李帥，丁云宏，呂煥軍，張彬，余芳，石善志

（1.中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；2.中國石油勘探開發(fā)研究院廊坊分院，河北 廊坊 065007；3.新疆油田宇澄熱力有限公司，新疆 克拉瑪依 834000；4.中國石油華北油田分公司采油工程研究院，河北 任丘 062552；5.中國石油渤海鉆探井下作業(yè)公司，河北 任丘 062550；6.中國石油新疆油田分公司工程技術(shù)研究院，新疆 克拉瑪依 834000）

一維兩相同向滲吸模型的求解方法

李帥1，2，丁云宏2，呂煥軍3，張彬4，余芳5，石善志6

（1.中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；2.中國石油勘探開發(fā)研究院廊坊分院，河北 廊坊 065007；3.新疆油田宇澄熱力有限公司，新疆 克拉瑪依 834000；4.中國石油華北油田分公司采油工程研究院，河北 任丘 062552；5.中國石油渤海鉆探井下作業(yè)公司，河北 任丘 062550；6.中國石油新疆油田分公司工程技術(shù)研究院，新疆 克拉瑪依 834000）

滲吸作用是裂縫性儲層提高原油采收率的重要機(jī)理，潤濕相在毛細(xì)管力、重力的作用下進(jìn)入儲層基質(zhì)，通過同向或逆向滲吸作用置換基質(zhì)內(nèi)的非潤濕相?；跐B吸模型的局限性，文中推導(dǎo)了一維兩相同向滲吸模型的通式，在相對滲透率曲線和毛細(xì)管壓力曲線簡化的基礎(chǔ)上進(jìn)行無因次化處理，并采用差分法進(jìn)行了求解，獲得了飽和度前緣移動曲線。采用COMSOL軟件，對上述模型進(jìn)行結(jié)果驗(yàn)證，并與逆向滲吸模型進(jìn)行了對比。結(jié)果表明：COMSOL求解結(jié)果與文中求解結(jié)果近似，同向滲吸模型飽和度前緣推進(jìn)速度比逆向滲吸更快，同向滲吸效率更高，采出原油更多。在裂縫性儲層、常規(guī)甚至致密儲層中，如果采用體積改造，密集切割儲層基質(zhì)，形成裂縫網(wǎng)絡(luò)，則可發(fā)揮同向滲吸作用，提高原油采出程度。

兩相流；非混相；同向滲吸；數(shù)學(xué)模型；毛細(xì)管力

0 引言

滲吸是指在毛細(xì)管力、重力作用下，多孔介質(zhì)自發(fā)地吸入某種潤濕性流體并置換出原有的非潤濕性流體的過程［1-16］。滲吸有同向滲吸和逆向滲吸2種形式，當(dāng)潤濕相的吸入方向與非潤濕相的流出速度方向相同時，為同向滲吸；反之，為逆向滲吸［7］。

許多學(xué)者通過實(shí)驗(yàn)方法研究了滲吸機(jī)理及潤濕性、毛細(xì)管壓力、相對滲透率曲線、黏度、界面張力等對滲吸的影響［8］。模型方面，Ryzhik［10］簡化毛細(xì)管壓力和相對滲透率為含水飽和度的函數(shù)，最早進(jìn)行了一維逆向滲吸公式的推導(dǎo)。Yortsos等［11］將相對滲透率和毛細(xì)管壓力假設(shè)為均值，求取了解析解，但該方法不能適用于任意相對滲透率和毛細(xì)管壓力情況。Kashchiev等［12］采用特定相對滲透率和毛細(xì)管壓力曲線，對逆向滲吸過程進(jìn)行了推導(dǎo)。

國內(nèi)，如李士奎［1］、王家祿［6］、朱維耀［7］、李愛芬［14］等多采用實(shí)驗(yàn)方法，對滲吸機(jī)理及影響因素進(jìn)行研究，在模型及數(shù)值分析方面研究較少?；谝陨暇窒扌裕疚耐茖?dǎo)了一維兩相同向滲吸模型，采用差分法求解了飽和度剖面前緣移動方程，并與逆向滲吸進(jìn)行了對比。

1 模型推導(dǎo)

1.1 假設(shè)條件

模型基本假設(shè)條件為：流體為油水兩相；一維毛細(xì)管內(nèi)流動；潤濕相的進(jìn)入速度和非潤濕相的流出速度相等；2種流體之間不發(fā)生化學(xué)反應(yīng)，為非混相流體；流體不可壓縮；水平均質(zhì)孔隙介質(zhì)流動；等溫流動；不考慮重力影響；不考慮注入壓差，為自發(fā)滲吸過程。

1.2 方程推導(dǎo)

由達(dá)西定律可得流體運(yùn)動速度為

式中：vw為水相的滲流速度，m/s；vo為油相的滲流速度，m/s；K為絕對滲透率，10-3μm2；Krw為水相的相對滲透率；Kro為油相的相對滲透率；μw為水相的黏度，mPa· s；μo為油相的黏度，mPa·s；pw為水相壓力，MPa；po為油相壓力，MPa；x為滲流距離，m。

毛細(xì)管壓力pc為非潤濕相與潤濕相壓力之差：

由Leveratt兩相流規(guī)律可得：

聯(lián)立式（1）、式（2）、式（4）、式（5），潤濕相（水相）的滲流速度可表示為

將式（6）進(jìn)行變換，寫成飽和度的微分形式：

式中：Sw為平均含水飽和度。

如不考慮密度的變化，潤濕相的物質(zhì)平衡方程為

式中：φ為基質(zhì)孔隙度；t為時間，s。

將式（7）代入式（8），得：

式（9）即為該假設(shè)條件下的同向滲吸通式。

1.3 方程簡化

式（9）為高度非線性化的二階偏微分方程，由于式中的Kro，Krw及pc也是含水飽和度Sw的不連續(xù)函數(shù)，數(shù)學(xué)上無法直接進(jìn)行求解，所以進(jìn)行如下簡化。

1.3.1 非潤濕相毛細(xì)管壓力梯度

根據(jù)Le Guen等［17］的研究，同向滲吸時，非潤濕相的流動梯度可以忽略，即式（4）可表示為

進(jìn)而vw可表示為

此時滲吸式（9）可簡化為

1.3.2 相滲曲線

根據(jù)Scheidegger和Johnson［18］研究，相對滲透率曲線與含水飽和度的簡化關(guān)系式為

1.3.3 毛細(xì)管壓力曲線

Babchin和Nasr［19］認(rèn)為，在沒有外力存在時，毛細(xì)管壓力可以近似表示為飽和度的函數(shù)：

式中：β為常數(shù)。

將式（13）、式（14）代入式（12），可得：

邊界條件和初始條件為

2 模型求解

邊界條件和初始條件分別為

因此，整個模型最終演化為在邊界條件（式（19））和初始條件（式（20））時，對式（18）的求解。采用有限體積法，建立差分格式：

式中：i，m分別為整數(shù)。

式（21）即為式（18）的差分形式?；谑剑?1）即可編程求解S。

3 模型驗(yàn)證

選用多物理場耦合軟件COMSOL建立一維油水水平流動模型（見圖1）。

圖1 COMSOL數(shù)值模型

第1個網(wǎng)格預(yù)設(shè)為潤濕相，用以代表X=0時的含水飽和度Si0。第2～100個網(wǎng)格預(yù)設(shè)為非潤濕相，用以代表T=0，X＞0時的含水飽和度Sic。模型選用的相滲曲線和毛細(xì)管壓力曲線與本文相同，整個模型長度為10 cm，模型中沒有驅(qū)替壓差，僅考慮了毛細(xì)管壓力的影響。其他參數(shù)為：K=3×10-3μm2，φ=0.3，Si0=0.2，Sic= 0.2，μo=0.8 mPa·s，μw=1.0 mPa·s，ρo=800 kg/m3，ρw= 1 000 kg/m3。

將模型求解結(jié)果與COMSOL求解結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證對比（見圖2、圖3），可以看出，COMSOL求解的結(jié)果與數(shù)值差分法求解結(jié)果近似。這證明了本文模型求解結(jié)果的準(zhǔn)確性。將該結(jié)果與Kashchiev［7］求解的逆向滲吸結(jié)果進(jìn)行對比后發(fā)現(xiàn)，同向滲吸飽和度剖面移動速度更快，因此同向滲吸效率更高，采出的原油也更多。

圖2 T=0.3時含水飽和度分布對比

圖3 不同時間下的含水飽和度分布

裂縫性儲層、常規(guī)甚至致密儲層開發(fā)時，體積改造密集切割儲層基質(zhì)，可形成復(fù)雜裂縫網(wǎng)絡(luò)（見圖4）。這時，如果發(fā)揮注入壓裂液在燜井過程中同向或逆向滲吸的置換作用，賦予壓裂液新的功能，則可進(jìn)一步提高原油采出程度。

致密儲層和頁巖儲層孔隙尺度小，毛細(xì)管壓力高達(dá)10 MPa以上，開發(fā)過程中如果能充分發(fā)揮毛細(xì)管力的作用，可有效提高原油采出程度。對于油濕儲層，一方面要降低界面張力，破壞原油滯留機(jī)制，使被毛細(xì)管力圈閉的油變?yōu)榭蓜佑?；另一方面，要將儲層潤濕性變?yōu)樗疂?，加?qiáng)滲吸作用。對于水濕儲層，可采用注水吞吐或者壓裂燜井的方法，充分發(fā)揮毛細(xì)管滲吸作用，提高原油產(chǎn)量。

圖4 體積改造最短距離滲流示意

4 結(jié)論

1）在相滲曲線和毛細(xì)管壓力曲線簡化的基礎(chǔ)上，無因次化后求解了同向滲吸模型，獲得了飽和度前緣方程，并用COMSOL對結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

2）與逆向滲吸相比，同向滲吸飽和度剖面移動速度更快，采出原油更多，采油效率更高。

3）在裂縫性儲層、常規(guī)甚至致密儲層中，體積改造密集切割儲層基質(zhì)，形成裂縫網(wǎng)絡(luò)的同時，依靠壓裂液在燜井中的同向或逆向滲吸置換作用，賦予壓裂液新的功能，可進(jìn)一步提高原油采出程度。

4）針對油濕或水濕致密儲層，分別改變潤濕性或采用降低界面張力的方法，在此基礎(chǔ)上發(fā)揮滲吸作用，有利于提高原油產(chǎn)量。

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（編輯 楊會朋）

Solution to co-current imbibition of immiscible two-phase flow

LI Shuai1，2,DING Yunhong2,Lyu Huanjun3,ZHANG Bin4,YU Fang5,SHI Shanzhi6
(1.Research Institute of Petroleum Exploration&Development,PetroChina,Beijing 100083,China;2.Langfang Branch,Research Institute of Petroleum Exploration&Development,PetroChina,Langfang 065007,China;3.Yucheng Thermal Company,Xinjiang Oilfield Company,PetroChina,Karamay 834000,China;4.Oil Production Engineering Research Institute,Huabei Oilfield Company,PetroChina,Renqiu 062552,China;5.Down-hole operation of Bohai drilling Company,PetroChina,Renqiu 062550, China;6.Engineering Technology Research Institute,Xinjiang Oilfield Company,PetroChina,Karamay 834000,China)

Imbibition is an importantmechanism to enhance oilrecovery for fractured reservoir.Wetting phase enters the porous media with the force of capillary pressure and gravity and displaces non-wetting phase out from matrix in terms of co-current imbibition or counter-current imbibitions.Considering the limitation of imbibition model,this paper derived a one dimension,two-phase co-current imbibition mathematic model,and on the basis of simplified and dimensionless relative permeability curves and capillary pressure curves,numerical solution to saturation front profile was obtained using difference method.This model was verified via COMSOL and compared with counter current imbibition.The results indicate that values obtained in our model are approximate to the results using COMSOL.In co-currentimbibition,saturation profile moves faster,and the imbibition efficiency is higher and oiloutputis much larger. In the development of fractured,traditional or even tight reservoirs,if complex fracture network is formed via volume fracturing,cocurrentimbibition can be used to enhance oilrecovery.

two-phase flow;immiscible phase;co-current imbibition;mathematic model;capillary pressure

國家科技重大專項“大型油氣田及煤層氣開發(fā)”（2016ZX05023）

TE348

：A

10.6056/dkyqt201701013

2016-05-10；改回日期：2016-11-07。

李帥，男，1987年生，在讀博士研究生，2011年本科畢業(yè)于中國石油大學(xué)（北京）石油工程專業(yè)，現(xiàn)主要從事儲層改造與油藏數(shù)值模擬研究。E-mail：ls_cupb@163.com。

丁云宏，男，1962年生，教授，博士生導(dǎo)師，從事儲層改造與油氣井測試等研究工作。電話：010-69213017，E-mail：dingyh@petrochina.com.cn。

李帥，丁云宏，呂煥軍，等.一維兩相同向滲吸模型的求解方法［J］.斷塊油氣田，2017，24（1）：56-59.

LI Shuai，DING Yunhong，Lyu Huanjun，et al.Solution to co-current imbibition of immiscible two-phase flow［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2017，24（1）：56-59.