☉江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) 吳曉英

例談突破導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的幾種策略

☉江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) 吳曉英

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)培養(yǎng)學(xué)生探究能力的重要工具，在利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的時(shí)候，往往需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)加以分析和運(yùn)用，而平時(shí)學(xué)生習(xí)慣于常見(jiàn)的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，在遇到一些非常規(guī)的含參或超越方程時(shí)，往往會(huì)顯得束手無(wú)策，筆者對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了如下整理，供參考.

一、直接求根法

此類函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是學(xué)生常見(jiàn)的方程，導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)可直接通過(guò)解方程獲得.

例1設(shè)f（x）=a（x-5）2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）.

（1）確定a的值；

（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值.

這種策略是相對(duì)于導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)可以化為一次或二次方程，易求出根.

二、利用重要的函數(shù)不等式

課本例習(xí)題或平時(shí)常做的一些題經(jīng)常作為出題者的母題來(lái)進(jìn)行編題，在解題時(shí)可以作為結(jié)論提供一些思路.例如，我們證過(guò)一個(gè)常見(jiàn)的不等式：對(duì)任意x∈R，ex≥x+1，可以為一些導(dǎo)數(shù)題提供方法.

例2已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m的值，并討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）＞0.

解：（1）略.

（2）首先證明：對(duì)任意x∈R，ex≥x+1.

證明：設(shè)g（x）=ex-1-x，則g′（x）=ex-1.令g′（x）=0解得x=0.所以g（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，故g（x）在x=0時(shí)取得最小值g（0）=0.所以對(duì)任意x∈R，ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立.于是ex+1≥x+2，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1等號(hào)成立.

當(dāng)x＞-2時(shí)，ex+1≥x+2兩邊取對(duì)數(shù)得x+1≥ln（x+2），于是ex≥x+1≥ln（x+2），由于等號(hào)不能同時(shí)成立，所以ex＞ln（x+2）.又當(dāng)m≤2時(shí)，ln（x+2）≥ln（x+m）.

故ex-ln（x+m）＞0，即f（x）＞0.

點(diǎn)評(píng)：此題借助教材上重要函數(shù)不等式：對(duì)任意x∈R，ex≥x+1，并加以靈活運(yùn)用達(dá)到了曲徑通幽之功效.

三、數(shù)形結(jié)合，回避導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)

仍以例2為例（題略）.

解：y=ex在（0，1）處的切線方程為y=x+1，y=ln（x+2）在（-1，0）處的切線方程也為y=x+1，所以y=x+1為y=ex與y=ln（x+2）的公切線，而y=ex為下凸函數(shù)，而y=ln（x+2）為上凸函數(shù)，故ex≥x+1≥ln（x+2）恒成立.故當(dāng)m≤2時(shí)，exln（x+m）＞0恒成立.

點(diǎn)評(píng)：該策略要求我們對(duì)常見(jiàn)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)比較熟悉，因此要加強(qiáng)基本功的訓(xùn)練.

四、虛擬設(shè)根，整體代換

此類導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)存在，但因?yàn)槭浅椒匠袒蚝瑓⑿问綄?dǎo)致零點(diǎn)不可求或求解非常麻煩，所以可以考慮“設(shè)而不求”的技巧，利用整體代換的方式求解.

例3設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x2，若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明f（x）的所有極值和大于ln

令g（x）=2x2+2ax+1，由f（x）存在極值，所以g（x）＜0在（-a，+∞）上有解，

當(dāng)-a＜x＜x1或x＞x2時(shí)，g（x）＞0，所以f（′x）＞0，

故（fx）在（-a，x1）與（x2，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，g（x）＜0，所以f′（x）＜0，故f（x）在（x1，x2）單調(diào)遞減.從而，（fx）在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值.

由于x1，x2是方程2x2+2ax+1=0的兩根，則x1+x2=-a，，則（fx）的所有極值和為（fx1）+（fx）2=ln（x1+a）++ln（x2+a）+=ln［x1x2+a（x1+x）2+a2］+（x1+x）22-2x1x2=ln，得證.

導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是高考重點(diǎn)也是難點(diǎn)，解決問(wèn)題的方法也是多樣的，只要在平時(shí)的訓(xùn)練多總結(jié)、歸納，就能在高考中制勝.

五、巧妙分離函數(shù)

例4已知方程xex=x+2在區(qū)間［k，k+1］上有解，求整數(shù)k的值.

分析：本題實(shí)際上是探究函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因而必須考慮函數(shù)的單調(diào)性.若構(gòu)造函數(shù)f（x）=xex-x-2，則f′（x）=ex+xex-1=（x+1）ex-1導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不易求，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性不易判斷；因而嘗試分離函數(shù)，顯然x=0不是原方程的解；原方程等價(jià)于-1=0.

所以方程xex=x+2有且只有兩個(gè)實(shí)根且分別在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上，所以k=1或k=-3.

點(diǎn)評(píng)：此題按常規(guī)思路構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不易求出，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性不易判斷；但是嘗試分離函數(shù)（對(duì)方程等價(jià)變形構(gòu)造函數(shù)）問(wèn)題迎刃而解，分離函數(shù)的原則是：將含有積或商的函數(shù)化成基本初等函數(shù)的代數(shù)和.

六、特值代入法

此類題型的導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)，但因?yàn)槭呛衛(wèi)nx或ex的超越方程，所以在求零點(diǎn)時(shí)，一般需要先找特值代入，然后再部分求導(dǎo)證明導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)就是所代入的特值.

例5已知函數(shù)f（x）=ln2（1+x）

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）略.

設(shè)g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x，

則g′（x）=2ln（1+x）-2x.

當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減.

所以h（x）在x=0處取得極大值，且h（0）=0，所以g′（x）＜0（x≠0），故函數(shù)g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減，且g（0）= 0.所以-1＜x＜0時(shí)，g（x）＞0，即f′（x）＞0，故f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜0，即f′（x）＜0，故f（x）單調(diào)遞減.所以f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減.

點(diǎn)評(píng)：選取特殊值探根的原則：在含有l(wèi)nx的復(fù)合函數(shù)中通常令x=ek（k∈R）尤其是令x=1進(jìn)行試探；在含有ex的復(fù)合函數(shù)中通常令x=lnk（k∈R+）進(jìn)行試探探得函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)之后，是否還有其他零點(diǎn)尚未可知，后續(xù)進(jìn)行再次求導(dǎo)，求導(dǎo)的目的是探明函數(shù)的單調(diào)性.

七、等價(jià)轉(zhuǎn)化，回避求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)

（1）求a，b的值

解：（1）略.

顯然直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)很復(fù)雜，令g（x）=2xlnx-x2+ 1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求g（x）的最（極）大值.

①若x＞1，則g′（x）=2lnx+2-2x，g″（x）=-2＜0可知，g′（x）遞減，且由g′（x）＜g′（1）=0可知，g（x）遞減，有g(shù)（x）＜g（1）=0，則

②若0＜x＜1，則g′（x）=2lnx+2-2x，g″（x）=-2＞0可知，g′（x）遞增，且由g′（x）＜g′（1）=0可知，g（x）遞減有g(shù)（x）＞g（1）=0，則恒成立只需k∈（-∞，0］即可.

點(diǎn)評(píng)：此題沒(méi)有求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，也沒(méi)有直接確定原函數(shù)的單調(diào)性，而是通過(guò)二次求導(dǎo)順利解決問(wèn)題.此策略的基本原則是求導(dǎo)之后導(dǎo)函數(shù)變得更簡(jiǎn)單了；當(dāng)然將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化降低難度是關(guān)鍵.

綜合上述，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)主要有可求零點(diǎn)、不可求零點(diǎn)和無(wú)零點(diǎn)的三種呈現(xiàn)方式，對(duì)可求零點(diǎn)則直接求解或用特殊值法代入，對(duì)不可求零點(diǎn)則一般采用“設(shè)而不求”的解決辦法.當(dāng)然，對(duì)一些含超越方程形式的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，等價(jià)轉(zhuǎn)化也是化簡(jiǎn)運(yùn)算的一種有效途徑.一言以概之，多對(duì)平時(shí)我們所遇到的問(wèn)題加以整理概括，才能不斷提高學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.