張文兵

摘 要：發(fā)展空間觀念離不開(kāi)操作活動(dòng)。有價(jià)值的操作活動(dòng)，能激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在需要，使其產(chǎn)生操作的積極情感。有價(jià)值的操作活動(dòng)，能在操作中結(jié)合想象，能讓學(xué)生關(guān)注操作背后的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，主動(dòng)將知識(shí)從膚淺走向深入。有價(jià)值的操作活動(dòng)，能將積累的感性經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為理性認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：空間觀念；操作活動(dòng)；想象

前不久參加一次教研活動(dòng)，一位教師執(zhí)教《長(zhǎng)方體和正方體表面的展開(kāi)圖》，下面是其中的一個(gè)片段：

【案例1】

師：把一個(gè)正方體，沿著有紅線的棱剪開(kāi)，就可以得到正方體的展開(kāi)圖。你也想試一試嗎？

學(xué)生操作。

師：我們將正方體沿棱剪開(kāi)，得到的平面圖形就是正方體表面的展開(kāi)圖。

師：如果沿其他的棱剪開(kāi)會(huì)得到怎樣的展開(kāi)圖呢？自己試一試吧。

學(xué)生操作。教師將不同的展開(kāi)圖陸續(xù)展示在黑板上。（一共3種）

師：同學(xué)們都剪完了，還有不一樣的嗎？

師：其實(shí)，正方體還有其他的展開(kāi)圖。（師將其他8種展開(kāi)圖展示在黑板上）

師：能把這些展開(kāi)圖分類嗎？

學(xué)生面面相覷，課堂鴉雀無(wú)聲。

師：我們可以把這11種展開(kāi)圖分成4類。

課件出示分類情況。

……

思考：

《長(zhǎng)方體和正方體表面的展開(kāi)圖》是蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容。案例1是例3的教學(xué)，學(xué)生將正方體沿棱剪開(kāi)得到展開(kāi)圖，并在教師的引導(dǎo)下完成展開(kāi)圖的分類。課堂上，學(xué)生操作得十分“熱鬧”。然而，這番“熱鬧”的場(chǎng)景引發(fā)了筆者的思考。

1. 教材意圖是什么？

傳統(tǒng)的教材中，立體圖形的展開(kāi)圖沒(méi)有作為一個(gè)單獨(dú)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，只是在教學(xué)表面積時(shí)，作為一種理解表面積意義的方式簡(jiǎn)單介紹一下。為什么新教材要將其單列為一課時(shí)呢？有研究表明，三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)化是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的主要途徑?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也把幾何體與其展開(kāi)圖之間的轉(zhuǎn)化作為空間觀念的一個(gè)內(nèi)容，把能進(jìn)行這些轉(zhuǎn)化作為空間觀念的一種表現(xiàn)。因此，例3的教學(xué)，是讓學(xué)生通過(guò)操作活動(dòng)，在經(jīng)歷由“體”到“形”的轉(zhuǎn)化過(guò)程中獲得空間觀念的發(fā)展。

2. 這樣操作有效嗎？

案例1中，教師提供足夠的時(shí)間和空間，讓每一位學(xué)生都能動(dòng)手操作，說(shuō)明教師十分重視讓學(xué)生在操作中獲得對(duì)知識(shí)和方法的理解?？墒牵瑢?shí)際效果如何呢？從課上學(xué)生的表現(xiàn)可以看出，他們對(duì)展開(kāi)圖的認(rèn)識(shí)是零散的，沒(méi)能建構(gòu)清晰的表象，導(dǎo)致不能有效地調(diào)動(dòng)表象展開(kāi)想象，進(jìn)而在判斷平面圖形能否折疊成正方體時(shí)只能依賴折紙。這是什么原因呢？仔細(xì)分析學(xué)生的操作，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩次操作只是簡(jiǎn)單、隨意地讓學(xué)生“做手工”，沒(méi)有明確的目的和方法的指導(dǎo)，也沒(méi)有理性的思考和有效的交流。這樣，必然不能幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)、深化認(rèn)識(shí)，更談不上數(shù)學(xué)能力和空間觀念的發(fā)展。

3. 剪不出來(lái)怎么辦？

正方體的展開(kāi)圖按照?qǐng)D形的特點(diǎn)可以分成4類，共11種。即：6種“1-4-1型”，3種“2-3-1型”，1種“3-3型”和1種“2-2-2型”。僅通過(guò)學(xué)生的操作，很難把這些類型的展開(kāi)圖都“剪”出來(lái)，那該如何處理呢？曹培英教授指出：在小學(xué)，空間觀念以空間表象為主要表征形態(tài)，也包括一定的命題表征，并涉及空間知覺(jué)與初步的空間想象。①探索正方體的11種展開(kāi)圖，有利于提升學(xué)生的空間知覺(jué)，豐富學(xué)生的空間表象。觀察、比較不同的展開(kāi)圖，發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，是訓(xùn)練學(xué)生空間想象能力的重要途徑。因此，教學(xué)中應(yīng)選擇合適的方式，使學(xué)生認(rèn)識(shí)正方體的各種展開(kāi)圖。

基于這些思考，筆者進(jìn)行了下面的教學(xué)實(shí)踐。

【案例2】

1. 問(wèn)題導(dǎo)入

師：今天老師給大家?guī)Я艘粋€(gè)禮物，禮物就裝在這個(gè)正方體的紙盒里，現(xiàn)在想把禮物拿出來(lái)，又不想將盒子弄壞，有什么辦法嗎？

生：可以剪開(kāi)前面的3條棱。

師：這個(gè)方法不錯(cuò)，就這么剪。（教師剪開(kāi)，發(fā)現(xiàn)里面什么也沒(méi)有）

師：老師跟你們開(kāi)了一個(gè)玩笑。盡管盒子里沒(méi)有東西，但今天我們就要利用正方體的盒子學(xué)習(xí)很有用的知識(shí)。想學(xué)習(xí)嗎？

生：想。

師：細(xì)心的同學(xué)可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，盒子里面寫著字母。（教師按照?qǐng)D1剪開(kāi)）

師：為了方便研究，我們就用這些字母來(lái)表示每個(gè)面。

師：我們將正方體沿棱剪開(kāi)，得到一個(gè)由“6個(gè)面”連接的平面圖形，這就是正方體表面的展開(kāi)圖。

2. 剪展開(kāi)圖

師：正方體表面的展開(kāi)圖還會(huì)有其他不同的形狀嗎？

生1：六個(gè)面連在一起的形狀很多，肯定不止這一種。

生2：我覺(jué)得如果沿其他的棱剪開(kāi)，得到的展開(kāi)圖可能會(huì)不一樣。

生3：是的，如果按圖1中的②先剪開(kāi)E和F連接的棱，再剪開(kāi)F和D連接的棱，得到的展開(kāi)圖就不一樣了。

師：你們的猜想對(duì)嗎？正方體除了這個(gè)展開(kāi)圖，還有其他形狀的展開(kāi)圖嗎？讓我們帶著問(wèn)題去剪一剪。先看操作建議：

（1）沿著正方體的棱剪，但不能剪散。

（2）把A面當(dāng)作前面，B面當(dāng)作上面，固定正方體的位置，不要隨意轉(zhuǎn)動(dòng)。

（3）邊剪邊想象，并用小正方形把想象的展開(kāi)圖拼出來(lái)。

（4）剪的過(guò)程中，如果發(fā)現(xiàn)原來(lái)擺的展開(kāi)圖不對(duì)，及時(shí)調(diào)整。

學(xué)生先想象再操作，教師巡視，將不一樣的展開(kāi)圖（如圖2）展示在黑板上。

3. 建立聯(lián)系

師：圖2中的這些圖形有什么相同和不同的地方？

生1：五個(gè)圖形D、C、A都連在一起，其中①③④中F、D、C、A連在一起。

生2：①②④中E的位置一樣，都和D相連，在它的下面。

生3：①②③⑤中B的位置一樣，都和D相連，在它的上面。

生4：①中F和D連接的棱沒(méi)有剪開(kāi)，②中F和B連接的棱沒(méi)有剪開(kāi)，這兩個(gè)展開(kāi)圖只有F的位置不相同。

生5：③和④中B和E的位置不相同，因?yàn)棰凼荁和D連接的棱沒(méi)有剪開(kāi)，E和C連接的棱沒(méi)有剪開(kāi)，而④是B和F連接的棱沒(méi)有剪開(kāi)，E和D連接的棱沒(méi)有剪開(kāi)。

生6：我發(fā)現(xiàn)圖2中的展開(kāi)圖都剪開(kāi)了A和B、E、F連接的棱，所以A的位置都相同。

師：能發(fā)現(xiàn)展開(kāi)圖的這么多聯(lián)系，真了不起！

4. 補(bǔ)充展開(kāi)圖

師：正方體還有其他的展開(kāi)圖嗎？

生：我覺(jué)得還應(yīng)該有其他的展開(kāi)圖。例如，圖2中的②剪開(kāi)E和D連接的棱，不剪E和C連接的棱，那展開(kāi)圖中E就在C的下面（如圖3中的④）。

師：是這樣嗎？我這邊正好有這么一張圖，誰(shuí)來(lái)折折看，檢驗(yàn)他的說(shuō)法。

師：正方體的展開(kāi)圖的確還有其他的類型。（出示圖3）

師：這些圖形能折回正方體嗎？先想象著折。

學(xué)生想象。

師：都能折回嗎？從學(xué)具袋里選出這些圖形折一折。

學(xué)生活動(dòng)。

5. 分類

師：這么多的展開(kāi)圖，能給它們分類嗎？

生1：我把圖2中的①②④和圖3中的①②③分成一類，把圖2中的②和圖3中的④⑤也分成一類，然后剩下兩個(gè)分成一類。

生2：我覺(jué)得剩下的兩個(gè)應(yīng)該分成兩類，因?yàn)樗鼈兒懿灰粯印?/p>

師：我們就把這些展開(kāi)圖分成四類。

……

反思：

學(xué)生參與操作活動(dòng)，在“動(dòng)手做”的過(guò)程中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是發(fā)展空間觀念的有效方式。因此，設(shè)計(jì)有價(jià)值的操作活動(dòng)是發(fā)展空間觀念的關(guān)鍵。那么，如何設(shè)計(jì)有價(jià)值的操作活動(dòng)呢？通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，筆者對(duì)這個(gè)問(wèn)題有了一些的認(rèn)識(shí)。

1. 操作前，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，明確意圖

有價(jià)值的操作活動(dòng)，應(yīng)該激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在需要，讓學(xué)生帶著明確的意圖操作，使學(xué)生產(chǎn)生操作的積極情感。在操作之前，讓學(xué)生思考：“正方體還會(huì)有不同形狀的展開(kāi)圖嗎？”一方面，調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)與新知對(duì)接，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供有力的操作經(jīng)驗(yàn)與想象經(jīng)驗(yàn)的支撐。另一方面，明確操作重點(diǎn)，使學(xué)生意識(shí)到操作的目的不只是要剪出一個(gè)展開(kāi)圖，而是怎樣剪能剪出不一樣的展開(kāi)圖，促使學(xué)生每剪一刀，都要思考“這條棱能不能剪？剪了之后會(huì)不會(huì)不一樣？”這樣設(shè)計(jì)，讓學(xué)生內(nèi)在的需求和積極的思考點(diǎn)燃了操作的熱情，在明確意圖的指引下獲得了更豐富、更深刻的認(rèn)知體驗(yàn)，發(fā)展了空間觀念。

2. 操作中，結(jié)合想象，深化認(rèn)識(shí)

想象是學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”領(lǐng)域知識(shí)的重要方法，在操作中結(jié)合想象，能讓學(xué)生關(guān)注操作背后的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，主動(dòng)使經(jīng)驗(yàn)從膚淺走向深入。操作時(shí)，學(xué)生根據(jù)剪的情況想象展開(kāi)圖的樣子，是在運(yùn)動(dòng)中想象，促使學(xué)生排除操作中的干擾因素，專注于發(fā)現(xiàn)正方體的面的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律主動(dòng)展開(kāi)想象。這樣“想象——操作——再想象”的過(guò)程是發(fā)展學(xué)生動(dòng)態(tài)形象思維的重要依托。同時(shí)，以想象制造的認(rèn)知沖突引發(fā)操作，又以操作制造的認(rèn)知沖突展開(kāi)新的想象，隨著操作的不斷深入，學(xué)生的思維逐步深化，建立的表象逐漸具體、生動(dòng)，空間想象能力得到有效提升。

3. 操作后，交流內(nèi)化，提升經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生在操作中積累了豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，需要通過(guò)交流將這些經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為理性認(rèn)識(shí)。剪出了不同的展開(kāi)圖后，筆者沒(méi)有急于出示其他的展開(kāi)圖，而是讓學(xué)生交流是怎樣得到這些展開(kāi)圖的。在經(jīng)驗(yàn)的分享和碰撞中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了展開(kāi)圖中“面”的位置與剪開(kāi)的“棱”的關(guān)系，不僅深入理解了剪開(kāi)不同的棱會(huì)得到不一樣的展開(kāi)圖，還能想象出剪開(kāi)這些棱會(huì)得到怎樣的展開(kāi)圖。在此基礎(chǔ)上，出示其他的展開(kāi)圖并分類。這樣，學(xué)生頭腦中建構(gòu)的展開(kāi)圖的表象彼此相互聯(lián)系，成為一個(gè)結(jié)構(gòu)化的整體，積累的由“體”到“形”轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)更加豐富、深刻，空間觀念就在潛移默化中得到發(fā)展。

總之，發(fā)展空間觀念離不開(kāi)有價(jià)值的操作活動(dòng)。教師要提供足夠的時(shí)間和空間，使學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)、感悟、思考、積累、內(nèi)化，不斷將感性經(jīng)驗(yàn)上升為理性認(rèn)識(shí)，讓空間觀念在知識(shí)的習(xí)得和能力的發(fā)展中得到提升。