ)文課應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生具有滿滿的愛心，并能很好地加以表達(dá)。與此相對(duì)照，以下則是數(shù)學(xué)教育的主要使命，即應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生一天比一天更有智慧，更加聰明。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)課應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)思維。

第二，三維目標(biāo)之間的辯證關(guān)系也可被看成為我們更好地理解上述主張的合理性提供了重要的理論依據(jù)。

具體地說(shuō)，所謂的情感、態(tài)度與價(jià)值觀，應(yīng)當(dāng)說(shuō)主要體現(xiàn)了文化的視角，而文化的主要特征就在于：這是一種潛移默化的影響，是通過(guò)人們的日常生活與工作不知不覺地形成的。也正因?yàn)榇耍c數(shù)學(xué)直接相關(guān)的情感、態(tài)度與價(jià)值觀的養(yǎng)成就離不開具體數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)。特別是，人們正是通過(guò)理性思維的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，逐步發(fā)展起了理性精神，由思維方法逐步過(guò)渡到情感、態(tài)度與價(jià)值觀。

再者，知識(shí)又可被看成思維的實(shí)際載體，從而，“為講方法而講方法就不是講方法的好方法”。反之，又只有用思維方法的分析帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)，我們才能幫助學(xué)生真正學(xué)好相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，將數(shù)學(xué)課真正教活、教懂、教深。

綜上可見，在上述的三維目標(biāo)中，思維應(yīng)當(dāng)被看成具有特別的重要性，從而就從又一角度更為清楚地表明了這樣一點(diǎn)：我們應(yīng)將幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維看成數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)。這也就是指，我們應(yīng)將促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展看成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最基本的一個(gè)含義。

第三，相對(duì)于幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維而言，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維應(yīng)當(dāng)說(shuō)是更為合理的一個(gè)主張。因?yàn)椋瑪?shù)學(xué)思維顯然并非思維的唯一可能形式。各種思維形式，如文學(xué)思維、藝術(shù)思維、哲學(xué)思維、科學(xué)思維等都有其一定的合理性與局限性。從而，無(wú)論就社會(huì)的進(jìn)步或是個(gè)人的發(fā)展而言，我們都不應(yīng)唯一去強(qiáng)調(diào)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。毋寧說(shuō)，后者事實(shí)上即可被看成清楚地表明了狹義的學(xué)科性思維的局限性。

當(dāng)然，我們不應(yīng)因此而完全否定數(shù)學(xué)思維的研究和學(xué)習(xí)。毋寧說(shuō)，這即是對(duì)數(shù)學(xué)教育工作者如何做好這方面的工作提出了更高的要求。特別是，我們應(yīng)切實(shí)做好這樣兩個(gè)方面的工作：（1）立足數(shù)學(xué)思維（數(shù)學(xué)家的思維方式），并以此作為發(fā)展學(xué)生思維的必要規(guī)范，包括通過(guò)與日常思維的比較，幫助人們更清楚地認(rèn)識(shí)后者的局限性，能逐步形成一些新的思維方式；（2）立足日常思維，我們應(yīng)跳出數(shù)學(xué)并從更為一般的角度認(rèn)識(shí)各種數(shù)學(xué)思想與方法的普遍意義，從而就可對(duì)促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展發(fā)揮更為積極的作用（詳見[7]）。

第四，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維，并非是指想得更快、能夠與眾不同，而是指我們?nèi)绾未偈箤W(xué)生積極地進(jìn)行思考，并逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理。

應(yīng)當(dāng)指出，上述分析事實(shí)上也可被看成為我們具體判斷一堂數(shù)學(xué)課的成功與否提供了基本標(biāo)準(zhǔn)：無(wú)論教學(xué)中采取了怎樣的教學(xué)方法或模式，我們都應(yīng)更加關(guān)注自己的教學(xué)是否真正促進(jìn)了學(xué)生更為積極地進(jìn)行思考，并能逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理。

總之，我們應(yīng)將幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維看成數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)，并通過(guò)自己的教學(xué)努力促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，包括由理性思維逐步走向理性精神。

在以下各節(jié)筆者將從實(shí)踐角度對(duì)上述思想作出進(jìn)一步的解讀，即具體地指明數(shù)學(xué)教學(xué)在當(dāng)前所應(yīng)特別注意的一些方面與問(wèn)題。主要包括：（1）應(yīng)當(dāng)正確處理動(dòng)手與動(dòng)腦之間的關(guān)系；（2）努力使學(xué)生養(yǎng)成長(zhǎng)時(shí)間思考的習(xí)慣與能力；（3）幫助學(xué)生學(xué)會(huì)反思；（4）努力提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

二、動(dòng)手與動(dòng)腦

這是當(dāng)前應(yīng)當(dāng)注意糾正的一個(gè)現(xiàn)象，即我們?cè)诮虒W(xué)中往往只重視了學(xué)生的動(dòng)手，卻忽視了如何促使他們積極地動(dòng)腦。也正因此，現(xiàn)實(shí)中就經(jīng)常可看到這樣的現(xiàn)象：我們的學(xué)生一直在做，一直在算，一直在動(dòng)手，但就是不想！

這是筆者近期聆聽的一堂數(shù)學(xué)課，任課教師首先強(qiáng)調(diào)了這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)：要想認(rèn)識(shí)圓，必先畫圓。

以下是幾個(gè)主要的教學(xué)環(huán)節(jié)。

第一，要求學(xué)生用圓規(guī)畫圓。

第二，教師在顯示屏上展示了體育教師在操場(chǎng)上畫圓的場(chǎng)景，并要求學(xué)生對(duì)畫圓的具體步驟做出總結(jié)：（1）定圓心；（2）確定半徑。

在上述基礎(chǔ)上，教師又對(duì)學(xué)生提出了如下要求：在先前所畫的圖紙上畫出該圓的半徑和直徑。

第三，教師以派代表的方式組織男女生進(jìn)行比賽，即在黑板上用繩子畫圓。教師特意做了這樣的安排：她提供的兩根繩子有一條是沒有伸縮性的，另一條則有一定的伸縮性。不難想到，這正是這位教師做出這一安排的主要目的，即希望借此幫助學(xué)生更清楚地認(rèn)識(shí)到這樣一點(diǎn)：圓的半徑的長(zhǎng)度不能變。

第四，要求學(xué)生按照學(xué)習(xí)單從事活動(dòng)：請(qǐng)你看一看、量一量、折一折，再想想圓有哪些特征？

最后，教師向全班學(xué)生提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：想一想：生活中有哪些圓？用到了圓的哪些性質(zhì)？

針對(duì)上述實(shí)例，筆者希望讀者也能具體地想一想：你如何看待這一課例中教師對(duì)學(xué)生動(dòng)手與動(dòng)腦兩者關(guān)系的處理？進(jìn)而，這又能否被看成很好地體現(xiàn)了這樣一個(gè)思想：數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)是促使學(xué)生積極地進(jìn)行思考。

以下就是筆者在這方面的一些具體思考和建議。

（1）在學(xué)生用圓規(guī)畫圓以后，我們是否應(yīng)通過(guò)一定的提問(wèn)（與討論）引發(fā)學(xué)生的思考？如，畫圓時(shí)容易出現(xiàn)什么樣的問(wèn)題？什么是畫好圓的關(guān)鍵？……

（2）通過(guò)聚焦“圓不圓”這樣一個(gè)問(wèn)題，我們又可引發(fā)學(xué)生做出進(jìn)一步的思考：“究竟什么樣的圖形是圓？”

（3）我們?yōu)槭裁匆贾眠@樣一個(gè)任務(wù)，即讓學(xué)生“看一看、量一量、折一折，再想想圓有哪些特征”，這也就是指，圓的基本性質(zhì)（半徑相等、直徑相等）難道真的是量（比）出來(lái)的嗎？

當(dāng)然，上述的分析并非是指圓的認(rèn)識(shí)的教學(xué)應(yīng)當(dāng)完全排斥學(xué)生的動(dòng)手，恰恰相反，我們應(yīng)當(dāng)依據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況決定在此是否有必要讓學(xué)生動(dòng)手去畫一畫（因?yàn)?，這顯然也應(yīng)被看成這一教學(xué)活動(dòng)的一個(gè)重要目標(biāo)，即幫助學(xué)生較好地掌握畫圓的基本技能，后者也可為相應(yīng)的認(rèn)識(shí)活動(dòng)提供必要的基礎(chǔ)）。但是，在全部的教學(xué)過(guò)程中，我們應(yīng)始終牢記這樣一點(diǎn)：與單純的動(dòng)手相比，我們應(yīng)更加重視由動(dòng)手向動(dòng)腦的轉(zhuǎn)變，包括幫助學(xué)生由單純的操作經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)向?qū)ο嚓P(guān)知識(shí)的深刻理解。

由以下的一般性分析，相信讀者可更好地理解糾正所說(shuō)的現(xiàn)象的重要性，即我們的學(xué)生一直在做，一直在算，一直在動(dòng)手，但就是不想！

例如，在度量問(wèn)題的教學(xué)中，我們往往只重視實(shí)際操作，包括各種方法與工具的應(yīng)用，卻未能引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地思考：如何量才能更準(zhǔn)、更快、更省事？同樣地，在學(xué)生進(jìn)行計(jì)算前，我們往往也未能引導(dǎo)他們認(rèn)真地思考為什么要進(jìn)行這些計(jì)算，從而就很容易出現(xiàn)以下的現(xiàn)象：盡管相關(guān)的計(jì)算或推理導(dǎo)致了某些結(jié)果，但其對(duì)解決所面臨的問(wèn)題卻沒有任何作用。再如，幾何教學(xué)中一旦引入了某個(gè)概念，如等腰三角形、正方形等，我們往往就會(huì)急于讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作去發(fā)現(xiàn)它們的特征、性質(zhì)，卻沒有認(rèn)識(shí)到其中的很大一部分正是相關(guān)定義的直接推論。如，什么是等腰三角形，什么是正方形等，并由此引出相關(guān)圖形的一些特征、性質(zhì)。

由上述分析我們可認(rèn)識(shí)到對(duì)所說(shuō)的動(dòng)手應(yīng)作廣義的理解：這不僅是指實(shí)物操作，也包括各種數(shù)學(xué)運(yùn)作，如度量與計(jì)算，等等。進(jìn)而，為了有效地糾正為動(dòng)手而動(dòng)手這一現(xiàn)象，我們應(yīng)當(dāng)十分重視這樣幾項(xiàng)工作：（1）在實(shí)際組織學(xué)生從事操作性活動(dòng)前，我們應(yīng)當(dāng)認(rèn)真地思考：為什么要讓學(xué)生從事這樣一個(gè)活動(dòng)？我們?nèi)绾问怪嬲蔀閷W(xué)生的自覺行為？（2）在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，我們應(yīng)注意防止活動(dòng)的異化，即應(yīng)當(dāng)注意分析學(xué)生事實(shí)上在做什么；（3）作為必要的總結(jié)與反思，我們?cè)谡n后應(yīng)認(rèn)真地思考：學(xué)生通過(guò)從事所說(shuō)的活動(dòng)產(chǎn)生了什么效果？簡(jiǎn)言之，我們?cè)诖藨?yīng)突出這樣三個(gè)問(wèn)題：（1）為什么要從事這一活動(dòng)（why）？（2）學(xué)生事實(shí)上在做什么（what）？（3）這一活動(dòng)究竟產(chǎn)生了怎樣的效果（how）？

另外，應(yīng)當(dāng)指出的是，這也是與上述現(xiàn)象密切相關(guān)的另一個(gè)應(yīng)當(dāng)糾正的傾向，即對(duì)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的片面強(qiáng)調(diào)。因?yàn)?，思維的發(fā)展不可能僅僅通過(guò)反復(fù)的實(shí)踐與經(jīng)驗(yàn)的簡(jiǎn)單積累得以實(shí)現(xiàn)，而是主要表現(xiàn)為由較低層次上升到更高的層次，我們應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)反思在這一方面的重要作用。（對(duì)此將見第四節(jié)的討論）

以下再給出這方面的又一實(shí)例，希望借此能清楚地表明這樣一點(diǎn)：就學(xué)生由單純動(dòng)手向動(dòng)腦的轉(zhuǎn)變而言，教師應(yīng)當(dāng)發(fā)揮重要的引導(dǎo)作用，特別是，應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)奶釂?wèn)引發(fā)學(xué)生的積極思考。

例2 角的初步認(rèn)識(shí)的教學(xué)

這是小學(xué)二年級(jí)的一個(gè)內(nèi)容，人教版教材中對(duì)這一內(nèi)容是這樣處理的：

（1）由生活實(shí)例引出角的概念（如圖1）。

圖1

（2）通過(guò)各個(gè)實(shí)例（包括正例與反例，如圖2）幫助學(xué)生較好地掌握角這一概念的本質(zhì)，并切實(shí)防止各種可能的誤解。

圖2

以下就是相關(guān)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，特別是，其中的三次動(dòng)手與三次提問(wèn)可被看成很好地體現(xiàn)了這樣一個(gè)思想：我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)適當(dāng)?shù)奶釂?wèn)促進(jìn)學(xué)生更為積極的思考。

具體地說(shuō)，這位教師在教學(xué)中同樣采取了由生活實(shí)例引出角的概念這一做法，但在學(xué)生列舉了生活中所見過(guò)的各種各樣的角以后，教師提出了這樣一個(gè)任務(wù)（第一次動(dòng)手）：把你頭腦中所想的角畫出來(lái)。

由于教師在此并未刻意地加以引導(dǎo)，課堂上出現(xiàn)以下情況就十分自然了：不僅學(xué)生所畫的角各不相同，畫角的方法也是五花八門。當(dāng)然，這又是這一設(shè)計(jì)的主要目的，即通過(guò)進(jìn)一步的討論，特別是“其中有哪些可以被看成真正的角（即數(shù)學(xué)中所說(shuō)的角）？”（問(wèn)題1）幫助學(xué)生初步建立起角的概念，包括具體地認(rèn)識(shí)角的一些特性：角有一個(gè)頂點(diǎn)，兩條邊。

在上述基礎(chǔ)上，教師要求學(xué)生第二次動(dòng)手畫角：由于學(xué)生已經(jīng)初步形成了角的概念，此時(shí)所得出的結(jié)果與前一次相比就有很大的進(jìn)步，但又正是以此為基礎(chǔ)，教師提出了第二個(gè)問(wèn)題：你們所畫的角有什么不同？將學(xué)生的注意力由先前的共同點(diǎn)（什么樣的圖形可以被看成數(shù)學(xué)中的角）轉(zhuǎn)向了角的大小的比較這一更深層次的思考。

最后，為了促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)的發(fā)展，教師要求學(xué)生第三次動(dòng)手畫角：這次是指“如何畫出一個(gè)與已知角同樣大小的角”。（當(dāng)然，這并非唯一的選擇。例如，相關(guān)教師當(dāng)時(shí)所采取的以下做法應(yīng)當(dāng)說(shuō)也是一個(gè)很好的設(shè)計(jì)，即要求學(xué)生首先對(duì)自己手中的小三角尺與教師的大三角尺上相應(yīng)角的大小做出猜測(cè)，然后動(dòng)手加以檢驗(yàn)——不難想象，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者的大小相等時(shí)會(huì)受到怎樣的震撼！以下則是另一個(gè)巧妙的設(shè)計(jì)，即在教學(xué)中，我們不只是通過(guò)旋轉(zhuǎn)圓規(guī)或其他相關(guān)教具的兩條邊去生成大小不同的角，也可通過(guò)拉長(zhǎng)兩邊去引發(fā)學(xué)生的思考：這時(shí)角的大小是否也有所變化？）

當(dāng)然，不論課堂上采取了怎樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，我們必須將學(xué)生的注意力引向這樣一個(gè)問(wèn)題（問(wèn)題3）：角的大小是由什么決定的？或者說(shuō)，什么是相關(guān)的因素，什么因素與角的大小完全無(wú)關(guān)？我們?cè)诮虒W(xué)中還可要求學(xué)生用自己的語(yǔ)言表達(dá)自己在這一方面的想法。

綜上可見，盡管相關(guān)的教學(xué)不能直接引入角的嚴(yán)格定義，但是，上述的活動(dòng)（包括相關(guān)的討論）仍然有助于學(xué)生較好地掌握角的本質(zhì)。特別是，角的大小與邊的長(zhǎng)度完全無(wú)關(guān)，而僅僅取決于開口的大小，從而也就可以為將來(lái)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)（包括角的嚴(yán)格定義）打下良好的基礎(chǔ)。

總之，這正是我們?cè)诋?dāng)前應(yīng)當(dāng)努力糾正的一個(gè)現(xiàn)象：我們的學(xué)生一直在做，一直在算，一直在動(dòng)手，但就是不想！

（待續(xù)）

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