孫聰　艾文寶

摘要：考慮無(wú)線中繼通信系統(tǒng)，一對(duì)單天線用戶在多個(gè)多天線中繼的輔助下通信。假設(shè)中繼的功能僅簡(jiǎn)單地放大轉(zhuǎn)發(fā)用戶信號(hào)。本文建立了傳輸速率極大化的模型，以同時(shí)優(yōu)化用戶發(fā)送功率及中繼轉(zhuǎn)發(fā)矩陣。本文運(yùn)用分式優(yōu)化等技巧，將相應(yīng)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列二次約束二次規(guī)劃子問題。通過顯式表達(dá)式給出二次約束二次規(guī)劃子問題的次優(yōu)解。模擬實(shí)驗(yàn)表明，相比較已有的梯度法，本方法用非常少的時(shí)間、獲得更高的傳輸速率。

關(guān)鍵詞：通信與信息系統(tǒng)；放大轉(zhuǎn)發(fā)中繼；低復(fù)雜度；分式優(yōu)化

中圖分類號(hào)：TN92 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2016.04.001

0 引言

近期關(guān)于中繼輔助通信的研究不斷涌現(xiàn)。由于障礙、信道衰落等原因，用戶之間直接通信的信道可能很差，此時(shí)則需要中繼站輔助通信，以提高用戶間通信的有效性和可靠性。中繼的工作方式有很多種，包括放大轉(zhuǎn)發(fā)、壓縮轉(zhuǎn)發(fā)和解碼轉(zhuǎn)發(fā)等。其中放大轉(zhuǎn)發(fā)的中繼原理簡(jiǎn)單、復(fù)雜度低，因此相關(guān)的研究較多?，F(xiàn)有的參考文獻(xiàn)中有很多旨在設(shè)計(jì)、優(yōu)化中繼的轉(zhuǎn)發(fā)矩陣，以提升信道的性能。針對(duì)多個(gè)單天線中繼輔助的一對(duì)單天線用戶，分析了不同情形下的中繼轉(zhuǎn)發(fā)系數(shù)，以極大化信噪比，并給出顯式最優(yōu)解。將通信模型推廣到多對(duì)用戶，考慮在信噪比達(dá)到下界的前提下極小化中繼的總發(fā)送功率，并通過半定規(guī)劃松弛算法求解中繼的轉(zhuǎn)發(fā)系數(shù)；針對(duì)同一個(gè)通信模型，提出了針對(duì)等式的非凸逐步二次規(guī)劃算法，并求得問題的KKT點(diǎn)；將問題的可行域縮小，得到一個(gè)二階錐規(guī)劃，用較低的計(jì)算復(fù)雜度求得問題的可行解?？紤]一對(duì)多天線用戶由多個(gè)多天線中繼輔助，求解了接收信號(hào)與發(fā)送信號(hào)均方差極小化的問題。在2×2×2（兩對(duì)用戶、兩個(gè)中繼）的信道中，利用方程組的求解聯(lián)合設(shè)計(jì)預(yù)編碼和中繼轉(zhuǎn)發(fā)矩陣，以消除用戶之間的干擾。在雙向中繼、一對(duì)用戶的信道模型中，運(yùn)用梯度法求解傳輸速率極大化的問題。在上述的參考文獻(xiàn)中，為求解中繼的轉(zhuǎn)發(fā)矩陣，所運(yùn)用的算法往往具有較高的計(jì)算復(fù)雜度。本文則針對(duì)特定的通信模型和問題，提出了低復(fù)雜度的高效算法。文章具體結(jié)構(gòu)如下：第一節(jié)主要介紹本文考慮的多個(gè)多天線中繼輔助下的一對(duì)單天線用戶通信模型和過程；第二節(jié)提出具體的問題和算法；第三節(jié)給出數(shù)值實(shí)驗(yàn)和比較結(jié)果。

符號(hào)說(shuō)明：×表示Kronecker積。I_d是d維單位矩陣。R={1，2，…，R}代表中繼的指標(biāo)集合。diag{A₁，…，A_n}表示以A_i，i=l，…，n為對(duì)角的塊對(duì)角矩陣。IE（·）表示取隨機(jī)變量的期望。

1 系統(tǒng)模型

考慮一個(gè)多中繼輔助的單用戶半雙工通信模型，其中中繼的個(gè)數(shù)是R。用戶的發(fā)送端和接收端都是單天線的；第r個(gè)中繼有L_r根天線，對(duì)任意r∈R成立。假設(shè)用戶傳輸?shù)男盘?hào)s已經(jīng)過歸一化處理，都滿足IE（|s|²）=1。這里假設(shè)用戶之間沒有直接相連的信道，全局的信道信息已知。

考慮轉(zhuǎn)發(fā)放大的中繼工作模式。通信的過程分為兩個(gè)時(shí)段。第一時(shí)段，用戶把信號(hào)√ps發(fā)送給每個(gè)中繼，這里p是用戶的發(fā)送功率。此時(shí)每個(gè)中繼得到信號(hào)x_r=√pg_rs+n_r，這里g_r∈C^L_r×1是發(fā)送端到第r個(gè)中繼的信道；n_r是在第r個(gè)中繼處的噪聲，其均值為零、方差為σ²_rI_Lr對(duì)任意r∈R成立。第二時(shí)段，第r個(gè)中繼在信號(hào)x_r上乘上自己的轉(zhuǎn)發(fā)矩陣W_r∈C^L_r×L_r，再將t_r=W_rx_r發(fā)送給接收端。最終接收端處得到的信號(hào)為其中h_r∈C^L_r×1是第r個(gè)中繼到接收端的信道；z是接收端處的噪聲，其均值為零、方差為μ²。

2 速率極大化算法

假設(shè)所有的信號(hào)和噪聲相互獨(dú)立。這里，第r個(gè)中繼的發(fā)送功率為IE（||t_r||²₂）=p||W_rg_r||²₂+σ²_r||W_r||²_F。本文希望聯(lián)合優(yōu)化用戶的發(fā)送功率p和所有的中繼轉(zhuǎn)發(fā)矩陣{W}={W_r，r∈R），以極大化傳輸速率：在用戶和每個(gè)中繼的發(fā)送功率約束下，相應(yīng)的優(yōu)化問題表達(dá)式為：（1）這里p^U和p^R_r分別為用戶和每個(gè)中繼的發(fā)送功率上限。通過類似于[1，SectionⅢ一A]的分析，我們可證明，在（1）中，最優(yōu)的p應(yīng)取p^U。令p=p^U。令w_r∈C^L2_r×1是將矩陣W_r按列排放得到的列向量；D=diag（I_Lr1×h₁h₁^H，…，I_LR×h_RH^H_R）；J_r=（p^Ug_rg^H_r+σ²_rI_Lr）^T×I_Lr；Q=t^Ht，其中t=（（g₁×h₁）^T，…，（g_R×h_R）^T）。則（1）可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為下面優(yōu)化問題的求解：

（2）通過Dinkelbach的技巧，我們可以在每步迭代的過程中求解如下問題：

（3）在此基礎(chǔ)上，我們可以證明問題（2）和（3）具有相同的KKT點(diǎn)。問題（3）是一個(gè)非凸的二次約束二次規(guī)劃問題，想要求得它的最優(yōu)解也很困難。為了降低問題的復(fù)雜度，我們用（3）的可行解w=ηJx來(lái)更新變量w。這里x是矩陣J（Q-CD）J的最大特征值對(duì)應(yīng)的單位特征向量，其中J=diag{J₁^-（1/2），…，J_R^-（1/2）}。J_r是正定矩陣，因此根據(jù)其特征值分解Q_JD_JQ^H_J，可得到J_r^-（1/2）=Q_JD_J^-（1/2）Q^H_J，其中D_J^-（1/2）是一個(gè)對(duì)角矩陣，其中每個(gè)對(duì)角元素是D_r相應(yīng)對(duì)角元素的開方倒數(shù)。

根據(jù)上述分析，我們總結(jié)求解問題（1）的傳輸速率極大化算法如下：

算法1（傳輸速率極大化算法）

Step 1：令p=p^U。選取初始點(diǎn)W_r，r∈R，構(gòu)造初始的w，以及初始參數(shù)C=C_n。給定終止參數(shù)ε和k_max。k=0。

Step 2：更新變量w：w=ηJx。更新參數(shù)c：

step 3：若|C_k+1-C_k|<ε，或k=k_max，算法終止，由w構(gòu)造得到中繼轉(zhuǎn)發(fā)矩陣W_e，r∈E；否則，k=k+1，轉(zhuǎn)step 2。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

針對(duì)不同配置的中繼網(wǎng)絡(luò)，圖1畫出了我們提出的算法與梯度法所得到的傳輸速率隨著sNR值變化的曲線。從中我們可以觀察到，兩種算法得到的傳輸速率都隨著系統(tǒng)sNR值的增大而線性增加；無(wú)論是改變中繼的個(gè)數(shù)還是改變每個(gè)中繼的天線數(shù)，算法1總能得到比梯度更高的傳輸速率。表1還給出了在不同信噪比下，兩種算法的平均計(jì)算時(shí)間。算法1的每步更新具有顯式表達(dá)，而梯度法的每輪迭代則需要內(nèi)循環(huán)來(lái)確定迭代步長(zhǎng)。從表1也能觀察到，算法1的計(jì)算復(fù)雜度比梯度法更低。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比較梯度法，我們提出的算法能夠在更短的時(shí)間內(nèi)求得更高的傳輸速率。

4 結(jié)論

本文針對(duì)多天線的多中繼輔助的單天線單用戶通信系統(tǒng)，建立了傳輸速率極大化優(yōu)化模型，且用戶和每個(gè)中繼具有發(fā)送功率約束。通過分析和分式優(yōu)化等技巧，我們將問題轉(zhuǎn)化為一系列的二次約束二次規(guī)劃，并通過其顯式表達(dá)的可行解進(jìn)行迭代求解。實(shí)驗(yàn)表明，相比較梯度法，本文提出了計(jì)算時(shí)間更短、傳輸速率更高的傳輸速率極大化算法。