毛亞郎 孫 毅,2 計(jì)時(shí)鳴 單繼宏 金曉航.浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，杭州，30042.浙江工業(yè)大學(xué)海洋研究院，杭州，3004

基于單次料層沖擊破碎質(zhì)量模型的球磨選擇函數(shù)

毛亞郎1孫 毅1,2計(jì)時(shí)鳴1單繼宏1金曉航1
1.浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，杭州，3100142.浙江工業(yè)大學(xué)海洋研究院，杭州，310014

為提高球磨破碎效率，以及構(gòu)建球磨裝置的顆粒破碎過程模型，開展了基于單次料層沖擊破碎質(zhì)量模型的球磨選擇函數(shù)研究。根據(jù)料層夾持形態(tài)與落球沖擊試驗(yàn)，將料層破碎分為低沖擊能下的未完全破碎和高沖擊能量下的完全破碎兩種狀態(tài)。分析了單位質(zhì)量能耗特性和細(xì)顆粒對(duì)夾持破碎質(zhì)量的影響，分別建立了兩種破碎狀態(tài)下的料層沖擊破碎質(zhì)量模型。結(jié)合沖擊能量譜，構(gòu)建了基于單次料層沖擊破碎質(zhì)量模型的球磨選擇函數(shù)，將介質(zhì)球徑、顆粒特性等影響球磨破碎效率的參數(shù)納入到選擇函數(shù)中。

料層夾持形態(tài)；沖擊破碎質(zhì)量；選擇函數(shù)；球磨

0 引言

在礦物、水泥、陶瓷、顏料等大規(guī)模粉體加工中，球磨機(jī)、振動(dòng)磨、攪拌磨等球磨裝置應(yīng)用廣泛[1]。球磨破碎過程影響因素多、能耗高、節(jié)能空間大?；谫|(zhì)量平衡原理的總體平衡模型是描述球磨破碎過程的重要數(shù)學(xué)模型[2]，由表示破碎率(單位時(shí)間的破碎質(zhì)量)的選擇函數(shù)和表示粒度分布的破碎函數(shù)組成。但是總體平衡模型并未包含顆粒特性、介質(zhì)球大小、填充率和轉(zhuǎn)速率等這些影響球磨破碎效率的參數(shù)，實(shí)際應(yīng)用時(shí)必須根據(jù)不同時(shí)間的分批間歇球磨結(jié)果來確定選擇函數(shù)[3]，該過程將球磨裝置視為一個(gè)“黑盒”，不利于球磨過程的優(yōu)化。因此，有必要構(gòu)建包含球磨破碎參數(shù)的選擇函數(shù)，使破碎過程描述由“黑盒”變?yōu)椤鞍缀小保愿倪M(jìn)球磨過程模型。

料層顆粒在沖擊或擠壓作用下產(chǎn)生破碎，通過篩分得到小于初始粒度破碎顆粒的質(zhì)量，即破碎質(zhì)量。AUSTIN[4]構(gòu)建了考慮顆粒粒度、磨機(jī)直徑、介質(zhì)球徑、填充率、轉(zhuǎn)速率等影響因素的球磨破碎質(zhì)量的經(jīng)驗(yàn)公式。球磨效率與筒體內(nèi)沖擊破碎事件密切相關(guān)，CHO[5]用基于沖擊能量的單次沖擊破碎質(zhì)量來表示選擇函數(shù)。離散元方法(DEM)被用于球磨介質(zhì)運(yùn)動(dòng)仿真，H?FLER[6]將二維DEM仿真獲得的沖擊能量譜用于表示單次沖擊破碎事件。DATTA等[7]建立了基于三維DEM沖擊能量譜和多層料層破碎實(shí)驗(yàn)的選擇函數(shù)?？紤]到料層夾持形態(tài)對(duì)單次沖擊破碎質(zhì)量的影響，NOMURA等[8]建立了考慮夾持區(qū)域、夾持可能性的單層料層破碎的選擇函數(shù)，BOURGEOIS[9]對(duì)單層料層中的單顆粒破碎模型進(jìn)行了研究。TAVARES等[10]考慮了多次低能沖擊和顆粒間的研磨對(duì)顆粒破碎的影響。TUZCU[11]完善了基于單顆粒破碎和沖擊能量譜的選擇函數(shù)。由此可見，球磨選擇函數(shù)與料層夾持形態(tài)密切相關(guān)[6,12]，有必要構(gòu)建基于多層料層破碎的選擇函數(shù)。本文根據(jù)料層夾持形態(tài)和DEM球磨沖擊特性，開展單次料層沖擊破碎試驗(yàn)，對(duì)破碎質(zhì)量進(jìn)行分析，構(gòu)建基于料層夾持形態(tài)的單次沖擊破碎質(zhì)量模型，改進(jìn)球磨選擇函數(shù)。

1 單次料層沖擊夾持破碎質(zhì)量

落球沖擊下料層的破碎質(zhì)量與料層夾持形態(tài)密切相關(guān)，前期的研究發(fā)現(xiàn)料層夾持厚度約為2層，料層夾持范圍由介質(zhì)球大小、顆粒形態(tài)決定，較高的沖擊速度(能量)能增加單次沖擊的破碎質(zhì)量，根據(jù)石英砂落球沖擊試驗(yàn)建立了基于料層夾持形態(tài)模型的夾持破碎質(zhì)量計(jì)算式[13]：

m=πρdD2sin2α/2

(1)

式中，ρ為顆粒堆積密度；d為顆粒粒徑；D為介質(zhì)球徑；α為料層夾持角度，可由顆粒的安息角ψ計(jì)算得到，對(duì)于粒徑1 mm左右的石英砂，α=ψ-23.61°。

根據(jù)夾持料層內(nèi)顆粒是否全部破碎，把料層破碎狀態(tài)分為未完全破碎和完全破碎。實(shí)際球磨破碎時(shí)，沖擊能量大小不等，不能保證每次沖擊都能使夾持范圍內(nèi)顆粒全部破碎，必須分別考慮低沖擊能量和高沖擊能量下的不同破碎特性。

1.1 低沖擊能下的破碎質(zhì)量

1.1.1 破碎質(zhì)量與單位質(zhì)量能耗

開展了不同落球高度下的石英砂料層沖擊試驗(yàn)(實(shí)驗(yàn)1)，實(shí)驗(yàn)方法和裝置與文獻(xiàn)[13]相同。其中鋼球直徑為25 mm，石英砂粒度為18～20目，初始料層厚度為3 mm，堆積密度為1.43 g/cm3。料層破碎質(zhì)量隨沖擊高度的變化趨勢(shì)如圖1中的實(shí)線所示，可將料層破碎分為兩個(gè)階段：低沖擊能量階段(沖擊高度H=20～150 mm)和高沖擊能量階段(H>150 mm)。低沖擊能量階段，被夾持顆粒未完全破碎，破碎質(zhì)量隨沖擊高度(能量)快速增大；高沖擊能量階段，被夾持顆粒完全破碎，破碎質(zhì)量隨沖擊高度(能量)緩慢增大，顆粒的破碎狀態(tài)如圖2所示。DATTA等[7]對(duì)石灰石料層的落球沖擊試驗(yàn)也得到類似的結(jié)果。將曲線變化轉(zhuǎn)折位置(H=150 mm)視為未完全破碎與完全破碎(低沖擊能與高沖擊能)的臨界點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的沖擊能量和破碎質(zhì)量用E0和m0表示，m0可用夾持破碎質(zhì)量式(1)表示，可見夾持破碎質(zhì)量是劃分高低沖擊能量的依據(jù)。

圖1 不同沖擊高度下破碎質(zhì)量與破碎能耗Fig.1 Breakage mass and mass-specific breakage energy of quartz beds with different impact heights

圖2 不同沖擊高度下顆粒的破碎形態(tài)Fig.2 Shape of quartz fragments with different impact heights

實(shí)驗(yàn)1的單位質(zhì)量能耗(沖擊能量與破碎質(zhì)量之比)隨沖擊高度的變化如圖1中虛線所示，在未完全破碎階段，單位破碎質(zhì)量能耗基本相同，完全破碎階段能耗顯著增加，增加的能耗使破碎顆粒更細(xì)，顆粒破碎程度如圖2所示?？梢娢赐耆扑殡A段的破碎質(zhì)量與沖擊能成正比,即

Ek/m=C0

(2)

式中，Ek為沖擊能；C0為未完全破碎下的單位質(zhì)量能耗。

1.1.2 顆粒粒度與單位質(zhì)量能耗的關(guān)系

受顆粒內(nèi)部缺陷、微裂紋分布的影響，顆粒單位質(zhì)量能耗會(huì)隨著顆粒粒度的減小而增大，與粒度大小成指數(shù)關(guān)系[14]。TAVARES等[15]根據(jù)不同材料不同粒度的單顆粒破碎試驗(yàn)，建立了單位質(zhì)量能耗與顆粒粒徑的關(guān)系式：

Em50=Em,∞[1+(d0/d)]φ

(3)

其中，Em50表示單顆粒在50%破碎概率下的單位質(zhì)量能耗；參數(shù)Em,∞、d0和φ由單顆粒破碎試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到，其中石英砂的參數(shù)值分別為0.043 J/g,3.48 mm,1.61。低沖擊能下，料層顆粒處于未完全破碎狀態(tài)，與單顆粒破碎狀態(tài)相似，將式(3)用于料層顆粒的未完全破碎階段。但是未完全破碎階段的單位質(zhì)量能耗C0是根據(jù)所有破碎顆粒的質(zhì)量進(jìn)行計(jì)算的，不同于單顆粒50%破碎概率下的Em50。因此對(duì)式(3)的Em,∞進(jìn)行修正，將18～20目石英砂料層破碎的C0≈1.45 J/g代入式(3)取代Em50，求得Em,∞的修正值為0.105 J/g，得不同粒度石英砂料層的單位破碎質(zhì)量能耗為

C0=0.105[1+(3.48/d)]1.61

(4)

將式(4)計(jì)算得到的不同粒度下單位質(zhì)量能耗與文獻(xiàn)[15]石英砂單顆粒破碎實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，單顆粒的破碎概率在95%以上，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本相符。

1.2 高沖擊能下的破碎質(zhì)量

1.2.1 完全破碎質(zhì)量模型

通過式(1)可計(jì)算在沖擊能量E0下料層夾持范圍內(nèi)顆粒的夾持破碎質(zhì)量，但是實(shí)際破碎質(zhì)量會(huì)隨著沖擊能量的增大而增大。為此開展了1層、2層和3層不同層數(shù)石英砂顆粒的落球沖擊試驗(yàn)(實(shí)驗(yàn)2)，分析破碎質(zhì)量增大的原因。實(shí)驗(yàn)參數(shù)與實(shí)驗(yàn)1相同，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。由圖3中料層數(shù)為1層和2層的破碎質(zhì)量變化趨勢(shì)可以發(fā)現(xiàn)，在完全破碎階段沖擊能量的增大對(duì)破碎質(zhì)量影響很小，說明夾持范圍基本未變，多層料層下增加的破碎質(zhì)量并非來源于被夾持的1～2層顆粒。結(jié)合文獻(xiàn)[13]的相同沖擊高度、不同沖擊能量下夾持料層的完全破碎質(zhì)量相同的結(jié)論，進(jìn)一步確認(rèn)由于多層顆粒在被夾持前的剪切滑移導(dǎo)致了顆粒破碎質(zhì)量的增大，沖擊速度的增大加劇了該現(xiàn)象，使破碎質(zhì)量隨沖擊能量的增大而增大。但是破碎質(zhì)量的增大受料層本身的限制，沖擊能量越大，相對(duì)增量越小，DATTA[14]用對(duì)數(shù)函數(shù)表示破碎質(zhì)量與沖擊能量的關(guān)系如下：

m=a1lnEk-b

(5)

式中，a1、b為函數(shù)系數(shù)。

圖3 料層厚度對(duì)破碎質(zhì)量的影響Fig.3 Effect of the particle-beds Layer on breakage mass

根據(jù)沖擊能量為E0時(shí)料層夾持破碎質(zhì)量為m0，可得

(6)

可見沖擊能量為Ek時(shí)，完全破碎質(zhì)量包括兩部分：夾持破碎質(zhì)量和剪切滑移破碎質(zhì)量。系數(shù)a1表示破碎質(zhì)量隨沖擊能量增大的增量系數(shù)，它會(huì)隨顆粒粒度增大而增大[14]。

1.2.2 細(xì)顆粒對(duì)夾持破碎質(zhì)量的影響

在實(shí)際球磨過程中，顆粒粒度會(huì)越來越小，可能出現(xiàn)破碎過程中落球已與鐵砧接觸，料層難以進(jìn)一步擠壓的情況，如圖4所示，而處于夾持區(qū)域內(nèi)(α內(nèi))的外圍顆粒并未有被夾持和破碎的現(xiàn)象(因外圍料層厚度仍大于2層顆粒的堆疊厚度)，導(dǎo)致實(shí)際破碎夾持范圍小于理論值。

圖4 細(xì)顆粒夾持狀態(tài)Fig.4 Nipped configuration of fine particles

圖4中的Δ表示落球已與鐵砧接觸時(shí)夾持區(qū)域邊界處的球面與鐵砧的高度差，其大小為

(7)

忽略落球與鐵砧間殘留破碎物以及沖擊變形的影響，為確保理論夾持范圍內(nèi)所有顆粒被破碎，必須滿足外圍只有單個(gè)顆粒時(shí)也能受到落球擠壓，即d>Δ。當(dāng)Δ/2

當(dāng)Δ/2

(8)

求得破碎質(zhì)量m2=πρd2(D-d)，加上上層顆粒的全部破碎質(zhì)量得總夾持破碎質(zhì)量：

m01=πρd(D2sin2α/4+Dd-d2)

(9)

當(dāng)d≤Δ/2時(shí)，上層顆粒的實(shí)際夾持范圍根據(jù)圖4中的直角三角形OAB可得

(10)

下層顆粒的實(shí)際夾持范圍計(jì)算與式(8)相同，兩層顆粒夾持破碎質(zhì)量為

m02=πρd2(3D-5d)

(11)

將m01、m02代入式(2)可得相應(yīng)的臨界破碎能為E01、E02。

綜上，可得單次料層沖擊下的破碎質(zhì)量模型為

(12)

式(12)中，當(dāng)d>Δ時(shí)，E0j=E0，m0j=m0；當(dāng)Δ≥d>Δ/2時(shí)，E0j=E01，m0j=m01；當(dāng)d ≤Δ/2時(shí)，E0j=E02，m0j=m02。

2 破碎質(zhì)量模型實(shí)例

構(gòu)建破碎質(zhì)量模型時(shí)，只要通過低沖擊能和高沖擊能下的兩次落球沖擊試驗(yàn)就能確定C0、E0和a1值，具體流程如圖5所示?，F(xiàn)以粒度為18～20目的石英砂落球沖擊試驗(yàn)為例進(jìn)行說明。將落球直徑D=25 mm，石英砂料層參數(shù)ρ=1.43×10-3g/mm3、d=0.85 mm、α=14.19°代入式(1)得m0=0.072 g。根據(jù)落球高度為60 mm的低沖擊能落球沖擊試驗(yàn)獲得E1、m1，代入式(2)求得單位質(zhì)量能耗C0=1.45 J/g。將m0代入式(2)得E0=0.104 J。根據(jù)式(7)計(jì)算得Δ=0.38 mm，d>Δ。根據(jù)式(6)計(jì)算完全破碎質(zhì)量。根據(jù)落球高度為400 mm的高沖擊能落球沖擊試驗(yàn)獲得E2、m2，代入式(6)得a1=0.034 g。根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果作出破碎質(zhì)量隨沖擊能量的變化曲線，如圖6中虛線所示，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(實(shí)線)比較，兩者基本一致。

圖5 破碎質(zhì)量構(gòu)建流程Fig.5 Procedure of breakage mass modeling

圖6 料層破碎質(zhì)量曲線Fig.6 Breakage mass of quartz beds

3 基于沖擊能量譜和單次沖擊破碎的球磨選擇函數(shù)

只有獲得磨機(jī)內(nèi)不同介質(zhì)球沖擊次數(shù)、沖擊能量，才能通過累加單次沖擊破碎質(zhì)量構(gòu)建磨機(jī)的選擇函數(shù)。假設(shè)介質(zhì)球提升時(shí)不發(fā)生滑動(dòng)且呈圓周分布，NOMURA等[8]從理論上計(jì)算了球磨機(jī)內(nèi)介質(zhì)球的沖擊數(shù)量和沖擊能量。由于假設(shè)過于理想化，無法體現(xiàn)提升襯板、混合介質(zhì)、摩擦因數(shù)等工況參數(shù)對(duì)球磨效率的影響，故理論計(jì)算與實(shí)際球磨差異較大。DEM是模擬球磨介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的有效工具[2]，可獲得不同球磨工況下的每次沖擊的介質(zhì)球徑、能量等信息[16-17]， DATTA等[7]建立了基于沖擊能量譜的選擇函數(shù)：

(13)

式中，λk表示單位時(shí)間內(nèi)沖擊能量為Ek的沖擊次數(shù)，通過DEM球磨機(jī)的介質(zhì)運(yùn)動(dòng)仿真得到；mi,k為在沖擊能量為Ek時(shí)粒級(jí)為i的顆粒的單次沖擊破碎質(zhì)量，通過對(duì)4層厚的料層落球沖擊試驗(yàn)得到。

DATTA等[7]通過落球沖擊試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的方法建立了基于沖擊能量的破碎質(zhì)量模型，如式(5)所示。但是實(shí)際料層夾持破碎質(zhì)量與介質(zhì)球徑、顆粒形態(tài)、破碎狀態(tài)密切相關(guān)，該質(zhì)量模型過于簡(jiǎn)化和經(jīng)驗(yàn)化。

參照式(13)的選擇函數(shù)，將基于料層夾持形態(tài)的單次沖擊破碎質(zhì)量模型式(12)取代mi,k，構(gòu)建包含破碎質(zhì)量影響因素的選擇函數(shù)：

(14)

其中，C0,i表示粒度為di顆粒的單位質(zhì)量能耗，由式(4)計(jì)算；E0j,i,n、m0j,i,n分別表示粒度為di的顆粒在直徑為Dn的落球沖擊下夾持料層全部破碎所需的臨界沖擊能量和夾持破碎質(zhì)量，當(dāng)d>Δ時(shí)，E0j,i,n= E0,i,n，m0j,i,n= m0,i,n；當(dāng)Δ≥d>Δ/2時(shí)，E0j,i,n= E01,i,n，m0j,i,n= m01,i,n；當(dāng)d≤Δ/2時(shí)，E0j,i,n=E02,i,n，m0j,i,n= m02,i,n。λk表示單位時(shí)間內(nèi)能量等級(jí)為k級(jí)的沖擊次數(shù)(其中Ek≤E0j,i,n)；λk,n表示單位時(shí)間球徑為Dn能量等級(jí)為k級(jí)的沖擊次數(shù)(其中Ek>E0j,i,n)；沖擊的能量等級(jí)Ek、球徑Dn及其次數(shù)λ由DEM介質(zhì)運(yùn)動(dòng)仿真獲得。

利用DEM軟件對(duì)磨機(jī)進(jìn)行介質(zhì)運(yùn)動(dòng)仿真以獲得沖擊特征數(shù)據(jù)，結(jié)合式(14)和顆粒沖擊破碎函數(shù)，即可通過總體平衡方程計(jì)算球磨產(chǎn)品粒度分布，用于確定和優(yōu)化球磨參數(shù)。

4 結(jié)論

(1)提出了一種根據(jù)落球沖擊下料層夾持形態(tài)及其破碎質(zhì)量模型構(gòu)建球磨破碎過程選擇函數(shù)的方法，將介質(zhì)球、顆粒特性等影響球磨效率的參數(shù)包含到選擇函數(shù)中。

(2)夾持料層未完全破碎時(shí)，顆粒破碎質(zhì)量與沖擊能量成正比，單位質(zhì)量能耗與顆粒粒徑成指數(shù)關(guān)系。

(3)夾持料層完全破碎時(shí)，顆粒破碎質(zhì)量包含完全破碎質(zhì)量和高沖擊能量導(dǎo)致的破碎增量?jī)刹糠?，分析了?xì)顆粒對(duì)夾持料層完全破碎質(zhì)量的影響。

(4)以石英砂顆粒為例說明了通過高低沖擊能的落球沖擊試驗(yàn)構(gòu)建單次沖擊破碎質(zhì)量模型的過程，過程簡(jiǎn)單便捷。

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(編輯 袁興玲)

Selection Function Based on Single-impact Breakage Mass Model of Particle Beds in Ball Mills

MAO Yalang1SUN Yi1,2JI Shiming1SHAN Jihong1JIN Xiaohang1

1.College of Mechanical Engineering，Zhejiang University of Technology，Hangzhou，310014 2.Institute of Ocean Research，Zhejiang University of Technology，Hangzhou，310014

In order to establish the particle comminution process model and improve the grinding efficiencies in ball mills, the studies of the selection function were carried out based on the single-impact breakage mass model. According to the nipped configurations and the falling ball impact tests, the particle-bed breakage was divided into the incomplete breakage in low impact energy and the complete breakage in high impact energy. The energy of mass specific fracture energy and the effects of fine particles on nipped breakage mass were analyzed. The models of the single-impact breakage mass under two broken states were built respectively. The selection function, which included the breakage influence factors such as media diameter, particle size and particle shape of ball mill, was set up based on the impact energy spectrum and the single-impact breakage mass model.

nipped configuration of particle bed; impact breakage mass; selection function; ball mill

2016-03-02

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51675484，51275474，51505424)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LZ12E05002，LY15E050019)

TD921

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.01.001

毛亞郎，男，1978年生。浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生、講師。主要研究方向?yàn)榉勰C(jī)械與裝備。發(fā)表論文4篇。孫 毅(通信作者)，男，1966年生。浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。E-mail:sunyi@zjut.edu.cn。計(jì)時(shí)鳴，男，1957年生。浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。單繼宏，男，1970年生。浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。金曉航，男，1981年生。浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。