方 勃， 張潔潔， 高宇飛

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院， 哈爾濱 150001； 2. 沈陽工業(yè)大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院， 沈陽 110870)

控制工程

不確定轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性的區(qū)間分析方法*

方 勃1， 張潔潔1， 高宇飛2

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院， 哈爾濱 150001； 2. 沈陽工業(yè)大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院， 沈陽 110870)

為了研究含不確定參數(shù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力特性，提出一種非概率區(qū)間分析方法對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行分析.基于區(qū)間數(shù)學(xué)和區(qū)間攝動(dòng)理論，建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的計(jì)算公式，用區(qū)間分析方法得到了固有頻率隨系統(tǒng)參數(shù)的變化關(guān)系，得出了轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的變化范圍.該方法降低了傳統(tǒng)的概率分析方法對(duì)不確定參數(shù)信息的過分要求，為解決含有不確定參數(shù)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力特性問題提供了一個(gè)新途徑.數(shù)值算例證明了本文所得結(jié)果的有效性，與傳統(tǒng)概率方法比較，區(qū)間分析方法具有精度高，計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn).

航空發(fā)動(dòng)機(jī)； 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)； 區(qū)間分析； 不確定參數(shù)； 臨界轉(zhuǎn)速； 特征值； 非概率； 區(qū)間攝動(dòng)法

在傳統(tǒng)航空發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計(jì)中，結(jié)構(gòu)的物理模型和計(jì)算模型均為確定性模型，所采用的結(jié)構(gòu)計(jì)算參數(shù)都是一些確定的值.但在實(shí)際工程中總會(huì)遇到一些不確定的因素，例如測量不精確、加工水平與條件等因素導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)、幾何特性和外載荷等存在不確定性.這類誤差或者不確定性可能很小，而當(dāng)這些誤差或者不確定性結(jié)合在一起卻可能使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大的、意想不到的偏差，特別是在航空發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)中，由于部件較多，這種表現(xiàn)尤為突出.產(chǎn)生這些誤差或不確定性的原因很多，如結(jié)構(gòu)參數(shù)的制造誤差、安裝誤差、計(jì)算誤差和測量誤差，系統(tǒng)在不同的工作狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)參數(shù)具有不同的數(shù)值.因此，使用常規(guī)的確定性動(dòng)力學(xué)模型分析發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)所得到的計(jì)算結(jié)果往往并不能精確描述系統(tǒng)的工作狀況.要想更準(zhǔn)確地建立航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，就必須要考慮各種不確定因素的影響，對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性進(jìn)行不確定性分析.

針對(duì)實(shí)際存在的各種不確定性因素對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)力特性的影響，之前的學(xué)者研究了各種處理分析方法[1-6]，常見的主要有概率法(隨機(jī)法)、模糊法和區(qū)間分析法.

概率法把結(jié)構(gòu)參數(shù)視為隨機(jī)變量對(duì)問題進(jìn)行建模與分析，在這種情況下，所有不確定結(jié)構(gòu)參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)都應(yīng)該是已知的.但是當(dāng)沒有足夠的數(shù)據(jù)來驗(yàn)證這些隨機(jī)變量(或相關(guān)的函數(shù))概率密度的正確性時(shí)，概率法難以可靠地得到滿足精度要求的計(jì)算結(jié)果.

采用基于模糊集理論的方法來描述不確定性時(shí)，也需要知道不確定結(jié)構(gòu)參數(shù)的隸屬度函數(shù).與概率法相比，在很多情況下確定隸屬度函數(shù)更為困難，使用者往往帶有很大主觀性地選取相應(yīng)的隸屬度函數(shù)，這樣的分析結(jié)果可靠性也值得懷疑[7].

在信息不夠充分的條件下，描述工程問題不確定性的一種方法是把這些不確定結(jié)構(gòu)參數(shù)視為未知變量，它們?cè)诰哂幸阎吔绲膮^(qū)間內(nèi)取值，這就是所謂的區(qū)間分析方法.將非確定變量視為“未知然而有界”變量，當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的樣本較少，無法得到參數(shù)概率分布或者隸屬度函數(shù)時(shí)，區(qū)間分析方法結(jié)果將更符合客觀實(shí)際.

目前對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性的區(qū)間分析研究目前還鮮有報(bào)道，本文基于區(qū)間數(shù)學(xué)和區(qū)間攝動(dòng)理論，建立了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的區(qū)間分析方法，通過對(duì)數(shù)值算例計(jì)算分析，同時(shí)將結(jié)果與概率方法進(jìn)行了比較，以驗(yàn)證區(qū)間分析方法的有效性.

1 區(qū)間分析方法

1.1 不確定中心區(qū)間表示法

(1)

(2)

為區(qū)間XI的中點(diǎn)或中值，稱

(3)

為區(qū)間XI的半徑或不確定量.這兩個(gè)基本量在本文的討論中將起重要的作用.

利用中點(diǎn)Xc和不確定量ΔX可以將區(qū)間式(1)表示成另外一種有用的形式，即

[Xc，Xc]+[-ΔX，ΔX]=Xc+ΔXI=

Xc+ΔX[-1，1]=Xc+ΔXeΔ

(4)

式中：ΔXI=[-ΔX，ΔX]；eΔ=[-1，1]，這種表示方法稱為區(qū)間的中心區(qū)間表示法.

1.2 區(qū)間攝動(dòng)法求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式可表示為

(5)

式中：M=(mij)為正定的質(zhì)量矩陣；G=(gij)為反對(duì)稱陀螺矩陣；K=(kij)為半正定剛度矩陣；z為位移.

具有誤差或不確定性的轉(zhuǎn)子振動(dòng)問題都可劃歸為在矩陣約束式下的轉(zhuǎn)子自由振動(dòng)問題，約束式可表示為

(6)

經(jīng)狀態(tài)變換后，與式(5)相對(duì)應(yīng)的廣義特征值表示為

(7)

(8)

根據(jù)區(qū)間矩陣的表示方法和含義，式(8)可寫成

(9)

利用式(9)，根據(jù)區(qū)間數(shù)學(xué)的含義，式(7)可表示為

(10)

(i=1，2，…，n)

(11)

式中：

Reλi(〈A，B〉)和Imλi(〈A，B〉)分別為復(fù)特征值λi的實(shí)部和虛部.根據(jù)區(qū)間矩陣的中心表示法，廣義特征值式(10)可寫成

(Ac+ΔAI)u=λ(Bc+ΔBI)u

(12)

根據(jù)區(qū)間矩陣含義，任取矩陣δA∈ΔAI和δB∈ΔBI，則存在矩陣A∈AI和B∈BI滿足

(13)

這樣，區(qū)間矩陣對(duì)〈A，B〉的廣義特征值問題又可寫成

(Ac+δA)u=λ(Bc+δB)u

(14)

式中，矩陣δA和δB滿足約束條件

(15)

在區(qū)間矩陣AI和BI的不確定量ΔA和ΔB比較小的條件下，區(qū)間矩陣的廣義特征值問題式(10)可化為在矩陣約束條件式(15)下，中心矩陣Ac和Bc的特征值攝動(dòng)問題式(14).

對(duì)式(14)和式(15)所表示的帶有矩陣約束的中心矩陣Ac和Bc的特征值攝動(dòng)問題可理解為：在Ac和Bc已知，而小擾動(dòng)δA和δB取值不定，但其取值范圍ΔAI=[-ΔA，ΔA]和ΔBI=[-ΔB，ΔB]已知的條件下，可確定復(fù)特征值的變化范圍.

在中心矩陣Ac和Bc的特征值攝動(dòng)問題中，因Ac和Bc已知，可將復(fù)特征值λi(i=1，2，…，n)看成是擾動(dòng)矩陣δA=(δaij)和δB=(δbij)各個(gè)元素δaij和δbij的函數(shù).利用區(qū)間數(shù)學(xué)中的自然區(qū)間擴(kuò)張理論，根據(jù)復(fù)特征值攝動(dòng)問題公式可得復(fù)特征值λi的區(qū)間為

(16)

式中：

(17)

(18)

經(jīng)區(qū)間運(yùn)算可得

(19)

式中：

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

且滿足方程

(25)

根據(jù)式(21)和(23)，即可得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率所在的區(qū)間.

2 算例分析

為便于說明，選用文獻(xiàn)[9]中的單盤轉(zhuǎn)子模型進(jìn)行分析，如圖1所示.轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的具體參數(shù)為：圓盤的質(zhì)量m=20 kg，半徑R=12 cm，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=1 440 kg·cm2，轉(zhuǎn)軸的跨度l=75 cm，直徑d=3 cm.圓盤至左支點(diǎn)的距離a=l/3=25 cm，令轉(zhuǎn)軸的彈性模量E為區(qū)間參數(shù)，取E=[Ec-βEc，Ec+βEc]，其中，Ec=20.58×106N/cm2，β為不確定因子，Ω為自轉(zhuǎn)角速度.

取不確定因子β=0.1，轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度Ω=200 rad/s，應(yīng)用本文方法對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率進(jìn)行分析，該系統(tǒng)的進(jìn)動(dòng)頻率有四個(gè)值，大于零的為正進(jìn)動(dòng)頻率，用fF1和fF2表示；小于零的為反進(jìn)動(dòng)頻率，用fB1和fB2表示，得到的頻率區(qū)間如表1所示.

圖1 單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)Fig.1 Rotor system with single disk

表1 轉(zhuǎn)子進(jìn)動(dòng)頻率區(qū)間

令ωn=Ω或-Ω，可以求得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界角速度區(qū)間，如表2所示，其中，ω2為同步正向渦動(dòng)的臨界角速度；ω1和ω3為同步反向渦動(dòng)的臨界角速度.

表2 轉(zhuǎn)子臨界角速度區(qū)間
Tab.2 Intervals of critical angular velocity of rotor

臨界角速度ωc/(rad·s-1)ω/(rad·s-1) ω/(rad·s-1)Δω/(rad·s-1)Δω/ωcω1237 2225 0249 412 20 0514ω2244 4231 9256 912 50 0511ω3845 0801 6889 443 40 0514

由表1和2可以看出，由本文方法算得的頻率區(qū)間的上下界與中心值較為接近，當(dāng)不確定因子β=0.1時(shí)，由不確定參數(shù)導(dǎo)致頻率的不確定度Δω/ωc維持在5%左右.

圖2給出了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一階和二階正進(jìn)動(dòng)頻率上下界隨不確定因子β的變化區(qū)間，為了更直觀地比較，同時(shí)給出了概率方法求得的進(jìn)動(dòng)頻率上下界.

圖2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)動(dòng)頻率隨β的變化曲線Fig.2 Variation curves of procession frequency with β of rotor system

由圖2可以看出，本文求得的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的上下界略大于概率分析方法所得的結(jié)果，根據(jù)文獻(xiàn)[4]的結(jié)論，概率方法得到的區(qū)間應(yīng)包含在區(qū)間方法得到的區(qū)間內(nèi)，進(jìn)一步證明本文方法的正確性.同時(shí)本文方法得到的頻率區(qū)間與真實(shí)值較為接近，在缺少樣本和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)，該方法用來計(jì)算轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速是可行的，結(jié)果具有較高的可靠性.

3 結(jié) 論

本文基于區(qū)間數(shù)學(xué)和攝動(dòng)理論，針對(duì)含有不確定參數(shù)的航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，提出了求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率區(qū)域的區(qū)間攝動(dòng)法，分析了不確定轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力特性.通過數(shù)值算例與概率方法結(jié)果比較可知，該算法得到的固有頻率區(qū)間是真實(shí)有效的，更為重要的是，區(qū)間分析方法不需要太多的統(tǒng)計(jì)信息，當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不確定變量概率試驗(yàn)信息缺乏時(shí)，區(qū)間分析方法的結(jié)果往往更為可靠，且更符合客觀實(shí)際.同時(shí)區(qū)間方法具有對(duì)參數(shù)條件要求較低，計(jì)算量小，有較強(qiáng)應(yīng)用價(jià)值等優(yōu)點(diǎn).

[1]邱志平.非概率集合理論凸方法及其應(yīng)用 [M].北京：國防工業(yè)出版社，2005：30-125.

(QIU Zhi-ping.Convex method based on nonprobabilistic set-theory and its application [M].Beijing：Defense Industry Press，2005：30-125.)

[2]Liu S，Wang J，Hong J，et al.Dynamics design of the aero-engine rotor joint structures based on experimental and numerical study [C]//ASME Turbo Expo 2010：Power for Land，Sea，and Air.Glasgow，UK，2010：49-60.

[3]Ma Y，Cao P，Wang J，et al.Interval analysis method for rotordynamic with uncertain parameters [C]//ASME 2011 Turbo Expo：Turbine Technical Conference and Exposition.British Columbia，Canada，2011：307-314.

[4]Qiu Z，Wang X.Comparison of dynamic response of structures with uncertain-but-bounded parameters using non-probabilistic interval analysis method and probabilistic approach [J].International Journal of Solids and Structures，2003，40(20)：5423-5439.

[5]Yang Y，Cai Z，Liu Y.Interval analysis of dynamic response of structures using Laplace transform [J].Probabilistic Engineering Mechanics，2012，29：32-39.

[6]Ma Y，Liang Z，Chen M，et al.Interval analysis of rotor dynamic response with uncertain parameters [J].Journal of Sound and Vibration，2013，332(16)：3869-3880.

[7]Xu Q，Zhao Q，Yao H，et al.Application of fuzzy random finite element method on rotor dynamics [J].Journal of Vibroengineering，2014，16(4)：1854-1863.

[8]Moore J J，Vannini G，Camatti M，et al.Rotordynamic analysis of a large industrial turbocompressor including finite element substructure modeling [J].Journal of Engineering for Gas Turbines and Power，2006，132(8)：1233-1243.

[9]鐘一諤，何衍宗，王正，等.轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué) [M].北京：清華大學(xué)出版社，1987.

(ZHONG Yi-e，HE Yan-zong，WANG Zheng，et al.Rotor dynamics [M].Beijing：Tsinghua University Press，1987.)

(責(zé)任編輯：景 勇 英文審校：尹淑英)

Interval analysis method for dynamical properties of rotor system with uncertain parameters

FANG Bo1, ZHANG Jie-jie1, GAO Yu-fei2

(1. School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. School of Architecture and Civil Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang 110870, China)

In order to study the dynamical properties of rotor system with uncertain parameters, a non-probabilistic interval analysis method was proposed to analyze the rotor system. Based on the interval mathematics and interval perturbation theory, the calculation formula of natural frequencies of rotor was established. The variation relationship of natural frequencies with the system parameters was obtained with the interval analysis method, and the variation range of critical speed of rotor was attained. The proposed method decreases the excessive requirements in the uncertain parameter information in the traditional probability analysis, which can provide a new way to solve the dynamical property problems of rotor system with uncertain parameters. The numerical examples prove the validity of the results in the proposed method. The interval analysis method possesses such advantages as high accuracy and low calculated amount.

aero-engine; rotor dynamics; interval analysis; uncertain parameter; critical speed; eigenvalue; non-probability; interval perturbation method

2015-12-23.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10632040).

方 勃(1964-)，男，遼寧沈陽人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、振動(dòng)與控制等方面的研究.

13∶56在中國知網(wǎng)優(yōu)先數(shù)字出版.

http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20160512.1356.014.html

10.7688/j.issn.1000-1646.2017.01.16

T 231.96

A

1000-1646(2017)01-0083-05