孫 浩 肖 宏 胡慶軍1.燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院，秦皇島，066002.燕山大學(xué)機(jī)械工程博士后流動(dòng)站，秦皇島，06600.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，06600.天津電氣科學(xué)研究院有限公司，天津，0001

基于有約束多目標(biāo)進(jìn)化算法的冷軋負(fù)荷分配分析

孫 浩1,2肖 宏3胡慶軍4
1.燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院，秦皇島，0660042.燕山大學(xué)機(jī)械工程博士后流動(dòng)站，秦皇島，0660043.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，0660044.天津電氣科學(xué)研究院有限公司，天津，300301

冷軋負(fù)荷分配問(wèn)題可以抽象為一個(gè)有約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。為解決此問(wèn)題，提出了基于環(huán)境Pareto支配選擇策略的有約束多目標(biāo)進(jìn)化算法。該算法更加客觀地評(píng)價(jià)了兩個(gè)不同解的優(yōu)劣，利用優(yōu)秀不可行解加速算法收斂。以等功率裕量、最小軋制能耗、最小綜合打滑函數(shù)、末機(jī)架板形良好軋制力為優(yōu)化目標(biāo)，利用有約束多目標(biāo)進(jìn)化算法得到了4個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間的定量關(guān)系，使決策者不需要掌握復(fù)雜的軋制理論知識(shí)就可以直觀地掌握軋制規(guī)律，并進(jìn)一步說(shuō)明了多目標(biāo)策略在壓下負(fù)荷分配中的必要性。

有約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題；約束處理技術(shù)；冷軋壓下負(fù)荷分配；差分進(jìn)化算法

0 引言

在冷連軋生產(chǎn)過(guò)程中，負(fù)荷分配直接關(guān)系到機(jī)組生產(chǎn)狀態(tài)和產(chǎn)品質(zhì)量。國(guó)內(nèi)外科研人員通過(guò)建立不同的目標(biāo)函數(shù)和約束條件來(lái)達(dá)到不同的生產(chǎn)目標(biāo)[1]。單目標(biāo)優(yōu)化算法以其求解效率高、速度快等特點(diǎn)，在生產(chǎn)實(shí)際中得到了廣泛應(yīng)用。但軋制過(guò)程是一個(gè)多變量、時(shí)變性和強(qiáng)耦合的系統(tǒng)，根據(jù)單目標(biāo)優(yōu)化而來(lái)的結(jié)果很難滿足各種要求，所以軋制過(guò)程的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題被提出[2-4]。

軋制負(fù)荷分配本質(zhì)是一個(gè)有約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。國(guó)內(nèi)外對(duì)無(wú)約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的研究成果很多[5-6]，但對(duì)于約束處理技術(shù)的研究相對(duì)較少。王勇等[7]對(duì)當(dāng)前基于進(jìn)化算法的約束處理技術(shù)進(jìn)行了較為詳盡的概括。多目標(biāo)約束處理技術(shù)大致分為三類：基于罰函數(shù)的約束處理技術(shù)、基于多目標(biāo)算法的約束處理技術(shù)和基于排序的約束處理技術(shù)[8-10]。

在以往軋制負(fù)荷分配問(wèn)題中，約束處理主要采用罰函數(shù)法。雖然罰函數(shù)法構(gòu)造簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)，但合理的懲罰系數(shù)難以確定。為克服這一缺點(diǎn)，本文提出基于環(huán)境Pareto支配選擇策略的多目標(biāo)進(jìn)化算法。此策略更注重可行解與不可行解的客觀比較，使得優(yōu)秀不可行解在進(jìn)化過(guò)程中得以保留，加快算法的收斂速度。

1 有約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題模型

以最小多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題為例，有約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題(multi-objective constrained optimizat-ion problem，MOCOP)可定義如下[11]：

min F(X)=(f1(X),f2(X),…,fk(X))s.t. gi(X)≤0 i=1,2,…,p
hj(X)=0 j=1,2,…,q

其中，F(xiàn)(X)為目標(biāo)函數(shù)；X=(x1,x2,…,xn)∈Rn為n維決策向量;gi(X)、hj(X)分別為不等式約束和等式約束條件，滿足約束條件的解空間S為上式的可行域。對(duì)于等式約束hj(X)=0可以設(shè)定容許誤差δ>0，將它轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦虏坏仁郊s束：

|hj(X)|≤δ

在后文問(wèn)題的討論中，僅考慮帶有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題。

2 改進(jìn)的有約束多目標(biāo)進(jìn)化算法

2.1 基于環(huán)境Pareto支配選擇策略的提出

選擇操作決定著算法的進(jìn)化方向，是進(jìn)化算法前進(jìn)的動(dòng)力，不同的選擇策略會(huì)使進(jìn)化種群向著不同的方向進(jìn)化。利用這一生物學(xué)上的特性，對(duì)于有約束多目標(biāo)問(wèn)題，采用同樣的處理策略。

在有約束多目標(biāo)問(wèn)題中，目前應(yīng)用最廣泛的是DEB等[12]提出的約束占優(yōu)直接支配選擇策略：

(1)兩個(gè)個(gè)體相比較，如果一個(gè)個(gè)體為可行解，而另一個(gè)個(gè)體為不可行解，則選擇可行解作為較優(yōu)個(gè)體；

(2)兩個(gè)個(gè)體相比較，當(dāng)兩個(gè)個(gè)體均為可行解，則選擇非支配個(gè)體作為較優(yōu)解，如果兩個(gè)個(gè)體互不支配，則選擇擁擠度較大的個(gè)體作為較優(yōu)解；

(3)兩個(gè)個(gè)體相比較，如果兩個(gè)個(gè)體均為不可行解，則選擇違反約束程度較小的個(gè)體作為較優(yōu)個(gè)體。

通過(guò)以上描述不難看出，以上策略的選擇結(jié)果更加傾向于可行解。不論在什么情況下可行解總是優(yōu)于不可行解，這顯然是不合理的。在有約束多目標(biāo)問(wèn)題中，決策空間被約束條件分為可行域和不可行域兩部分。形象地說(shuō)，如果將整個(gè)決策空間想象為一個(gè)大湖，那可行域就像是漂浮在湖中的數(shù)個(gè)孤島，不可行域就是孤島周圍的湖水，想要登上這些孤島和其中的“最佳解”，勢(shì)必需要湖水中所攜帶的“信息”。如果僅僅依靠有限的可行解去尋找其中的最佳解集，其尋優(yōu)效率勢(shì)必低下，只有充分發(fā)掘不可行解的信息，兩者相互配合才能更快更精準(zhǔn)地尋找到全局最優(yōu)解，所以，優(yōu)秀的不可行解在尋優(yōu)過(guò)程中所起的作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于那些劣質(zhì)的可行解。

在有約束多目標(biāo)問(wèn)題中，判斷解的優(yōu)劣不應(yīng)只以約束作為唯一標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)結(jié)合更多的環(huán)境信息。以進(jìn)化種群作為計(jì)算整體，每一個(gè)個(gè)體均具有以下環(huán)境信息：違反約束程度、與約束邊界的距離、擁擠度、支配關(guān)系。本文結(jié)合以上4個(gè)環(huán)境信息提出了一種環(huán)境Pareto支配選擇策略：

(1)當(dāng)一個(gè)個(gè)體為可行解，另一個(gè)個(gè)體為不可行解，如果可行解的邊界距離小于不可行解的邊界距離，則選擇可行解作為較優(yōu)個(gè)體，否則選擇兩個(gè)個(gè)體中的非支配個(gè)體，如果兩個(gè)個(gè)體互不支配，則選擇擁擠度較大的個(gè)體；

(2)當(dāng)兩個(gè)個(gè)體均為可行解時(shí)，選擇非支配個(gè)體，如果兩個(gè)個(gè)體互不支配，則選擇擁擠度較大的個(gè)體；

(3)當(dāng)兩個(gè)個(gè)體均為不可行解時(shí)，選擇非支配個(gè)體，如果兩個(gè)個(gè)體互不支配，則選擇違反約束程度較小的個(gè)體。

違反約束程度C及與約束邊界距離D的計(jì)算公式為

式中，p為不等式約束個(gè)數(shù)；gj(xi)為第i個(gè)個(gè)體在不等式約束j下的值。

擁擠度W計(jì)算公式：

式中，k為目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù);N為種群個(gè)體數(shù);fj(1),fj(2),…,fj(N)為全部個(gè)體在目標(biāo)函數(shù)j上從小到大的排列。

以上選擇規(guī)則可用圖1～圖3表示。通過(guò)比較兩種不同的選擇策略可知，環(huán)境Pareto支配選擇策略對(duì)規(guī)則(1)進(jìn)行了較大的改動(dòng)，不再以是否可行作為選擇的唯一準(zhǔn)則。由圖1可知，環(huán)境Pareto支配選擇策略中的規(guī)則(1)結(jié)合了其他環(huán)境因素，更加客觀地評(píng)價(jià)了兩個(gè)解之間的優(yōu)劣，使得可行解與不可行解競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，優(yōu)秀的不可行解得以勝出。對(duì)于有約束問(wèn)題，這一選擇機(jī)制更加合理，更加有利于優(yōu)秀不可行解的保留，從而為變異、交叉等操作提供更有利的信息；環(huán)境Pareto支配選擇策略規(guī)則(2)兩者相同，仍然以支配關(guān)系作為選擇標(biāo)準(zhǔn)；環(huán)境Pareto支配選擇策略規(guī)則(3)增加了支配關(guān)系的比較，將其作為首要判斷標(biāo)準(zhǔn)，使得不可行解也在一定程度上向著Pareto前沿進(jìn)化，其次將約束程度作為最終判定指標(biāo)，選擇出違反約束程度較低的個(gè)體。

圖1 環(huán)境Pareto支配選擇策略規(guī)則(1)Fig.1 The first selection strategy of environmental Pareto dominance

圖2 環(huán)境Pareto支配選擇策略規(guī)則(2)Fig.2 The second selection strategy of environmental Pareto dominance

圖3 環(huán)境Pareto支配選擇策略規(guī)則(3)Fig.3 The third selection strategy of environmental Pareto dominance

2.2 改進(jìn)的變異策略

有約束多目標(biāo)問(wèn)題有它自身的特點(diǎn)，最優(yōu)Pareto前沿往往位于可行域與不可行域之間的邊界。在進(jìn)化計(jì)算中，優(yōu)秀的不可行解同樣不容忽視，它可以為進(jìn)化過(guò)程提供有益的方向信息。為充分利用這一部分優(yōu)秀不可行解，提出以下改進(jìn)措施。

在進(jìn)化過(guò)程中，外部不可行解集可能為空，所以定義以下兩種情況：

2.3 外部種群更新策略的改進(jìn)

外部種群分為可行解集和不可行解集，設(shè)其最大容量分別為N1和N2(N1>N2)，具體更新方式如下。

可行解集的更新：將本代新產(chǎn)生的可行個(gè)體與可行解集結(jié)合為一個(gè)新的種群，選出其中的非支配個(gè)體，刪除其他個(gè)體，如果個(gè)體數(shù)目小于N1則直接構(gòu)成新的可行解集；如果數(shù)目大于N1則采用循環(huán)刪除的方法刪除擁擠度較小的個(gè)體[13]。

不可行解集的更新：設(shè)置平衡系數(shù)β2(0<β2<1)，將本代新產(chǎn)生的不可行個(gè)體與不可行解集結(jié)合為一個(gè)新的種群，選出其中的非支配個(gè)體，刪除其他個(gè)體，如果個(gè)體數(shù)目小于N2，則直接構(gòu)成新的不可行解集；如果個(gè)體數(shù)目介于N2與N2(1+β2)之間，則采用循環(huán)刪除的方法刪除擁擠度較小的個(gè)體；如果個(gè)體數(shù)目大于N2(1+β2)，則首先刪除違反約束度較大的個(gè)體，使個(gè)體數(shù)目為N2(1+β2)，然后采用循環(huán)刪除的方法刪除擁擠度較小的個(gè)體。

2.4 算法流程

基于環(huán)境Pareto支配選擇策略的有約束多目標(biāo)差分進(jìn)化算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1)初始化，設(shè)定相關(guān)參數(shù)：種群大小P，可行解集大小N1，不可行解集大小N2，縮放因子F、變異概率PCR，變異策略選擇概率β1，平衡系數(shù)β2，最大迭代次數(shù)G；

(2)隨機(jī)產(chǎn)生大小為P的初始種群，計(jì)算其目標(biāo)函數(shù)值和約束程度；

(3)依據(jù)2.3節(jié)生成可行解集與不可行解集；

(4)依據(jù)2.2節(jié)及基本差分進(jìn)化算法[14]對(duì)本代個(gè)體進(jìn)行變異及交叉操作；

(5)運(yùn)用基于環(huán)境Pareto支配選擇策略選擇出下一代個(gè)體；

(6)更新可行解集與不可行解集；

(7)判斷是否滿足終止條件，若不滿足轉(zhuǎn)到步驟(4)，否則輸出可行解集，即優(yōu)化結(jié)果。

3 冷軋負(fù)荷分配分析

3.1 負(fù)荷分配計(jì)算流程

軋制負(fù)荷分配計(jì)算涉及一系列相關(guān)模型[15-17]，這些模型相互關(guān)聯(lián)，相互影響。軋制負(fù)荷分配主要計(jì)算流程見(jiàn)圖4。

圖4 負(fù)荷分配計(jì)算流程Fig.4 The flow chart of load dispatch

3.2 目標(biāo)函數(shù)及約束條件的確定

為了充分發(fā)揮電機(jī)能力，一般選取等功率裕量為目標(biāo)函數(shù)。為了保證末機(jī)架出口板形良好，其壓下量只允許較小的值，所以不考慮末機(jī)架的功率裕量，其目標(biāo)函數(shù)為

式中，Ni為i機(jī)架功率;kW；NHi為i機(jī)架額定功率，kW。

為了達(dá)到軋制過(guò)程中節(jié)能減排的目的，需制訂最小軋制能耗目標(biāo)函數(shù)。因?yàn)檐堉颇芎募礊閷?shí)際軋制功率與時(shí)間的乘積，所以本文采用最小軋制功率作為實(shí)際的目標(biāo)函數(shù)：

其值越小，說(shuō)明軋制能耗越低。

冷軋板形是評(píng)價(jià)板材質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，所以建立末機(jī)架板形良好目標(biāo)函數(shù)：

式中，KP為軋制力對(duì)輥系彎曲變形影響的橫向剛度，kN/mm；Psh為保持良好板形所應(yīng)有的軋制力，kN；Δ為原料凸度，mm；H0為原料厚度，mm；KF為彎輥力對(duì)輥系彎曲變形影響的橫向剛度，kN/mm；h1為出口厚度，mm；Fw為彎輥力，kN；ω∑為綜合初始輥型，mm；Eω為綜合輥型影響系數(shù)。

為防止帶材出現(xiàn)打滑現(xiàn)象，致使表面產(chǎn)生劃痕，降低產(chǎn)品質(zhì)量，各機(jī)架打滑因子應(yīng)小于0.5，因此建立防打滑綜合目標(biāo)函數(shù)：

在負(fù)荷分配計(jì)算過(guò)程中，有一些必要的限制條件。計(jì)算結(jié)果不能超出設(shè)備和工藝要求的極值，定義以下約束條件。

設(shè)備因素約束條件：

Pi≤PiMNi≤NiMMi≤MiM

式中,Pi、Ni、Mi分別為軋制力、軋制功率和軋制力矩；PiM、NiM、MiM分別為設(shè)備允許的最大軋制力、最大軋制功率和最大軋制力矩。

工藝因素約束條件：

Tmin≤T≤Tmax

εmin≤ε≤εmax

nmin≤n≤nmax

式中,T、ε、n分別為張力、道次壓下率和轉(zhuǎn)速。

3.3 結(jié)果分析

仿真設(shè)定來(lái)料厚度5 mm，成品厚度1 mm，軋輥半徑均為300 mm，張力由一機(jī)架入口到五機(jī)架出口依次為150 kN、130 kN、110 kN、90 kN、70 kN、50 kN，末機(jī)架出口板材速度8 m/s，板寬1250 mm，各個(gè)機(jī)架電機(jī)額定總功率均為18 000 kW，鋼種Q235。

根據(jù)上述目標(biāo)函數(shù)和約束條件，應(yīng)用基于環(huán)境Pareto支配選擇策略的有約束多目標(biāo)差分進(jìn)化算法對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行求解，可以得到4個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間的相互關(guān)系。由于4個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間的可視化顯示難以表示，圖5～圖10給出了4個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間的兩兩關(guān)系，Pareto前沿以1000點(diǎn)描繪。圖5～圖10中，1表示等功率裕量極端點(diǎn)； 2表示最小能耗極端點(diǎn)；3表示綜合打滑因子極端點(diǎn)； 4表示末機(jī)架最佳軋制力極端點(diǎn)；5表示選定的4個(gè)目標(biāo)的均衡點(diǎn)。

圖5 功率裕量與最小能耗之間的關(guān)系Fig.5 The relationship between the power margin and minimum power

圖6 功率裕量與打滑因子之間的關(guān)系Fig.6 The relationship between the power margin and slip factor

圖7 功率裕量與板形良好軋制力之間的關(guān)系Fig.7 The relationship between the power margin and rolling force for quality shape

圖8 最小能耗與打滑因子之間的關(guān)系Fig.8 The relationship between the minimum power and slip factor

圖9 最小能耗與板形良好軋制力之間的關(guān)系Fig.9 The relationship between the minimum power and rolling force for quality shape

圖10 打滑因子與板形良好軋制力之間的關(guān)系Fig.10 The relationship between the slip factor and rolling force for quality shape

在同時(shí)兼顧4個(gè)目標(biāo)的情況下，由圖5可知，等功率裕量和最小能耗兩個(gè)目標(biāo)之間呈四邊形分布，兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)均不可能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，在這個(gè)近似的四邊形區(qū)域內(nèi)，當(dāng)?shù)裙β试Ａ孔钚r(shí)最小功耗目標(biāo)函數(shù)大約為3.44×104kW，能耗最大最小之間的差值為1800 kW，也就是說(shuō)不論什么壓下策略，軋制所消耗的能量最大值與最小值之差不超過(guò)1800 kW，這符合基本的能量守恒定律，即生產(chǎn)產(chǎn)品的單位能耗最小值是一定的，不可能無(wú)限減小，也不可能無(wú)限增大。

由圖6可知，等功率裕量和打滑因子之間也呈四邊形分布。當(dāng)打滑因子目標(biāo)函數(shù)最小時(shí)，功率裕量大概為6000 kW。若只考慮這兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，也不可能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，在等功率裕量減小時(shí)，必然伴隨著打滑因子的增大，如果產(chǎn)品更加偏重于板面質(zhì)量，則要犧牲等功率裕量來(lái)盡可能減小打滑因子的值，反之亦然。理論上，只要保證各個(gè)機(jī)架的打滑因子小于0.5，則可顯著降低打滑產(chǎn)生的概率。

由圖7可知，等功率裕量和末機(jī)架板形良好軋制力之間沒(méi)有明顯的關(guān)系。等功率裕量只考慮了前4個(gè)機(jī)架的電機(jī)功率，而末機(jī)架板形良好只考慮了第五機(jī)架，前4個(gè)機(jī)架的功率平衡并不會(huì)對(duì)末機(jī)架軋制力產(chǎn)生較大的影響，所以，在優(yōu)化結(jié)果的關(guān)系圖中，可以很清楚地看出，兩者之間的關(guān)系不明顯。

由圖9可知，最小能耗和末機(jī)架板形良好軋制力之間呈現(xiàn)明顯的負(fù)相關(guān)性，當(dāng)能耗增大時(shí)，末機(jī)架板形良好軋制力將減小，直至為0。說(shuō)明在增加能耗的情況下，有利于減小設(shè)定軋制力與期望軋制力之間的絕對(duì)差值，利于提高產(chǎn)品質(zhì)量。

由圖10可知，打滑因子與末機(jī)架良好板形軋制力之間也是負(fù)相關(guān)，也就是說(shuō)必須在兩者之間尋找一個(gè)平衡點(diǎn)，既不能使打滑概率超過(guò)期望值，也不能使末機(jī)架產(chǎn)生較大的板形偏差。

表1給出了當(dāng)4個(gè)目標(biāo)函數(shù)中每一個(gè)達(dá)到最優(yōu)值和4個(gè)目標(biāo)函數(shù)相對(duì)均衡時(shí)的計(jì)算參數(shù)。4個(gè)極端點(diǎn)及均衡點(diǎn)在Pareto前沿上的位置在圖5～圖10中已標(biāo)記。由表1可知，當(dāng)每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)時(shí)，可以看成是以這個(gè)目標(biāo)函數(shù)為單目標(biāo)問(wèn)題的求解結(jié)果，結(jié)合圖11～圖14可知，當(dāng)?shù)裙β试Ａ繛樽顑?yōu)時(shí)，軋制能耗高于兩個(gè)策略而低于另一個(gè)，不能達(dá)到最佳節(jié)能，末機(jī)架板形良好軋制力也與預(yù)測(cè)需要的軋制力相差較大，5個(gè)機(jī)架的打滑因子分布也不均勻，第一機(jī)架的打滑因子明顯略高，其他機(jī)架依次降低。當(dāng)另外某一目標(biāo)函數(shù)為最優(yōu)時(shí)，相同的現(xiàn)象也會(huì)發(fā)生在其他目標(biāo)函數(shù)上面。而選定的均衡點(diǎn)則綜合考慮了4個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系，使得各個(gè)目標(biāo)函數(shù)值在滿足生產(chǎn)條件的情況下達(dá)到相對(duì)最優(yōu)。從優(yōu)化結(jié)果中也可以看出，單目標(biāo)優(yōu)化不能兼顧其他，已經(jīng)不能滿足生產(chǎn)要求。而壓下策略的制訂必然要滿足多種條件，以達(dá)到各方面生產(chǎn)工藝的要求。

表1 不同策略下的計(jì)算參數(shù)Tab.1 The calculating parameters under different strategies

圖11 不同極端策略下的軋制總功率比較Fig.11 The total power of rolling under different extreme strategy

圖12 不同極端策略下的末機(jī)架軋制力比較Fig.12 The rolling force of end stand under different extreme strategy

圖13 不同極端策略下的各機(jī)架軋制功率比較Fig.13 The rolling power of each stand under different extreme strategy

圖14 不同極端策略下的各機(jī)架打滑因子比較Fig.14 The slip factor of each stand under different extreme strategy

通過(guò)基于環(huán)境Pareto支配選擇策略的有約束多目標(biāo)差分進(jìn)化算法對(duì)4個(gè)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，得到兩兩目標(biāo)函數(shù)之間的定量關(guān)系，可以使得決策者不需要掌握復(fù)雜的軋制理論知識(shí)就可以很直觀地掌握軋制規(guī)律。根據(jù)生產(chǎn)要求，通過(guò)對(duì)以上4個(gè)目標(biāo)函數(shù)的綜合分析，制訂更加科學(xué)合理的壓下策略。

4 結(jié)論

有約束多目標(biāo)進(jìn)化算法在科研及生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用，本文提出基于環(huán)境Pareto支配的選擇策略，使得相較于劣質(zhì)可行解的優(yōu)秀不可行解得以進(jìn)化到下一代，并且參與到變異當(dāng)中，應(yīng)用上述策略來(lái)處理多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中的約束條件。該方法簡(jiǎn)單易行，不需考慮多余的參數(shù)。

軋制壓下策略的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，不僅僅是一個(gè)優(yōu)化求解問(wèn)題，還可以從優(yōu)化解集中形象地表示出各個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間的定量關(guān)系。通過(guò)這一最優(yōu)解集，可以使得決策者不需要了解軋制理論就可以形象科學(xué)地認(rèn)知到各個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間的定量關(guān)系，然后根據(jù)生產(chǎn)要求，制訂不同的壓下策略。

[1] YANG Jingming, ZHANG Qing, CHE Haijun, et al. Multi-objective Optimization for Tandem Cold Rolling Schedule[J]. Journal of Iron and Steel Research, International,2010,17(11):34-39.

[2] 李勇, 劉建昌, 王昱. 改進(jìn)權(quán)重自適應(yīng) GA 及冷連軋軋制規(guī)程多目標(biāo)優(yōu)化[J]. 控制理論與應(yīng)用,2009,26(6):687-693. LI Yong, LIU Jianchang, WANG Yu. An Improved Adaptive Weight Approach GA for Optimizing Multi-Objective Rolling Schedules in a Tandem Cold Rolling[J]. Control Theory and Applications,2009,26(6):687-693.

[3] 魏立新, 王利平, 馬明明, 等. 基于改進(jìn)多目標(biāo)粒子群算法的冷連軋規(guī)程優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 中國(guó)機(jī)械工程,2015,26(9):1239-1259. WEI Lixin, WANG Liping, MA Mingming, et al. Optimization of Tandem Cold Rolling Schedule Based on Improved Muti-objective Particle Swarm Optimization Algorithm[J]. China Mechanical Engineering,2015,26(9):1239-1259.

[4] 魏立新, 李興強(qiáng), 劉澤, 等. 基于自適應(yīng)遺傳算法的冷連軋負(fù)荷分配優(yōu)化[J]. 中國(guó)機(jī)械工程,2009,20(20):2506-2509. WEI Lixin, LI Xingqiang, LIU Ze, et al. Load Distribution Optimization in Tandem Cold Rolling Based on Adaptive Genetic Algorithm[J]. China Mechanical Engineering,2009,20(20):2506-2509.

[5] DEB K, JAIN H. An Evolutionary Many-objective Optimization Algorithm Using Reference-point-based Nondominated Sorting Approach, Part I: Solving Problems with Box Constraints[J]. Evolutionary Computation, IEEE Transactions on,2013,18(4):577-601.

[6] LI Hui, ZHANG Qingfu. Multiobjective Optimization Problems with Complicated Pareto Sets, MOEA/D and NSGA-Ⅱ[J]. Evolutionary Computation, IEEE Transactions on,2009,13(2):284-302.

[7] 王勇, 蔡自興, 周育人, 等. 約束優(yōu)化進(jìn)化算法[J]. 軟件學(xué)報(bào),2009,20(1):11-29. WANG Yong, CAI Zixing, ZHOU Yuren, et al. Constrained Optimization Evolutionary Algorithms[J]. Journal of Software,2009,20(1):11-29.

[8] ZHANG Hao, ZHU Yunlong, ZHANG Dingyi. Self-adaptive Root Growth Model for Constrained Multi-objective Optimization[C]// Evolutionary Computation (CEC), 2013 IEEE Congress on. Cancun, Mexico,2013:2360-2367.

[9] 王建林, 吳佳歡, 張超然, 等. 基于自適應(yīng)進(jìn)化學(xué)習(xí)的約束多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法[J]. 控制與決策,2014,29(10):1765-1770. WANG Jianlin, WU Jiahuan, ZHANG Chaoran, et al. Constrained Multi-objective Particle Swarm Optimization Algorithm Based on Self-adaptive Evolutionary Learning[J]. Control and Decision,2014,29(10):1765-1770.

[10] 尚榮華, 焦李成, 胡朝旭, 等. 修正免疫克隆約束多目標(biāo)優(yōu)化算法[J]. 軟件學(xué)報(bào),2012,23(7):1773-1786. SHANG Ronghua, JIAO Licheng, HU Chaoxu, et al. Modified Immune Clonal Constrained Multi-objective Optimization Algorithm[J]. Journal of Software,2012,23(7):1773-1786.

[11] KARABOGA D, AKAY B. A Modified Artificial Bee Colony (ABC) Algorithm for Constrained Optimization Problems[J]. Applied Soft Computing,2011,11(3):3021-3031.[12] DEB K, PRATAP A, MEYARIVAN T. Constrained Test Problems for Multi-Objective Evolutionary Optimization[C]//Evolutionary Multi-criterion Optimization. Zwrich, Switzerland,2001:284-298.

[13] 羅辭勇, 陳民鈾, 張聰譽(yù). 采用循環(huán)擁擠排序策略的改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法[J]. 控制與決策,2010,(2):227-231. LUO Ciyong, CHEN Minyou, ZHANG Congyu. Improved NSGA-Ⅱ Algorithm with Circular Crowded Sorting[J]. Control and Decision,2010,(2):227-231.

[14] DAS S, SUGANTHAN P N. Differential Evolution: A Survey of the State-of-the-Art[J]. Evolutionary Computation, IEEE Transactions on,2011,15(1):4-31.

[15] 孫一康. 冷熱軋板帶軋機(jī)的模型與控制[M]. 北京: 冶金工業(yè)出版社,2010:30-36. SUN Yikang. Model and Control of Hot and Cold Strip Mill [M]. Beijing: Metallurgical Industry Press, 2010:30-36.

[16] 王軍生, 金蘭, 劉相華. 帶鋼冷連軋?jiān)砼c過(guò)程控制[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2009. WANG Junsheng, BAI Jinlan, LIU Xianghua. Principle and Process Control of Cold Strip Rolling[M]. Beijing: Science Press, 2009.

[17] 白振華, 王駿飛. 冷連軋過(guò)程中實(shí)用摩擦系數(shù)模型及其影響因素的研究[J]. 中國(guó)機(jī)械工程,2005,16(21):1908-1911. BAI Zhenhua, WANG Junfei. Research on Practical Friction Coefficient and Its Influencing Factor in Cold Rolling Processes[J].China Mechanical Engineering,2005,16(21):1908-1911.

(編輯 袁興玲)

Analysis for Load Distribution of Tandem Cold Rolling Based on Constrained Multi-objective Evolutionary Algorithm

SUN Hao1,2XIAO Hong3HU Qingjun4

1.School of Electrical Engineering,Yanshan University, Qinhuangdao，Hebei，066004 2.Post-Doctoral Stations of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao，Hebei，066004 3.School of Mechanical Engineering, Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei，066004 4.Research Institute of Electric Science Co.，Ltd.，Tianjin，300301

The load distribution of tandem cold rolling might be abstracted as a constrained multi-objective optimization problem. To solve this problem, an evolution algorithm was proposed based on environmental Pareto dominated selection strategy. The algorithm which accelerated the convergence speed by excellent infeasible solutions gave a more objective evaluation of the different solutions. Taking the power margin, minimum total rolling energy consumption, minimum slip factor and the best rolling force at last rack as optimizing criterion, the quantitative relationship among four objective functions was obtained by the constrained multi-objective evolutionary algorithm, which made decision-maker grasp the rules of rolling intuitively without proficient in complex rolling theory knowledge. And the necessity of the multi-objective strategy in the load distribution of tandem cold rolling was illustrated.

constrained multi-objective optimization problem； constraint-handling technique； the load distribution of tandem cold rolling； differential evolution algorithm

2016-03-09

燕山大學(xué)博士基金資助項(xiàng)目(B963)；國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)與寶鋼集團(tuán)有限公司聯(lián)合資助項(xiàng)目(U1260203)；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(F2016203249)；河北省高等學(xué)校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)領(lǐng)軍人才培育計(jì)劃資助項(xiàng)目(LJRC013)；國(guó)家冷軋板帶裝備及工藝工程技術(shù)研究中心開(kāi)放課題資助項(xiàng)目(2012005)

TG335

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.01.016

孫 浩，男，1985年生。燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院講師、博士。主要研究方向?yàn)檐堉七^(guò)程自動(dòng)控制及多目標(biāo)進(jìn)化算法。E-mail:sunhao@ysu.edu.cn。肖 宏，男，1962年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。胡慶軍，男，1982年生。天津電氣科學(xué)研究院有限公司系統(tǒng)工程一公司副總經(jīng)理。