楊斌強 徐文潭 陸國麗 王光慶

浙江工商大學信息與電子工程學院，杭州，310018

寬頻壓電振動能量采集器的分布參數(shù)模型與實驗

楊斌強 徐文潭 陸國麗 王光慶

浙江工商大學信息與電子工程學院，杭州，310018

為解決無線傳感網絡節(jié)點自供電問題，提出了一種帶有彈性支撐與放大的寬頻壓電振動能量采集器。利用Hamilton原理和Raleigh-Ritz方法，并考慮懸臂梁末端質量塊的影響，建立了壓電能量采集器的分布參數(shù)機電耦合模型；數(shù)值分析了能量采集器質量比、剛度比和阻尼比等參數(shù)對系統(tǒng)振動特性、輸出特性的影響；研制了實驗原理樣機，搭建了實驗測試平臺，驗證了數(shù)學模型的正確性。研究結果表明，分布參數(shù)模型比集總參數(shù)模型具有更高的預測精度。

壓電能量采集；兩自由度；分布參數(shù)模型；彈性放大器；寬頻帶

0 引言

振動能量采集技術在無線傳感網絡及MEMS器件中具有廣闊的應用前景，它可以解決上述器件使用電池供電帶來的電池壽命短、更換不方便、污染環(huán)境等諸多弊端。振動能量采集器根據(jù)轉換機理不同分為靜電式、電磁式和壓電式三種，相比而言，壓電式結構更簡單、能量轉換密度更高[1]。

壓電振動能量采集器(piezoelectric vibration energy harvester, PVEH) 一般由壓電雙晶片或壓電單晶片懸臂梁構成，是單自由度 (single degree of freedom，SDOF) 系統(tǒng)。ERTURK等[2-3]考慮末端質量塊的影響，建立了SDOF能量采集器機電耦合分布參數(shù)模型，分析了負載電阻和機電耦合系數(shù)對采集器輸出性能的影響，并指出利用集總參數(shù)模型預測采集器末端振動位移將產生較大誤差(主要源于分布參數(shù)對激勵信號幅值的影響)的問題。由于環(huán)境振動頻率是隨機的，而線性諧振的SDOF壓電能量采集器工作頻帶窄，諧振頻率難以和環(huán)境振動頻率完全匹配，導致機電能量轉換效率較低。為此，TANG等[4]提出了一種兩自由度(two degrees of freedom，TDOF)的寬頻壓電振動能量采集器，優(yōu)化了輸出功率，但忽略了懸臂梁軸向應變分布和振型對輸出性能的影響。ALDRAIHEM等[5]利用Lagrangian 動力學方法建立了一種帶有彈性放大器的壓電振動能量采集器模型，分析了系統(tǒng)參數(shù)對采集器輸出性能的影響，此模型忽略了系統(tǒng)阻尼的影響。MA等[6]設計出一種帶質量-彈簧系統(tǒng)的壓電振動能量采集器，并建立集總參數(shù)模型，但模型忽略了壓電元件機電耦合效應。WANG等[7]提出了一種帶單自由度線性放大器的壓電能量采集器，利用能量方法建立了采集器機電耦合模型，并用有限元建模進行了驗證，此模型未考慮懸臂梁末端質量塊的影響。喻其炳等[8]設計了一種多頻響應的壓電振動能量采集器，制作了樣機，通過實驗證明了其可以在更寬的頻帶范圍內采集更多的振動能量。王光慶等[9]提出了一種寬頻壓電能量采集器改進的集總參數(shù)解析模型，并進行了驗證。

雖然改進的模型考慮到了能量采集器的機電耦合輸出效應，但模型忽略了壓電懸臂梁的分布參數(shù)和動態(tài)振型對輸出性能的影響，因此，該模型的預測精度不是很高。另外，集總參數(shù)模型主要考慮壓電采集器的一階諧振特性，認為一階諧振狀態(tài)下，壓電采集器可等效成一個由質量-彈簧-阻尼構成的集總參數(shù)模型。但是對于寬頻壓電系統(tǒng)而言，集總參數(shù)模型無法準確反映出高階諧振特性對采集器輸出性能的影響，也無法反映出采集器高階諧振狀態(tài)與一階諧振狀態(tài)之間的耦合關系。為此，針對帶有彈性支撐與放大的兩自由度寬頻壓電振動能量采集器，筆者利用Hamilton原理和Raleigh-Ritz方法，考慮懸臂梁末端質量塊、懸臂梁分布參數(shù)和動態(tài)振型的影響，建立了寬頻壓電振動能量采集器的分布參數(shù)機電耦合模型，數(shù)值分析了壓電能量采集器分布參數(shù)(質量比、剛度比和阻尼比等)對系統(tǒng)振動特性和能量采集輸出特性的影響。最后，研制了原理樣機，搭建了實驗測試平臺，并對模型進行了驗證。

1 理論模型

1.1 結構設計

TDOF壓電能量采集器的結構模型如圖1所示，它由雙壓電晶片懸臂梁振動能量采集器和一個彈性放大器組成。兩壓電晶片(PZT1和PZT2)分別黏結在金屬基板的上下表面，它們的電極化方向相反且與z軸平行。壓電懸臂梁的一端連在基座上的彈性放大器，另一端連著質量為mt的末端質量塊，RL為輸出負載電阻。mb、Kb、Cb分別為彈性放大器的質量、彈簧剛度和阻尼系數(shù)。L為懸臂梁的長度，b為懸臂梁寬度。hp、hs分別為PZT厚度和基板厚度。

圖1 TDOF壓電能量采集器結構模型Fig.1 Schematic of TDOF PVEH

假定壓電晶片與金屬基板是完好黏結的，且壓電懸臂梁是Euler Bernoulli梁，做橫向彎曲振動(沿z軸方向)，則TDOF壓電能量采集器中金屬基板滿足本構關系：

σs=csεs

(1)

壓電片PZT滿足本構關系：

(2)

1.2 運動控制方程

根據(jù)Hamilton原理，該模型的運動方程為

(3)

式中，t為時間；ΔT為系統(tǒng)動能變化量；ΔU為系統(tǒng)內勢能變化量；ΔWe為電勢能變化量；ΔW為外力做功。

系統(tǒng)動能為

(4)

式中，meq為壓電梁(含末端質量塊)的靜態(tài)質量；yb為集中質量mb相對于基座的運動位移；w為壓電梁上各點相對于mb的運動位移。

系統(tǒng)內勢能為

(5)

Vp=2ρpLb Vs=ρsLb

式中，Vp為PZT體積；Vs為金屬基板體積。

系統(tǒng)電勢能為

(6)

外力做功為

(7)

根據(jù)Raleigh-Ritz方法，壓電梁的橫向彎曲位移可以寫成[10]：

(8)

式中，φri(x)為懸臂梁彎曲振型函數(shù)；ri(t)為與時間相關的i階坐標；nr為振型個數(shù)。

φr(x)=C[cosγx-coshγx+ζ(sinγx-sinhγx)]

(9)

γ=λ/L

式中，ρ為壓電懸臂梁的平均密度；A為壓電懸臂梁的截面面積；λ為懸臂梁一階彎曲振動的特征值；C為是振型常數(shù)。

振型常數(shù)C可由下式得到：

(10)

式中，It為懸臂梁末端集總質量mt繞其質心的轉動慣量。

根據(jù)Raleigh-Ritz方法，壓電懸臂梁的電勢為

(11)

(12)

式中，ψVj(x)為第j對電極沿z向的電勢分布函數(shù)，并假設z=0處的ψVj(x)為0；uj(t)為與時間相關的第j對電極電壓；z為沿壓電梁厚度方向的坐標。

兩個壓電單晶片的兩端電勢差分別為

(13)

式中，U1、U2分別為PZT1和PZT2輸出電壓，且U1=U2。

將式(4)～式(7)代入式(3)，可得兩自由度寬頻壓電能量采集器的分布參數(shù)機電耦合模型方程：

(14)

Bf=∫VsρsφrdVs+∫VpρpφrdVp+mtφr(L)

meq=∫VsρsdVs+∫VpρpdVp+mt

Cb=2mbωbξbCeq=2mωeqξeq

式中，m為壓電梁的等效質量；Bf為壓電梁的質量函數(shù)；Kep為壓電梁的等效剛度；θp為壓電梁的等效機電耦合系數(shù)；Cp為壓電梁的靜態(tài)電容；Cb為彈性放大器阻尼；Ceq為壓電梁阻尼。

對式(14)進行Laplace變換，得

(15)

式中，R(S)、Yb(S)、URL(S)和Ub(S)分別為r(t)、yb(t)、URL(t)和ub(t)的Laplace變換函數(shù)。

對式(15)求解可以得到如下傳遞函數(shù)：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

S=jω B1=mb+meq

式中，ω為振動角頻率。

2 數(shù)值分析

由于寬頻壓電振動能量采集器是由懸臂梁壓電系統(tǒng)和彈性放大器耦合而成的，因此，系統(tǒng)結構參數(shù)(質量比、剛度比、阻尼比等)對寬頻壓電振動能量采集器的輸出特性具有重要的影響，所以本文著重討論了系統(tǒng)中壓電能量采集器和彈性放大器的質量比、剛度比和阻尼比對系統(tǒng)輸出特性的影響。

(21)

利用MATLAB仿真軟件數(shù)值分析分布參數(shù)機電耦合模型在單位加速度下的振動特性、能量采集輸出特性和負載特性。表1所示為用于仿真的壓電懸臂梁材料的幾何參數(shù)。

表1 壓電梁的材料參數(shù)和幾何參數(shù)Tab.1 Material and geometric properties of piezoelectric beam

2.1 剛度比k對輸出特性的影響

圖2所示分別為質量比a=10，RL=1 kΩ時，不同剛度比k下懸臂梁末端速度、輸出電壓和輸出功率隨頻率的變化曲線，為了便于比較，本文末端速度、輸出電壓和輸出功率均表示基礎激勵加速度為g條件下的輸出結果。從圖2中可以看出，末端速度、輸出電壓和輸出功率有相同的變化趨勢，剛度比k變化時，每條曲線的兩峰的橫軸位置、峰值、橫軸間距也在變化，且左右峰點的幅值隨剛度比的增加，呈現(xiàn)先增大、后減小的趨勢。對左峰點而言，隨著剛度比k增大，彈性放大器剛度增大，對基礎振動位移的放大能力增強，懸臂梁末端速度增大，輸出電壓和輸出功率也增大，這表明彈性放大器的部分振動能轉換成了壓電懸臂梁的機械能。隨著k繼續(xù)增大，輸出電壓和輸出功率反而減小，表明壓電懸臂梁的部分機械能轉換成了彈性放大器的振動能。k?a時，由于彈性放大器變成了剛性，放大能力消失，因此，壓電懸臂梁的輸出電壓和輸出功率減到最小。

k=a=10時，曲線左右兩峰點的橫軸間距變得最小，左右兩峰形成了一個寬頻帶窗口。此時，左峰點的幅值卻最大，這是因為此時的基礎振動頻率與彈性放大器的固有頻率ωb、懸臂梁固有頻率ωeq一致，整個系統(tǒng)處于諧振狀態(tài)。說明這種情況下，寬頻能量采集器具有更寬的有效工作頻帶和更佳的輸出性能。

(a)末端速度v隨頻率f的變化

(b)輸出電壓U隨頻率f的變化

(c)輸出功率P隨頻率f的變化圖2 不同剛度比k下的懸臂梁運動特性和 輸出特性的變化(a=10，RL=1 kΩ)Fig.2 Motion and output performance of cantilever beam with different stiffness ratios k when ratios (a=10，RL=1 kΩ)

2.2 質量比a對輸出特性的影響

圖3所示分別為剛度比k=10，RL=1 kΩ時，不同質量比a下懸臂梁末端速度、輸出電壓和輸出功率隨頻率的變化曲線?？梢钥闯?，末端速度、輸出電壓和輸出功率隨質量比a增大的變化趨勢，與圖2中它們隨剛度比k減小的變化趨勢相似。主要是因為當a很小時，k?a，彈性放大器的剛性起主導作用，系統(tǒng)彈性支撐轉變?yōu)閯傂灾?，此時放大器對基礎振動位移的放大能力最小。隨著a的增大，放大器對基礎振動位移的放大能力增強，使得懸臂梁末端速度逐漸增大。當k?a時，彈性放大器剛度相對很小，對基礎振動位移的放大能力不足，導致懸臂梁末端振動速度減小。同樣，在a=k=10時，兩峰間的橫軸間距最小，形成一個寬頻窗口。

圖4所示為a=k，RL=1 kΩ時，懸臂梁末端速度、輸出電壓和輸出功率隨頻率的變化曲線。由圖4可知，隨著a(或k)的增大，曲線左右峰點幅值逐漸增大，左右兩峰點之間的橫軸間距逐漸減小?？梢?，在a=k的情況下，大的質量比或剛度比有利于形成具有有效工作頻帶的寬頻窗口，有利于提高系統(tǒng)性能。

(a)末端速度v隨頻率f的變化

(b)輸出電壓U隨頻率f的變化

(c)輸出功率P隨頻率f的變化圖3 不同質量比a下的懸臂梁運動特性和 輸出特性的變化(k=10，RL =1 kΩ)Fig.3 Motion and output performance of cantilever beam with different mass ratios a when ratios (k=10，RL =1 kΩ)

2.3 阻尼比c對輸出特性的影響

圖5所示為阻尼比-系統(tǒng)輸出功率曲線，可以看出，阻尼比c增大(彈性放大器的阻尼系數(shù)增大)，使得系統(tǒng)的輸出功率降低，功率輸出曲線峰點的幅值對阻尼比的影響非常敏感，阻尼比c增大，峰點幅值急劇減小。當彈性放大器的阻尼系數(shù)遠大于懸臂梁的阻尼系數(shù)時，彈性放大器對基礎振動位移的放大功能將消失，此時，曲線兩峰點合并成形成一個峰點，這說明小的彈性放大器阻尼系數(shù)有利于提高TDOF能量采集器的輸出功率。

圖6所示為圖4 中a=k=10曲線左峰點的時域響應。左峰點頻率為29.25 Hz，此時最大輸出電壓、輸出功率(單位加速度為g的激勵條件下)分別為4.7 V和20 mW。

(a)末端速度v隨頻率f的變化

(b)輸出電壓U隨頻率f的變化

(c)輸出功率P隨頻率f的變化圖4 不同質量比a下的懸臂梁運動特性和 輸出特性的變化(a=k，RL =1 kΩ)Fig.4 Motion and output performance of cantilever beam with different mass ratios a when ratios (a=k，RL =1 kΩ)

圖5 不同阻尼比c下的輸出功率的變化 (a=k，RL =1 kΩ)Fig.5 Output power of cantilever beam with different damping ratios c when ratios (a=k，RL =1 kΩ)

圖6 TDOF壓電能量采集器特性曲線 左峰點的時域響應(a=10，RL =1 kΩ)Fig.6 Time-domain response of left peak in performance curves for TDOF PVEH (a=10，RL =1 kΩ)

2.4 阻抗匹配優(yōu)化

為了提高能量采集器的最大輸出功率，負載電阻必須與能量采集器的阻抗相匹配。能量采集器的諧振頻率的計算公式為

(22)

圖7 短路諧振和開路諧振下 負載變化時的輸出功率Fig.7 Output power under short circuit and open circuit resonant with different load resistance

圖8 a=k=10時，匹配負載電阻下TDOF系統(tǒng) 和SDOF系統(tǒng)輸出功率的比較Fig.8 Output power comparison of TDOF system with SDOF system when ratios a=k=10

短路諧振時，壓電能量采集器的有效剛度Keff=Keq，開路諧振時，壓電能量采集器的有效剛度Keff=Keq(1+d)。由式(22)可以計算出短路諧振頻率fsc=33.64 Hz，開路諧振頻率foc=34.25 Hz。圖7所示為系統(tǒng)短路諧振和開路諧振狀態(tài)下，能量采集器輸出功率隨負載電阻R的變化曲線，可以看出，能量采集器短路諧振和開路諧振時的最佳匹配電阻分別是112 kΩ和196 kΩ，對應的最大輸出功率(單位加速度g激勵條件下)分別為27.56 mW和27.4 mW。圖8所示為最佳匹配負載電阻情況下，TDOF和SDOF能量采集器輸出功率仿真結果，可以看出，TDOF能量采集器的最大輸出功率比SDOF的最大輸出功率高。另外，TDOF能量采集器的頻帶比SDOF能量采集器的頻帶寬，TDOF系統(tǒng)左右兩峰之間的帶寬為8.5 Hz，而SDOF系統(tǒng)的帶寬為1 Hz?？梢娫谙嗤募顥l件下，TDOF能量采集器擴寬了工作頻帶，提高了能量的采集效率和工作頻帶。

3 試驗驗證

研制的TDOF和SDOF原理樣機如圖9所示，其中，TDOF能量采集器的質量比a=10，剛度比k=15。圖10所示為壓電能量采集器實驗測試系統(tǒng)。信號發(fā)生器產生的正弦交流信號經過內置功率放大器放大后，激勵激振器和基座作正弦波振動；能量采集器和加速度傳感器(型號：CD-210)通過高強度502膠并列黏結在基座上；基座振動加速度和TDOF能量采集器的懸臂梁末端位移分別經加速度傳感器和電渦流傳感器(型號：HZ-8500φ11)采集后送入動態(tài)信號分析儀分析后，再經過INV1601型信息采集軟件輸出到顯示器；TDOF能量采集器的輸出電壓通過示波器顯示。

1.SDOF PVEH 2.TDOF PVEH 3.加速度傳感器圖9 TDOF和SDOF原理樣機Fig.9 Prototypes of TDOF and SDOF

1.信號發(fā)生器 2.動態(tài)與信號分析儀 3.基座 4.電渦流位移傳感器 5.激振器 6.顯示器 7.示波器圖10 壓電能量采集器實驗測試系統(tǒng)Fig.10 Experimental setup of piezoelectric energy harvesters

將提出的分布參數(shù)模型和集總參數(shù)模型[10]的數(shù)值分析結果與實驗研究結果進行比對,圖11、圖12所示分別為負載電阻RL=112 kΩ，196 kΩ時的TDOF能量采集器輸出電壓與輸出功率。從圖11 、圖12中可以看出，分布參數(shù)模型輸出結果與試驗測試結果具有更高的吻合度，驗證了分布參數(shù)機電耦合模型的正確性。在RL=112 kΩ時，分布參數(shù)最大輸出電壓、輸出功率(單位加速度g激勵條件下)分別為207.7 V和385.1 mW，左右兩峰之間的頻率間距為10 Hz。在RL=196 kΩ時，分布參數(shù)最大輸出電壓、輸出功率(單位加速度g激勵條件下)下分別為289.6 V和395.7 mW，左右兩峰之間的頻率間距為11 Hz?？梢姡琓DOF在負載完全匹配狀態(tài)下，能量采集輸出性能大大提高，系統(tǒng)機械振動能量損耗小，能量轉換效率高。

(a)輸出電壓U隨頻率f的變化

(b)輸出功率P隨頻率f的變化圖11 輸出電壓、輸出功率的試驗與分布參數(shù)和 集總參數(shù)(a=10，k=15,RL=112 kΩ)Fig.11 Output voltage and output power comparison of experimental results with distributed parameter and lumped parameter results when ratios (a=10，k=15,RL=112 kΩ)

圖13a所示為激勵加速度0.65 m/s2、激勵頻率36 Hz下TDOF能量采集器的末端位移。圖13b所示為相同激勵條件下TDOF和SDOF能量采集器在RL=196 kΩ時測得的輸出電壓響應?？芍琓DOF能量采集器的末端位移為140 μm，輸出電壓為3.48 V，SDOF能量采集器的輸出電壓為0.98 V，TDOF能量采集器輸出電壓是SDOF能量采集器輸出電壓的3.55倍，再一次說明TDOF能量采集器具有較好的能量采集輸出能力。

(a)輸出電壓U隨頻率f的變化

(b)輸出功率P隨頻率f的變化圖12 輸出電壓、輸出功率的試驗與分布參數(shù)和 集總參數(shù)(a=10，k=15,RL=196 kΩ)Fig.12 Output voltage and output power comparison of experimental results with distributed parameter and lumped parameter results when ratios (a=10，k=15,RL=196 kΩ)

(a)末端位移

(b)輸出電壓圖13 TDOF采集器末端位移和 輸出電壓時域響應曲線界面 (a=10，k=15,RL=196 kΩ)Fig.13 History responses of tip displacement and output voltage of TDOF PVEH (a=10，k=15,RL=196 kΩ)

要說明的是，樣機制作過程中，受懸臂梁和壓電陶瓷的加工尺寸誤差、黏結過程膠層厚度難以控制以及彈簧剛度測量誤差等實際因素的影響，樣機難以實現(xiàn)a=k，因此，實驗研究中未對此情形加以驗證，但這并不能否定a=k時，能量采集器具有上述良好的輸出特性。

4 結論

(1)TDOF能量采集器在相同的激勵條件下比SDOF能量采集器具有更寬的有效工作頻帶和更高的能量采集效率。

(2)仿真結果表明a=k時，增大質量比或剛度比和減小阻尼比可以提高能量采集器的末端振動速度、輸出電壓和輸出功率，同時可以使輸出特性曲線左右峰值間的頻率間距減小，形成寬頻帶窗口。

(3)仿真和實驗結果表明，在相同條件下，分布參數(shù)模型比集總參數(shù)模型具有更高的預測精度。在a=10，k=15，負載電阻RL=112 kΩ時，TDOF能量采集器最大輸出電壓、輸出功率(單位加速度g激勵條件下)分別為207.7 V和385.1 mW，左右兩峰之間的頻率間距為10 Hz。在RL=196 kΩ時，最大輸出電壓、輸出功率(單位加速度g激勵條件下)分別為289.6 V和395.7 mW，左右兩峰之間的頻率間距為11 Hz。

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(編輯 張 洋)

Distributed Parameter Model and Experiments of a Broadband Piezoelectric Vibration Energy Harvester

YANG Binqiang XU Wentan LU Guoli WANG Guangqing

School of Information and Electronic Engineering，Zhejiang Gongshang University，Hangzhou，310018

To solve self-power problem of wireless sensor network nodes, a broadband piezoelectric vibration energy harvester with an elastic supporter and amplifier was presented herein. Distributed parameter coupling electromechanical model of piezoelectric vibration energy harvester was established with Hamilton principle and Raleigh-Ritz method by considering the influences of cantilever tip mass. Effects of structural parameters (such as mass ratio, stiffness ratio, and damping ratio) on the vibration performance, the electric output performance of piezoelectric energy harvester were numerically analyzed. Prototype of piezoelectric energy harvester and experimental setup were developed. Some experiments were carried out to testify the validity of the proposed mathematical model. Research results show that the distributed parameter model may obtain higher precision than that of lumped parameter model.

piezoelectric energy harvester； two degrees of freedom； distributed parameter model； elastic amplifier； wide frequency band

2016-03-07

國家自然科學基金資助項目(51277165 )； 浙江省自然科學基金資助項目(LF15Y0001)

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.02.001

楊斌強，男，1993年生。浙江工商大學信息與電子工程學院碩士研究生。主要研究方向為壓電振動能量采集技術。徐文潭，男，1993年生。浙江工商大學信息與電子工程學院碩士研究生。陸國麗，女，1990年生。浙江工商大學信息與電子工程學院碩士研究生。王光慶(通信作者)，男，1975年生。浙江工商大學信息與電子工程學院教授。E-mail:kele76@163.com。

中國分類號：TH16；TH7