謝佩軍

摘要：提出了一種將復(fù)Contourlet變換和各向異性擴(kuò)散相結(jié)合的圖像降噪方法。通過復(fù)Contourlet變換對圖像進(jìn)行分解后，分別采用KAD對高頻分量進(jìn)行擴(kuò)散，CDD對低頻分量進(jìn)行擴(kuò)散，最后，經(jīng)復(fù)Contourlet逆變換實(shí)現(xiàn)圖像重構(gòu)。并從主觀視覺效果和定量評價(jià)兩個(gè)方面，對該方法與其他降噪方法進(jìn)行比較分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法不僅具有良好的降噪效果，并且能夠較好地保留圖像邊緣和細(xì)節(jié)特征。

關(guān)鍵詞：復(fù)Contourlet變換；KAD；CDD；圖像降噪

中圖分類號：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2016.04.010

0 引言

圖像是人類獲取信息的重要來源，圖像在形成、傳輸、處理等過程中勢必會(huì)受到噪聲的干擾，從而影響人眼或圖像設(shè)備對實(shí)際圖像的分析與理解。為了提高圖像質(zhì)量，便于后續(xù)的圖像分割、特征提取、圖像分析等，圖像降噪顯得尤為關(guān)鍵。近年來，隨著數(shù)學(xué)理論的不斷發(fā)展與深化，逐步滲透到各個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域，模糊數(shù)學(xué)、小波理論、遺傳算法等被廣泛融入各種圖像處理算法?；谄⒎址匠蹋╬artialdifferential equation，PDE）的各向異性擴(kuò)散（anisotropicdiffusion，AD）方法以其優(yōu)越的性能被廣泛應(yīng)用于圖像降噪、圖像修復(fù)、圖像分割等，并取得了較大進(jìn)展。與傳統(tǒng)的圖像降噪方法相比，各向異性擴(kuò)散方法的突出優(yōu)點(diǎn)是去除圖像噪聲的同時(shí)，能夠保留甚至增強(qiáng)圖像中的邊緣信息。這類算法包括PM模型、TV模型（Total Variation）等，其缺點(diǎn)是對于含有高程度噪聲或乘性噪聲的低信噪比圖像，容易丟失細(xì)小邊緣和紋理信息，從而影響降噪效果。

傳統(tǒng)的圖像降噪方法中，小波變換具有理想的多分辨率特性與時(shí)頻特性，能夠針對不同分辨率圖像和噪聲特點(diǎn)實(shí)現(xiàn)降噪。但小波變換只能獲取有限方向的細(xì)節(jié)信息，從而限制了其降噪效果。Donoho和Vetterlit31于2002年提出的Contourlet變換，是對小波變換進(jìn)行的一種新擴(kuò)展，其具有多分辨率、時(shí)頻局域化、各向異性等特點(diǎn)，能夠稀疏地表示圖像。Contourlet變換結(jié)合拉普拉斯金字塔和方向?yàn)V波器組，分開實(shí)現(xiàn)多尺度分解與方向分析，可充分體現(xiàn)圖像輪廓和高維奇異性等信息。Contourlet變換在圖像紋理檢測、圖像降噪方面的應(yīng)用都取得較理想的效果。但由于分解前的下采樣和重構(gòu)前的上采樣，導(dǎo)致Contourlet變換缺乏平移不變性，且存在頻譜混疊現(xiàn)象和高冗余度，在圖像降噪過程中易出現(xiàn)偽Gibbs現(xiàn)象，從而嚴(yán)重影響圖像質(zhì)量。因此，近幾年來有人將小波變換、Contourlet變換等多尺度變換與各向異性擴(kuò)散相融合，在有效去除圖像噪聲的同時(shí)，也能夠較好地保持邊緣信息。馬秀麗等及武曉玥等均將NSCT與TV擴(kuò)散相結(jié)合，能夠大大減少Gibbs偽影，但算法引入了兩次TV擴(kuò)散，計(jì)算復(fù)雜度較高，影響了計(jì)算效率。吳一全等提出Contourlet域的非線性擴(kuò)散去噪，分別采用TV模型、PM模型對圖像低頻分量與高頻分量進(jìn)行擴(kuò)散，去除普通噪聲較理想。但對于強(qiáng)噪聲污染的圖像，上述幾種方法采用TV擴(kuò)散均易產(chǎn)生階梯效應(yīng)，影響處理效果。丁亮等采用不同強(qiáng)度的各向異性擴(kuò)散對圖像Contourlet系數(shù)矩陣分別進(jìn)行處理，能夠克服階梯效應(yīng)，但受Contourlet變換的較強(qiáng)振蕩性、缺乏平移不變性的影響，導(dǎo)致降噪不夠充分。

近年來提出的復(fù)Contourlet變換（Complex Con-tourlet Transform）能夠在不同程度上解決上述模型存在的問題，復(fù)Contourlet變換采用雙樹復(fù)小波（DT-CWT）的多尺度分解與方向?yàn)V波器組（DFB）的方向分析，具有良好的平移不變性、低冗余度等優(yōu)點(diǎn)。陳新武等提出了基于復(fù)Contourlet變換的紋理圖像檢索系統(tǒng)，克服了Contourlet變換時(shí)頻局部化特性差、缺乏平移不變性等不足，實(shí)現(xiàn)較高的檢索效率。吳一全等將復(fù)Contourlet變換與TV擴(kuò)散、PM擴(kuò)散結(jié)合實(shí)現(xiàn)圖像去噪，取得較優(yōu)越的去噪效果，但對強(qiáng)噪聲的處理，仍會(huì)出現(xiàn)一定程度的階梯效應(yīng)。

針對上述問題，本文將復(fù)Contourlet變換與改進(jìn)型各向異性擴(kuò)散方法相結(jié)合，增強(qiáng)各向異性擴(kuò)散的圖像降噪效果，且復(fù)Contourlet變換能夠彌補(bǔ)各向異性擴(kuò)散模型的不足。該算法的基本步驟為：首先通過復(fù)Contourlet變換對圖像進(jìn)行分解得到高頻和低頻分量，然后高頻分量采用核各向異性擴(kuò)散（kernel anisotropie diffusion，KAD）進(jìn)行處理，低頻分量部分采用曲率驅(qū)動(dòng)擴(kuò)散（curvature-drivendiffusion，CDD）進(jìn)行處理，最后，通過復(fù)Contourlet逆變換實(shí)現(xiàn)圖像重構(gòu)，得到降噪圖像。本文提出的方法與上述文獻(xiàn)中的幾種方法進(jìn)行對比，從定性與定量兩個(gè)方面來比較分析圖像降噪效果。

1 基于復(fù)Contourlet變換和各向異性擴(kuò)散的圖像降噪

1.1 復(fù)Contourlet變換

復(fù)Contourlet變換由雙樹復(fù)小波（DT-CWT）多分辨率分解和方向?yàn)V波器組（DFB）的方向分析構(gòu)成。DT-CWT變換由兩棵離散小波樹對實(shí)部與虛部實(shí)現(xiàn)并行運(yùn)算，每層分解得到6個(gè)不同方向的高頻子帶和2個(gè)低頻子帶，并將DFB級聯(lián)于高頻子帶，進(jìn)一步擴(kuò)展高頻子帶，從而提高方向分辨率，更全面地描述圖像中的細(xì)節(jié)信息。復(fù)Contourlet變換關(guān)注幅值與相位兩方面信息，并具有時(shí)頻局部化特性好、近似的平移不變性等優(yōu)點(diǎn)，確保在圖像分解和重構(gòu)的過程中能夠完整地保留細(xì)節(jié)信息，提高降噪效果。

1.2 核各向異性擴(kuò)散（KAD）

基于各向異性擴(kuò)散的圖像降噪，其基本思想就是求解以原始圖像為初始值的非線性擴(kuò)散方程，最初由Perona和Malik提出，簡稱PM模型。PM模型利用梯度算子來識(shí)別圖像中噪聲和邊緣引起的梯度變化，并采用領(lǐng)域加權(quán)平均的方式去除噪聲引起的梯度變化。PM模型由線性擴(kuò)散方程改進(jìn)而來，其連續(xù)形式為：

（1）其中，div表示散度算子，▽表示梯度算子，u₀表示原始圖像，||||表示幅度，c（||▽u||）表示擴(kuò)散系數(shù)。進(jìn)一步將（1）式進(jìn)行離散化，得到相應(yīng)的有限差分形式：

（2）其中，l是時(shí)間步長，p是像素位置，ξ_p是像素p的領(lǐng)域集，λ是加權(quán)值。梯度值為：

（3）Perona和Malik提出兩種形式的擴(kuò)散系數(shù)c（||▽u||）為：

（4）

（5）其中，參數(shù)k是梯度閾值，（||▽u||/k）²決定了圖像降噪與細(xì)節(jié)保持的平衡度。

PM模型對于圖像污染程度較低的加性噪聲具有較理想的降噪效果，但對于低信噪比圖像與圖像中強(qiáng)噪聲污染的處理存在一定局限性，梯度算子難以區(qū)分噪聲和邊緣引起的梯度變化。這種情況下，PM擴(kuò)散的去噪效果較差，甚至?xí)胄碌脑肼暋?/p>

圖像中的邊緣和噪聲均為高頻分量，且噪聲隨機(jī)分布于多維空間，從而可采用非線性方式映射到一個(gè)高維空間，然后在高維空間進(jìn)行降噪。Yu等于2008年提出了核各向異性擴(kuò)散模型（KAD），將圖像中噪聲和邊緣的識(shí)別看作非線性可分的分類問題，然后，通過核函數(shù)的非線性映射轉(zhuǎn)換成高維特征空間的線性可分問題，并利用梯度算子實(shí)現(xiàn)擴(kuò)散過程的有效控制。KAD模型的理論依據(jù)來自于Cover定理，即：對于復(fù)雜非線性可分的模式分類問題，將輸入空間映射到高維空間更易于簡化和解決問題。假設(shè)存在非線性變換，可將原空間中的圖像數(shù)據(jù)映射到高維特征空間，則在高維特征空間中能夠更高效地實(shí)現(xiàn)降噪。

核方法可通過一組再生核函數(shù)有效地表示輸入數(shù)據(jù)的非線性關(guān)系，并且能夠簡化數(shù)據(jù)算法。核方法無需明確的映射函數(shù)，只要能將特征空間中的算法表達(dá)式轉(zhuǎn)換為內(nèi)積形式，則該算法就能夠通過核函數(shù)轉(zhuǎn)換至相應(yīng)的核方法?；谏鲜龇治觯珊藬U(kuò)散||▽[Φ（u）]||替代梯度幅度||▽u||，得到KAD模型的偏微分形式：

（6）相應(yīng)的有限差分形式為：

（7）其中，||▽[ΦI（u）||表示由映射函數(shù)Φ所定義的特征空間的核梯度模，也稱為核邊緣檢測算子。

選擇式（5）作為PM模型的擴(kuò)散函數(shù)，則相應(yīng)的核擴(kuò)散系數(shù)為：

（8）

梯度閾值k的合理選取對核擴(kuò)散具關(guān)鍵性作用，影響核梯度幅度的擴(kuò)散程度，k過小則無法有效降噪，k過大則會(huì)模糊細(xì)節(jié)。綜合考慮，采用Black等人提出的中值絕對偏差法（MAD）：

（9）

其中，MAD為零均值的正態(tài)分布函數(shù)。合適的梯度閾值保證核擴(kuò)散能夠?qū)崿F(xiàn)良好的降噪效果，同時(shí)保持圖像邊緣的完整性。

1.3 曲率驅(qū)動(dòng)擴(kuò)散（CDD）

TV模型由Rudin等人提出并應(yīng)用于計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域，是一種較理想的圖像正則化處理方法，被廣泛應(yīng)用于圖像降噪。TV模型圖像降噪的基本思想是將問題歸結(jié)為一個(gè)泛函的最小化問題，即求解如下方程的最小值：

（10）其中，Ω表示圖像區(qū)域，λ是Lagrange常數(shù)，表示圖像的噪聲影響程度。相應(yīng)的Euler-Lagrange方程為：

（11）其中，ψ滿足ψ（0）=0和limψ（x）=∞。

但TV模型易受區(qū)域大小的限制而不能滿足視覺“連接性準(zhǔn)則”，在圖像降噪過程中易產(chǎn)生過度擴(kuò)散。針對這個(gè)問題，Chan等人在TV模型的基礎(chǔ)上引入曲率項(xiàng)，提出曲率驅(qū)動(dòng)擴(kuò)散（CDD）模型，可通過曲率來調(diào)整各向異性擴(kuò)散系數(shù)。CDD模型將TV模型的擴(kuò)散系數(shù)1/|▽u|修正為g（|k|）/|▽u|，此處，g（|k|）為曲率k的增函數(shù)，確保CDD模型能夠在邊緣區(qū)域盡可能終止擴(kuò)散，防止過度擴(kuò)散。g（·）的定義為：

（12）

一般取g0）=s^p，s>0，p≥1。

可以得到CDD穩(wěn)定模型：

（13）

其中，D是待處理區(qū)域，E是待處理區(qū)域的外領(lǐng)域。CDD模型的擴(kuò)散強(qiáng)度受圖像灰度梯度值和等照度線曲率兩者的共同影響，在等照度線曲率較大處擴(kuò)散強(qiáng)度隨之增大，隨著曲率的減小擴(kuò)散強(qiáng)度逐漸減弱，從而解決了TV擴(kuò)散不滿足“連接性準(zhǔn)則”的問題，CDD模型具有良好的穩(wěn)定性與理想的擴(kuò)散效果。

1.4 基于復(fù)Contourlet和各向異性擴(kuò)散的算法步驟

Step1：原始圖像的復(fù)Contourlet分解。

首先，原始含噪圖像由DT-CWT進(jìn)行多分辨率分解，選擇“antonini”和“qshift_b”濾波器；然后，并將DFB級聯(lián)于高頻分量，對6個(gè)不同方向高頻分量進(jìn)行分解，濾波器選擇“pkva”。

Step2：低頻分量處理。

原始圖像經(jīng)過復(fù)Contourlet分解所得到低頻分量，主要是信號信息，噪聲信息基本都在高頻分量中。低頻分量采用曲率驅(qū)動(dòng)擴(kuò)散（CDD）模型進(jìn)行擴(kuò)散，CDD擴(kuò)散受多重空間幾何信息的控制，具有良好的穩(wěn)定性與理想的擴(kuò)散效果。

Step3：高頻分量處理。

高頻分量包含大量的圖像細(xì)節(jié)與噪聲信息，因此，高頻分量的有效處理對算法的降噪效果有關(guān)鍵性影響。采用核各向異性擴(kuò)散模型（KAD）對高頻分量進(jìn)行擴(kuò)散，并根據(jù)中值絕對偏差法（MAD）選取合適的梯度閾值k，確保理想的擴(kuò)散效果。

Step4：降噪圖像重構(gòu)。

將擴(kuò)散后的低頻和高頻分量進(jìn)行復(fù)Contourlet逆變換，實(shí)現(xiàn)圖像重構(gòu)，得到降噪圖像。

復(fù)Contourlet圖像降噪算法流程如圖l所示。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

針對本文提出的復(fù)Contourlet變換與改進(jìn)型各向異性擴(kuò)散圖像降噪算法，采用大量各類噪聲圖像進(jìn)行降噪效果的實(shí)驗(yàn)。比較分析本文方法與文獻(xiàn)提出的NSCT與自適應(yīng)TV擴(kuò)散相結(jié)合的方法（NSCT TV）、文獻(xiàn)提出的基于Contourlet變換的各向異性擴(kuò)散方法（CT AD）、文獻(xiàn)提出的復(fù)Contourlet變換與TV擴(kuò)散及PM擴(kuò)散結(jié)合的方法（CCT TP）的降噪效果。

對受高斯噪聲污染的標(biāo)準(zhǔn)圖像lena進(jìn)行降噪實(shí)驗(yàn)，噪聲均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為20，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。實(shí)驗(yàn)過程中，NSCT TV方法和CT AD方法的均選擇“9-7”塔式分解和方向?yàn)V波器組進(jìn)行三層分解；CCT_TP方法將圖像進(jìn)行復(fù)Contourlet分解后，高頻部分進(jìn)行TV擴(kuò)散，低頻部分進(jìn)行PM擴(kuò)散。從視覺效果上來看，NSCT_TV方法能夠有效地減少Gibbs偽影，降噪效果較好，但是處理效率較低。CT_AD方法對噪聲具較好的抑制效果，但部分圖像細(xì)節(jié)和邊緣出現(xiàn)一定程度的模糊，CCT_TP方法能夠較好地保留圖像邊緣和紋理特征，但會(huì)產(chǎn)生一定的階梯效應(yīng)。相比于其他幾種方法，本文方法不但能夠很好地抑制噪聲，而且提升了圖像視覺質(zhì)量，很好地保持了圖像邊緣和細(xì)節(jié)特征。

定量分析采用均方差MSE，峰值信噪比PSNR和結(jié)構(gòu)相似度SSIM三個(gè)指標(biāo)對本文方法與上述方法的處理效果進(jìn)行對比，如表1所示。MSE和PSNR表征各算法的降噪效果，MSE值越小，PSNR值越大則說明降噪效果越好。SSIM從結(jié)構(gòu)、對比度和亮度三個(gè)方面測評兩幅圖像的相似度，SSIM值介于0和1之間，其值越接近1，則說明降噪效果越理想。

由表1可以看出，本文方法處理后圖像的MSE值最小，且MSE值至少比其他方法少20；PSNR值最大，且PSNR值比其他方法大1～3 dB；SSIM值為0.98，最接近于1。因此，驗(yàn)證了本文算法的圖像降噪能力優(yōu)于其他方法。

3 結(jié)論

本文提出復(fù)contourlet變換和各向異性擴(kuò)散的圖像降噪算法，首先對圖像進(jìn)行復(fù)contoudet分解，然后高頻分量采用KAD進(jìn)行擴(kuò)散，低頻分量采用cDD進(jìn)行擴(kuò)散，取得較好的降噪效果。經(jīng)過大量的對比實(shí)驗(yàn)表明，本文算法在主觀視覺效果與定量評價(jià)指標(biāo)上，均優(yōu)于上述NST TV方法、CT AD方法和CCT TP方法。本文算法具良好的平移不變性和抗振蕩性，在有效去除噪聲的同時(shí)，能夠較好地保留圖像邊緣和細(xì)節(jié)特征。