鄧超凡 伍東凌 陳正想

（中國船舶重工集團公司第七一〇研究所，宜昌，443003）

磁梯度張量定位盲點分析

鄧超凡 伍東凌 陳正想

（中國船舶重工集團公司第七一〇研究所，宜昌，443003）

針對目前磁性目標單點磁梯度張量定位方法受地磁場影響較大的問題，通過對原算法的偏微分推導(dǎo)，提出了一種改進磁梯度張量定位方法，并分析了在這種算法在定位過程中可能存在的定位盲點。利用Matlab仿真驗證了這種算法的可行性及探測盲點存在的位置與分析的一致性。

磁梯度張量；磁定位；探測盲點；Newton插值

磁梯度張量定位方法具有很多磁總場定位、磁矢量定位方法所沒有的優(yōu)點，如受磁化方向影響小、具有較多的細節(jié)能夠用于三維定量反演解釋等[1]，在軍事、環(huán)境、資源勘探等方面有著廣闊的應(yīng)用前景[2]。近年來，磁梯度張量探測定位技術(shù)逐漸成為磁測技術(shù)的研究熱點[3-4]。本文主要針對一種單點磁梯度張量定位算法的探測盲點進行分析，提出了一種在實際探測過程中的修正方法，并通過仿真驗證了這種方法的可行性。

1 改進的探測方法

1.1 磁梯度張量定位算法

磁場是一個矢量場，其3分量Bx、By、Bz在空間3個方向的變化率即為磁梯度張量，包括9個要素，表達式為

由文獻[2]推導(dǎo)出磁偶極子的位置信息與單點所測量的磁場矢量及磁張量之間的線性關(guān)系：

由式（2）可知，在已知某點處磁張量的九個要素及相應(yīng)的磁偶極子所產(chǎn)生的三分量磁場值就可得到磁偶極子的位置信息，如式（3）所示：

式（3）為單點磁張量定位算法，已知單一觀測點的目標磁場和磁梯度張量可實現(xiàn)磁性目標定位。

但是在實際測量中，目標磁場估計值B會包含地磁場的測量誤差。由于地磁場的大小為幾萬nT，而目標磁場的大小一般為幾百nT，因此在地磁場遠大于目標磁場的情況下，較小的地磁場測量相對誤差也會給目標磁場的估計值B帶來較大影響[5]，進而給單點磁梯度張量的定位帶來較大誤差。

1.2 磁梯度張量定位改進算法

將式（2）寫成方程組的形式，并對方程組等號兩邊分別對z求偏導(dǎo)，可得

式（4）可簡化表示為

式（6）就是基于磁梯度張量定位的改進算法，由于磁體的尺寸越大，其磁場的二階和三階張量越小，所以地球作為一個尺寸巨大的磁體，與一般磁性目標相比，其二階和三階張量遠小于目標磁場的二階和三階張量，因此地磁場對改進定位算法中變量的影響很小，所以該改進定位算法不受地磁場影響。

2 磁梯度張量探測盲點分析

對于磁梯度張量定位算法，上述理論分析都是在假設(shè)磁梯度張量對z的偏導(dǎo)可逆的情況下進行的。當不可逆時，在以磁偶極子為坐標原點的坐標系中的定位公式（6）是不存在的。這樣使得磁梯度張量對z的偏導(dǎo)不可逆的奇異點稱之為磁梯度張量探測定位盲點，簡稱探測盲點。

進一步地分析可以得出，探測盲面實際上是兩個經(jīng)過磁偶極子，并且垂直或平行于磁矩矢量的平面，于是當時，探測盲面在以磁偶極子為坐標原點的坐標系中的一般方程為：

3 磁梯度張量探測盲點仿真

為了驗證探測盲點或者探測盲面的存在，需要選定磁偶極子在某個位置不變，利用磁探測系統(tǒng)對其進行探測，此時可以建立以磁偶極子為坐標原點的坐標系，而磁探測系統(tǒng)在磁偶極子上方的某個平面內(nèi)運動，利用公式（6）可以計算出磁探測系統(tǒng)相對于磁偶極子原點的位置坐標，由相對性可得磁偶極子相對于磁探測系統(tǒng)的位置坐標。這里在仿真時，以磁探測系統(tǒng)的運動位置坐標為準，即求解的是磁探測系統(tǒng)在以磁偶極子為原點的坐標系中的坐標。

探測盲點的仿真步驟如下：（1）選取以磁偶極子為坐標原點的坐標系，如圖1所示。（2）在磁偶極子上方某一高度h處，選擇一個平面為磁探測系統(tǒng)的運動平面。（3）將磁探測系統(tǒng)的運動平面進行離散化，離散點作為磁探測系統(tǒng)的探測位置點。（4）讓磁探測系統(tǒng)運動到不同的位置點，利用磁探測系統(tǒng)對磁偶極子進行探測定位。（5）將利用定位公式所求得的探測位置坐標與真實位置坐標(x,y,z)進行比較，根據(jù)式（9）求取絕對誤差。

圖1 仿真分析示意圖

仿真過程中，假設(shè)磁偶極子的磁矩mx=100 Am2、my=0、mz=0，其他仿真條件不變，此時由探測盲面的一般方程可知，此時的探測盲面為x=0或z=0，而由于磁探測系統(tǒng)在磁偶極子的上方z=h平面內(nèi)運動，所以探測過程中當磁探測系統(tǒng)位于探測盲面和運動平面的交線處時，磁探測系統(tǒng)對自身位置的探測誤差會急劇增大。

假設(shè)h=2 m，傳感器之間的排列間距d=0.5 m，坐標系X、Y方向上取?8 m到8 m。則定位計算所得到的三軸坐標值與真實值之間的誤差（以Ey為例）如圖2所示。

圖2 磁測探系統(tǒng)y坐標的相對誤差Ey

由圖2可以看出，在探測盲面x=0和磁性目標探測系統(tǒng)運動平面的交線以外的區(qū)域即x≠0的區(qū)域，定位誤差在0附近波動很小，而在探測盲面x=0和磁性目標探測系統(tǒng)運動平面的交線處確實存在定位誤差急劇增大的情況，甚至在一些點上因不能對求逆而無法實現(xiàn)定位，在圖2上顯示為空白區(qū)域，這與理論分析完全吻合。從而進一步說明，磁梯度張量探測存在探測盲面，探測盲面在以磁偶極子為坐標原點的坐標系中的一般方程可由式（8）求出。

同樣假設(shè)h=0 m，其他條件不變。即在z=0的平面上進行探測，則定位計算所得到的三軸坐標值與真實值之間的誤差（同樣的以Ey為例）如圖3所示。

圖3 磁測探系統(tǒng)y坐標的相對誤差Ey

由圖3可以看出，在探測盲面z=0的區(qū)域探測只能在一些極為零散的點上能得到定位結(jié)果，且定位誤差極大，基本無法實現(xiàn)定位，這與上面的理論分析也是完全吻合的。從而進一步說明這種探測方法存在探測盲面，探測盲面在以磁偶極子為坐標原點的坐標系中的一般方程可由式（8）求出。所以在利用磁梯度張量探測系統(tǒng)對磁性目標探測定位時，需要避開探測盲面和運動平面的交線-探測盲線。避開探測盲線的方法可以利用磁探測系統(tǒng)之前的探測數(shù)據(jù)進行外插，或者利用最近的一組探測數(shù)據(jù)直接替換進行修正。

可采用Newton插值多項式x=0上的數(shù)據(jù)外插以替代直接通過公式（9）得到的探測結(jié)果，插值公式為：

其中

通過仿真驗證這種方法的可行性，在利用外插公式（10）對x=0上的數(shù)據(jù)外插時，可取與該點坐標y相同且距離最近的4個x≠0的點上探測結(jié)果作為已知量進行外插，得到的結(jié)果替代公式（6）的探測結(jié)果。事實證明，這些方法切實可行。修正后的相對定位誤差如圖4～圖6所示。

圖4 修正后磁測探系統(tǒng)x坐標的相對誤差Ex

圖5 修正后磁測探系統(tǒng)y坐標的相對誤差Ey

圖6 修正后磁測探系統(tǒng)z坐標的相對誤差Ez

由圖4～圖6可以看出，修正后探測盲點被消除，同時可以看出利用磁梯度張量探測系統(tǒng)進行探測定位時，對x、y、z坐標的相對定位誤差小于0.03 m，可在實際工程中應(yīng)用。

4 結(jié)束語

本文通過Matlab仿真，驗證了改進算法在探測過程中確實有探測盲點存在，位置與前面的數(shù)學(xué)分析結(jié)果一致，即探測盲面是兩個經(jīng)過磁偶極子，并且垂直或平行于磁矩矢量的平面；提出了利用Newton插值法對探測結(jié)果進行修正的數(shù)據(jù)處理方法，從仿真結(jié)果可以看到修正后x、y、z坐標的相對定位誤差小于0.03 m，對磁梯度張量定位在實際工程中的應(yīng)用有一定的指導(dǎo)意義。另外，由于本文的分析和仿真都是基于理想條件下進行的，即在研究過程中沒有考慮噪聲的影響，在下一步的工作中可探究噪聲對探測距離、精度及探測盲點位置的影響。

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