王江榮,袁維紅,趙 睿,任泰明

(1.蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息處理與控制工程系，甘肅 蘭州 730060；2.蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院 土木工程系，甘肅 蘭州 730060)

基于分位數(shù)回歸的冪多項式在數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用

王江榮1,袁維紅2,趙 睿1,任泰明1

(1.蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息處理與控制工程系，甘肅 蘭州 730060；2.蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院 土木工程系，甘肅 蘭州 730060)

針對路基沉降與觀測時間存在非線性關(guān)系，且傳統(tǒng)最小二乘參數(shù)估計精度不高的問題，建立具有較強(qiáng)逼近能力的冪多項式路基沉降預(yù)測模型，并用分位數(shù)回歸估算模型系數(shù)。工程實例表明，基于分位數(shù)回歸估計的冪多項式預(yù)測模型具有較高的精確度，優(yōu)于最小二乘估計的冪多項式預(yù)測模型和多變量灰色預(yù)測模型，為沉降預(yù)測提供一種新方法。

高速公路；路基沉降；冪多項式函數(shù)；分位數(shù)回歸；沉降量預(yù)測

高速公路在施工期和工后運(yùn)營期均存在著路基沉降問題，利用現(xiàn)場沉降觀測量準(zhǔn)確預(yù)測后期沉降量，對于公路施工質(zhì)量監(jiān)管、道路安全、公路維護(hù)等具有重要的實現(xiàn)意義，同時為公路管理等部門提供科學(xué)的決策依據(jù)?，F(xiàn)有的沉降預(yù)測方法主要采用回歸分析模型、統(tǒng)計模型、組合模型[1-5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]和灰色理論[7]等，這些模型的參數(shù)估計大多采用了最小二乘估計法，該估計法要求模型的隨機(jī)誤差服從獨(dú)立同分布且呈正態(tài)分布，但在實際沉降問題中，受多因素影響[8-9]，估算出的參數(shù)并非最優(yōu)，得到的模型穩(wěn)健性較差，預(yù)測精度不高。與傳統(tǒng)最小二乘回歸相比，分位數(shù)回歸是一種非常穩(wěn)健的參數(shù)估計方法[10-12]，模型參數(shù)的估計結(jié)果不會受異常觀測數(shù)據(jù)的影響，且對模型的隨機(jī)誤差項無任何要求，克服了最小二乘估計法的不足。另外，用最小二乘法建模時只能得到一個回歸方程，容易丟失數(shù)據(jù)信息，致使所建模型難以對預(yù)測量進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測；用分位數(shù)回歸估算模型參數(shù)時在不同分位點上估算出的模型參數(shù)往往不同，因而可以得到多個不同的回歸方程，從而在不同的分位點上預(yù)測結(jié)果不同，為決策者提供了多種選擇，以便選出符合實際的回歸方程。由于沉降觀測數(shù)據(jù)列具有非線性特征，而冪多項式函數(shù)具有良好的數(shù)據(jù)適應(yīng)能力和實際曲線逼近能力?；诖耍疚慕⒒诜治换貧w估計的冪多項式模型，并對建模以外的路基沉降觀測量進(jìn)行預(yù)測分析，結(jié)果表明該模型具有較強(qiáng)的預(yù)測能力和更高預(yù)測精確度。

1 分位數(shù)回歸方法介紹

分位數(shù)回歸方法最早由Koenker和Bassett提出[13]，該方法是一種全面數(shù)據(jù)分析方法，具有很強(qiáng)的抗干擾能力和穩(wěn)健性。

設(shè)FY|X(y)為在隨機(jī)變量X下Y的條件分布函數(shù)，則Y的第τ∈(0,1)個條件分位數(shù)為

(1)

其中，inf(?)表示下確界函數(shù)。

(2)

式(2)的估計式等價式(3)：

(3)

可見，分位數(shù)回歸是通過最小化樣本觀測值與樣本擬合值的加權(quán)誤差絕對值之和來估算模型參數(shù)的；而傳統(tǒng)最小二乘回歸則是通過最小化誤差平方和來估算模型參數(shù)值。

用分位數(shù)回歸建模時得到不同分位點的回歸

方程，決策者從中選擇最能反映實際問題的回歸方程，解決問題更具靈活性。

2 冪多項式模型

2.1 冪多項式模型及線性化

軟基路基沉降的基本特征:初期階段沉降逐漸增加，中期階段沉降加速發(fā)展，后期階段沉降變緩并趨近于一個定值(進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài))。因此，沉降量S與時間t呈非線性關(guān)系，進(jìn)而知S-1與t-1也呈非線性關(guān)系。因多項式函數(shù)具有較強(qiáng)的數(shù)據(jù)適應(yīng)能力和實際曲線逼近能力，所以可選用多項式函數(shù)對路基沉降量進(jìn)行擬合預(yù)測。由于冪多項式對觀測數(shù)據(jù)無過多要求，因此本文采用冪多項式來逼近S-1,即建立模型：

(4)

(5)

線性化后的模型(5)可方便地利用分位數(shù)回歸估計其參數(shù)β0，β1，…，βn。

2.2 模型參數(shù)的分位數(shù)回歸估計

依據(jù)分位數(shù)回歸的基本原理，構(gòu)造模型損失函數(shù)：

(6)

式中：m為建模數(shù)據(jù)列長度，

Si為第i個觀測沉降量，則模型的參數(shù)估計值

3 算例分析

3.1 數(shù)據(jù)來源

數(shù)據(jù)源自京哈(G102線)軟基公路長春至德惠路段的K1144+240斷面上的某監(jiān)測點，觀測以15天為1個周期，所得觀測數(shù)據(jù)見表1[15]。

表1 數(shù)據(jù)資料[15]

表1給出的數(shù)據(jù)資料中，等間隔(對非等間隔本文模型依然適用)的實際觀測次數(shù)共12 次，在12個周期的累積沉降數(shù)據(jù)序列中取1～9次的沉降S-時間t數(shù)據(jù)估算模型的參數(shù)β0，β1，…，βn；取10～12次的沉降S-時間t數(shù)據(jù)來檢驗?zāi)Ｐ皖A(yù)測值的準(zhǔn)確性。作出1～9次的S-1-t-1的散點圖，如圖1所示。

圖1 S-1-t-1關(guān)系圖

圖1表明S-1與t-1為非線性關(guān)系，可用以t-1為自變量的多項式逼近S-1，經(jīng)線性化后用條件分位數(shù)估算模型參數(shù)。經(jīng)分析比較選用4次冪多項式為擬合預(yù)測模型，即

(7)

從而

(8)

3.2 模型參數(shù)估計

利用Matlab2014a軟件編寫分位數(shù)回歸法程序并結(jié)合表1中1～9次的沉降S-時間t數(shù)據(jù)來估算模型參數(shù)β0,β1,…,β4。這里選用5個不同分位點τ=0.1,0.3,0.5.0.7,0.9估計模型系數(shù)。由于數(shù)據(jù)量較少，計算時選擇單純性算法。通過計算，得到的估計結(jié)果見表2。

表2 不同分位點下模型系數(shù)的估計值

表3 不同分位點下模型的擬合優(yōu)度值

表3中數(shù)據(jù)表明5個模型的擬合優(yōu)度都比較高，說明回歸的效果是顯著的，可以用所建模型對后續(xù)沉降進(jìn)行預(yù)測分析。τ=0.7時回歸方程的擬合效果圖如圖2所示。

圖2表明τ=0.7對應(yīng)的回歸方程擬合效果很好，其他分位點對應(yīng)的回歸方程擬合圖略去。

3.3 預(yù)測分析

根據(jù)表2中的模型參數(shù)及式(8)得到τ=0.3,0.5,0.7時預(yù)測模型如下：

圖2 分位點為0.7的回歸方程擬合效果圖

1)τ=0.3，

2)τ=0.5，

3)τ=0.7，

利用τ=0.1,0.3,0.5,0.7,0.9的模型對表1中序號10～12的測試數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測分析，結(jié)果見表4。采用最小二乘回歸法估算出的模型系數(shù)為(-0.034 612，22.788 91，-2 585.586，125 419.8，-203 562 7)，對測試數(shù)據(jù)的預(yù)測值及誤差見表4第3列。文獻(xiàn)[15]的預(yù)測結(jié)果見表4最后一列。

表4 不同分位點對應(yīng)的路基沉降量預(yù)測值 mm

從表4可以看出，基于分位數(shù)冪多項式模型對軟基高速公路沉降量的預(yù)測精度高于基于最小二乘參數(shù)估計的冪多項式預(yù)測模型(誤差絕對值之和的平均值為1.543 2)，也高于文獻(xiàn)[15]多變量灰色預(yù)測模型MGM(1,3)(誤差絕對值之和的平均值為1.046 7)，尤其以0.7分位數(shù)冪多項式模型的預(yù)測精度最高(誤差絕對值之和的平均值為0.366 3)。因此，選取0.7分位數(shù)回歸的冪多項式模型作為最終的預(yù)測模型。

文獻(xiàn)[15]還提供了另外兩個觀測點上的12個數(shù)據(jù)，采用本文建模方法均取得理想效果，綜合分析表明，將分位數(shù)回歸用于路基沉降量預(yù)測分析完全可行，能夠滿足工程需要。

4 結(jié)束語

1)最小二乘估計只有在模型的隨機(jī)誤差項服從正態(tài)獨(dú)立同分布時才能得出參數(shù)的無偏差估計，但在實際問題中這些條件往往難以滿足，因而使參數(shù)估計值偏離理想值，導(dǎo)致模型精度下降。分位數(shù)回歸估計拓展了最小二乘估計方法，按不同分位點可得多組估計量，從而得到多個回歸方程，使得在進(jìn)行沉降量預(yù)測時對預(yù)測模型有更多選擇。由于分位數(shù)回歸時對模型的隨機(jī)誤差項不做任何假設(shè)，同時具有很強(qiáng)的數(shù)據(jù)適應(yīng)能力，對少量樣本也能取得理想效果。

2)冪多項式模型結(jié)構(gòu)簡單，對數(shù)據(jù)質(zhì)量要求不高，具有很好的數(shù)據(jù)逼近和擬合能力，且容易線性化，非常適合用分位數(shù)回歸估算其參數(shù)。另外，利用Eviews軟件和MATLAB軟件可方便地完成冪多項式模型的建立和最終模型的選取。工程實例表明，基于分位數(shù)回歸的冪多項式模型預(yù)測精度優(yōu)于基于最小二乘估計的冪多項式模型，也優(yōu)于多變量灰色時間序列模型MGM(1，3)的預(yù)測結(jié)果，為路基沉降數(shù)據(jù)分析研究提供一種新思路、新方法。

3)不同的分位點(可分為低分位和高分位)代表不同的路基沉降發(fā)展水平，按施工期和工后期的不同狀態(tài)選擇不同分位數(shù)下的預(yù)測模型，會更符合實際，效果會更佳，對此需要進(jìn)一步研究。另外，冪多項式建模的通用性有待論證。

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[責(zé)任編輯：李銘娜]

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(本刊編輯部)

Application of power polynomial based on Quantile Regression to data analysis

WANG Jiangrong1，YUAN Weihong2，ZHAO Rui1，REN Taiming1

(1. Dept. of Information Processing and Control Engineering,Lanzhou Petrochemical College of Vocational Technology, Lanzhou 730060, China;2.Department of Civil Engineering, Lanzhou Petrochemical College of Vocational Technology, Lanzhou 730060, China)

According to the nonlinear relationship between subgrade settlement and observation time, the accuracy of the traditional least squares parameter estimation is not high, so a power polynomial subgrade settlement prediction model with strong approximation ability is established, of which the model coefficients are estimated by quantile regression. Engineering example shows that the prediction based on the quantile regression estimates of power polynomial model has high accuracy, which is better than the least squares estimation of power polynomial prediction model and multi variable grey forecast model. This model can provide a new method for settlement prediction.

highway; subgrade settlement; power polynomial function; quantile regression; prediction of settlement

引用著錄：王江榮,袁維紅,趙睿，等.基于分位數(shù)回歸的冪多項式在數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用[J].測繪工程，2017，26(4)：43-46，52.

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2017.04.008

2016-01-22

蘭州市科學(xué)技術(shù)局計劃項目(蘭財建發(fā)[2015]85號)；蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院科技資助項目(院發(fā)〔2015〕69號)

王江榮(1966-)，男，教授,碩士.

TV196;U416

A

1006-7949(2017)04-0043-04