葉錦華 吳海彬

福州大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院，福州，350116

不確定輪式移動機器人統(tǒng)一自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)H∞控制

葉錦華 吳海彬

福州大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院，福州，350116

提出了一種基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制和H∞控制的輪式移動機器人光滑全局跟蹤和鎮(zhèn)定統(tǒng)一的控制器。首先采用橫截函數(shù)方法，擴展系統(tǒng)控制輸入，建立與原系統(tǒng)等價的、輸入輸出完全解耦的無奇異全驅(qū)動系統(tǒng)，再對新系統(tǒng)設(shè)計自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)H∞控制器。自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制可有效補償系統(tǒng)的復(fù)雜不確定項。H∞控制器可同時對系統(tǒng)擾動和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差進行預(yù)定水平抑制，進一步提高控制器的適應(yīng)性，優(yōu)化系統(tǒng)的控制性能。仿真結(jié)果驗證了算法的有效性。

輪式移動機器人；軌跡跟蹤與鎮(zhèn)定統(tǒng)一控制；自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；H∞控制；橫截函數(shù)

0 引言

非完整輪式移動機器人(wheeled mobile robots，WMR)是一類典型的多輸入、多輸出非完整系統(tǒng)，其控制器設(shè)計的困難一方面在于系統(tǒng)不滿足Brockett的必要條件[1]，不存在光滑時不變靜態(tài)狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制律，另一方面在于系統(tǒng)存在控制輸入欠驅(qū)動。解決這兩個困難的單一控制方法已取得較為豐富的研究成果[2-4]，但是只有少數(shù)學(xué)者進行了WMR統(tǒng)一控制器的研究[5-13]。統(tǒng)一控制器可以避免實際應(yīng)用中采用單一控制器組合時的切換控制，有利于提高系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)定性。然而采用時變控制器[5]易產(chǎn)生控制輸入高頻震蕩，采用基于極坐標方法[6]和動態(tài)反饋控制方法[7]設(shè)計的控制器存在潛在的奇異，而鎮(zhèn)定控制往往需要額外的限制條件來解決奇異問題。鑒于此，文獻[8]采用橫截函數(shù)方法實現(xiàn)WMR的無奇異“實際線性化”，即通過擴展控制輸入解決系統(tǒng)的欠驅(qū)動問題。但文獻[8]僅討論了理想系統(tǒng)，而實際的WMR系統(tǒng)總存在模型的不確定性，不可避免地受到外界干擾的影響。文獻[5]基于Lyapunov直接法和反演設(shè)計技術(shù)，在系統(tǒng)參數(shù)不確定的情況下，設(shè)計了WMR全局時變輸出反饋自適應(yīng)統(tǒng)一控制器，但該控制器適用于不確定參數(shù)為固定或慢時變的狀況。文獻[9]基于WMR的擴展Heisenberg系統(tǒng)形式，采用滑模控制技術(shù)設(shè)計了一類統(tǒng)一控制器，但該控制器易產(chǎn)生抖振現(xiàn)象。文獻[10]結(jié)合微分平坦和高維動態(tài)擴展方法設(shè)計了WMR的統(tǒng)一控制器，該控制器僅對WMR轉(zhuǎn)動軸上的常值干擾具有魯棒性，魯棒性能有限。

為了彌補上述方法的不足，筆者基于橫截函數(shù)方法設(shè)計了WMR的統(tǒng)一控制器，提出一種結(jié)合自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(adaptive RBF neural network, ARBFNN)控制和H∞優(yōu)化控制的方法。通過H∞控制對外界未知擾動和ARBFNN的逼近誤差進行預(yù)定水平魯棒抑制，進一步提高了控制器的控制性能。

1 問題的描述

一般帶漂移項的非完整機械系統(tǒng)可表示為

(1)

式中，廣義坐標向量q屬于一個n維流形G；Xi為系統(tǒng)的光滑控制向量場；ui為控制輸入；P*(q，t)為系統(tǒng)的未知不確定漂移項；τd為未知外部擾動。

當Xi為左不變向量場時，稱系統(tǒng)(式(1))為左不變系統(tǒng)。

本文研究符合unicycle類型的(2，0)型WMR[14]，即m=2，n=3，定義q=[x y θ]T，u=[u1u2]T，u1、u2分別為WMR的前進速度和繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動速度，則有

X1=[cosθsinθ0]T

X2=[0 0 1]T

向量場X1、X2滿足李代數(shù)的秩條件[8]，因此， unicycle型WMR是局部能控的。軌跡跟蹤控制時，為避免跟蹤誤差系統(tǒng)出現(xiàn)結(jié)構(gòu)上的奇異，參考軌跡需要滿足隨時間變化的“持續(xù)激勵”條件[15]。鎮(zhèn)定點為與時間無關(guān)的固定常數(shù)，從而導(dǎo)致跟蹤控制器無法直接用于鎮(zhèn)定控制，這給跟蹤和鎮(zhèn)定統(tǒng)一控制器的設(shè)計帶來了障礙，文中通過橫截函數(shù)方法來解決這樣的問題。

橫截函數(shù)方法首先構(gòu)造一個可微橫截函數(shù)：

f(α):Tn-m→μ

(2)

式中，“·”表示群運算符。

注意到q∈SE(2)，且易驗證unicycle型WMR為左不變系統(tǒng)，即?q1,q2∈G:dLq1(q2)X(q2)=X(q1q2)，其中，Lq1表示q1的群左平移操作，dLq1(q2)表示Lq1對q2的微分，則對式(2)求導(dǎo)，并將式(1)代入可得

(3)

D=P*(q，t)+τde=[0 0 0]T

其中， Rq表示q的群右平移操作；ur=[ur1ur2]T為軌跡參考速度。令z=[z1z2z3]T，進一步引入橫截函數(shù)，并構(gòu)建新的誤差方程：

(4)

對(4)式求導(dǎo)可得

(5)

(6)

(7)

則式(5)可化為

(8)

式(8)是一個包含原系統(tǒng)等價不確定項的線性系統(tǒng)，可見，即使D為不匹配不確定項，在新系統(tǒng)下也實現(xiàn)了解耦匹配，這給控制器的設(shè)計帶來極大的方便。

橫截函數(shù)f(α)的存在與否是橫截函數(shù)方法的一個關(guān)鍵，可以通過式(6)的橫截條件來判定一個函數(shù)是否構(gòu)成橫截函數(shù)。同一系統(tǒng)橫截函數(shù)的構(gòu)造并不唯一，文中取橫截函數(shù)為

易驗證該函數(shù)可以滿足橫截條件。對f(α)求導(dǎo)后可得

于是有

其中，ε1、ε2為設(shè)計參數(shù)，ε1>0，ε2>0。顯然ε1、ε2取值越小，f(α)越接近于平衡點e。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差越小，控制器的增益越大，這導(dǎo)致系統(tǒng)的控制量加大，這容易引起控制器飽和，因此應(yīng)根據(jù)實際需要對ε1、ε2進行合理取值。

文中的研究問題是基于誤差系統(tǒng)(式(8))，設(shè)計WMR的統(tǒng)一控制器，實現(xiàn)WMR的全局漸進穩(wěn)定跟蹤和鎮(zhèn)定控制，并消除系統(tǒng)未知不確定和擾動的影響。

2 控制器設(shè)計與分析

本文將ARBFNN控制同H∞優(yōu)化控制結(jié)合起來，使控制器能適用于同時包含未知參數(shù)和非參數(shù)不確定性的復(fù)雜系統(tǒng)，提高了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制的收斂速度。ARBFNN控制器用于補償不確定漂移項P；H∞控制器不僅保證系統(tǒng)控制性能，還能保證對擾動τd和ARBFNN控制器補償誤差ε的預(yù)定水平抑制。

因為式(8)是一個線性系統(tǒng)，所以可對z中每個變量分別進行控制器設(shè)計，定義

則下式成立：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中，ψ為網(wǎng)絡(luò)輸入，ψ=[iZ1iZ2]；W為權(quán)重，W=[w1w2…wl]T∈Rl；l為連接節(jié)點數(shù)，l>0；徑向基ζ(ψ)=[c1c2…cl]T；μl=[μl1μl2]T為隱含層神經(jīng)元感應(yīng)區(qū)的中心點;ηl為高斯函數(shù)的基寬；ω為RBFNN的逼近誤差。

當W為最優(yōu)值時，ω的值最小。定義估計值為

(13)

對于H∞控制，是在讓系統(tǒng)穩(wěn)定的所有控制器中，選擇一個使得抑制信號到系統(tǒng)輸出的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)最小的控制器，保證整個系統(tǒng)滿足H∞控制性能。對線性系統(tǒng)(式(9))而言，H∞控制器的設(shè)計可歸結(jié)為求解Riccati代數(shù)方程的過程，設(shè)計H∞魯棒控制項v為

v=-δTPB/γ

(14)

式中，γ為正的常數(shù)；B=[0 1]T；P為正定矩陣。

通過如下Riccati代數(shù)方程來求解P：

PA+ATP+Q+(1/μ2-2/γ)PBBTP=0

(15)

其中，Q為給定的正定矩陣。μ(μ>0)為預(yù)定抑制水平值，為了保證獲得半正定解P，應(yīng)滿足2μ2>γ，將式(10)、式(11)代入式(9)可得

(16)

設(shè)計自適應(yīng)律為

(17)

式中，λ為正常數(shù)。

(18)

T∈[0，∞) Ψ∈L2[0，T]

證明：選擇候選正定Lyapunov函數(shù)為

(19)

對式(19)求導(dǎo)，并將式(14)、式(16)代入可得

(20)

再將式(15)、(17)代入式(20)有

δTPBΨ)/2=

-[δTQδ+(BTPδ/μ-μΨ)T(BTPδ/μ-μΨ)-

μ2Ψ2]/2≤(μ2Ψ2-δTQδ)/2≤

(21)

(22)

因為V(T)≥0，則有

(23)

而

(24)

將式(24)代入式(23)可得式(18)，定理證明完畢。

3 仿真實驗

通過MATLAB環(huán)境下的仿真實驗來驗證文中控制器的有效性和控制效果。首先進行控制器的控制參數(shù)配置，對Ui取k=[1 1]T，顯然可以使得矩陣A的特征根都在左半開平面，取Q為2×2的單位矩陣，γ=0.01，預(yù)定抑制水平μ=0.16，求解式(15)所示的Riccati代數(shù)方程可得到

橫截函數(shù)的設(shè)計參數(shù)取ε1=0.08，ε2=0.2，α(0)=0。假設(shè)WMR系統(tǒng)在8～10s內(nèi)受到輪子的側(cè)滑擾動，定義打滑模型為

其中，打滑幅度?(t)=0.6，假設(shè)系統(tǒng)的不確定項為

首先對WMR使用文獻[8]提出的比例控制器。由圖1可知，由于受到不確定性的不利影響，普通控制器無法進行有效補償，軌跡跟蹤過程存在較大的控制誤差，改變控制器增益時，控制效果仍不能得到改善。使用文中所提控制器，在關(guān)閉ARBFNN即僅使用H∞控制器時，軌跡跟蹤結(jié)果如圖2所示。通過H∞控制的魯棒抑制，跟蹤效果得到了一定的改善，但由于系統(tǒng)不確定性較為復(fù)雜，故仍存在較為明顯的跟蹤誤差。

圖1 文獻[8]控制器的軌跡跟蹤結(jié)果Fig.1 Track locus of controller in reference[8]

圖2 關(guān)閉ARBFNN時文中控制器的軌跡跟蹤結(jié)果Fig.2 Track locus of the proposed controller when ARBFNN is closed

開啟ARBFNN后的軌跡跟蹤如圖3所示。從圖3和表1可以看出，系統(tǒng)擾動和不確定性項得到了有效補償，文中控制器取得良好的控制效果，保證WMR精確地跟蹤參考軌跡。

(a)文中控制器軌跡跟蹤結(jié)果

(b)軌跡跟蹤誤差

(c)新誤差系統(tǒng)狀態(tài)變化情況圖3 文中控制的軌跡跟蹤仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of track locus of the proposed controller

文獻[8]控制器H∞控制器文中控制器Δx(mm)19.95.30.16Δy(mm)25.67.80.38Δθ(rad)0.12890.08780.0013

(a)點鎮(zhèn)定過程

(b)鎮(zhèn)定誤差變化情況

(c)新誤差系統(tǒng)狀態(tài)變化情況圖4 點鎮(zhèn)定仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of point stabilization

使用統(tǒng)一控制器對WMR進行點鎮(zhèn)定控制，取q(0)=[8m8m0rad]T，仿真結(jié)果如圖4所示。從圖4a可以看出，系統(tǒng)實現(xiàn)鎮(zhèn)定后，盡管受到輪子打滑擾動的干擾，WMR仍很快又恢復(fù)到平衡值，消除了系統(tǒng)不確定和外部擾動的影響。由圖4b、圖4c可知，系統(tǒng)穩(wěn)定時的鎮(zhèn)定誤差為有界值(|Δx|≤1.9mm，|Δy|≤3.4mm，|Δθ|≤0.042rad)，這是橫截函數(shù)方法實際鎮(zhèn)定的結(jié)果。值得一提的是，鎮(zhèn)定誤差有界值可以通過調(diào)整設(shè)計參數(shù)ε1和ε2來改變，以滿足不同系統(tǒng)實際應(yīng)用需求。

4 結(jié)語

研究了包含不確定和外部擾動的WMR軌跡跟蹤和鎮(zhèn)定統(tǒng)一控制器設(shè)計問題，針對WMR變量耦合和欠驅(qū)動問題，利用原系統(tǒng)對群運算的左不變性，采用橫截函數(shù)方法進行解耦和控制輸入擴展。橫截函數(shù)方法將鎮(zhèn)定控制的漸進鎮(zhèn)定于原點放寬為實際有界鎮(zhèn)定，盡管僅獲得有界的控制精度，卻取消了對參考軌跡“持續(xù)激勵”條件的限制，讓光滑時不變反饋的統(tǒng)一控制律的設(shè)計成為可能，并保證控制器的全局性。在此基礎(chǔ)上，針對系統(tǒng)存在的不確定性和外部擾動，通過結(jié)合ARBFNN控制和H∞控制，在對系統(tǒng)復(fù)雜不確定性進行有效補償?shù)耐瑫r，對系統(tǒng)擾動和ARBFNN

逼近誤差進行預(yù)定水平抑制，提高了控制器對高度不確定系統(tǒng)的適應(yīng)性，保證了控制器優(yōu)化的控制性能。對圓弧軌跡跟蹤控制和原點鎮(zhèn)定控制的仿真結(jié)果表明，該統(tǒng)一控制器可消除系統(tǒng)不確定性和外部擾動的影響，提高軌跡跟蹤和鎮(zhèn)定效果。

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(編輯 張 洋)

Unified Adaptive Neural NetworkH∞Control of Uncertain Wheeled Mobile Robots

YE Jinhua WU Haibin

School of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University,Fuzhou，350116

A smooth global unified controller of trajectory tracking and stabilization was proposed for nonholomomic wheeled mobile robots based on adaptive neural network control andH∞control. Firstly, the system control inputs were expanded by transverse function method, a nonsingular full drive system which was equivalent to original system was established with decoupled input-output. Then an adaptive neural networkH∞controller was designed for the new system, such that the complex system uncertainty was compensated effectively by the adaptive neural network. Disturbances and approximation errors were attenuated with a prescribed disturbance lever by theH∞control. Adaptability of the controller were further improved, and the control performance was optimized. The effectiveness of the algorithm were verified by simulation results.

wheeled mobile robot; unified control of trajectory tracking and stabilization; adaptive neural network;H∞control; transverse function

2015-12-29

2016-09-30

國家自然科學(xué)基金資助項目(51175084)；福建省自然科學(xué)基金資助項目(2015J05121)；福州大學(xué)科研啟動基金資助項目(510078)；福州大學(xué)科技發(fā)展基金資助項目(650053)

TP24

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.02.005

葉錦華，男，1982年生。福州大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院講師。主要研究方向為機器人技術(shù)。發(fā)表論文10余篇。E-mail:yejinhua@fzu.edu.cn。吳海彬，男，1973年生。福州大學(xué)學(xué)院機械工程及自動化學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。