張曄, 陳向煒

(1.蘇州科技大學 數理學院, 江蘇 蘇州 215009; 2.商丘師范學院 電子電氣工程學院, 河南 商丘 476000)

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二自由度弱非線性耦合系統的動力學行為

張曄1, 陳向煒2

(1.蘇州科技大學 數理學院, 江蘇 蘇州 215009; 2.商丘師范學院 電子電氣工程學院, 河南 商丘 476000)

研究二自由度弱非線性耦合系統的動力學行為.首先, 用耦合彈簧構建一二自由度弱非線性耦合系統, 給出該系統的Lagrange函數, 并建立其微分方程; 然后, 求該系統的奇點并利用Lyapunov方法判斷其穩(wěn)定性; 最后,利用Matlab對其進行數值模擬, 畫出龐加萊截面圖、相圖及時域圖, 觀察系統在相空間中的運動軌跡.

二自由度弱非線性耦合系統; 奇點; 龐加萊截面圖; 相軌跡

1788年, Lagrange在著作《分析力學》中, 應用數學分析的方法得到D’Alembert原理及第二類Lagrange方程, 為Lagrange力學系統奠定了基礎.1834年, Hamilton[1,2]將第二類Lagrange方程變換成一種正則形式, 提出了Hamilton原理, 建立了Hamilton力學.近年來, 對Lagrange系統動力學的研究非?；钴S, 取得了一系列重要成果, 主要集中在對稱性及其守恒量[3-7], Noether-Lie對稱性[8,9], 動力學逆問題[10], 攝動與絕熱不變量[11-13].但在Lagrange系統的動力學行為研究方面所涉不多, 梅鳳翔[14-16]等利用梯度系統的性質研究奇點的穩(wěn)定性, 宋端[17]利用梯度系統研究了系統平衡穩(wěn)定性對參數的依賴關系, 及解的周期性[18-20]研究成果.本文利用耦合彈簧建立了一實際的兩自由度弱非線性耦合系統, 利用Lyapunov間接法及Lyapunov直接法判斷其奇點的穩(wěn)定性, 對系統進行數值模擬, 畫出其龐加萊截面圖, 相圖及時域圖, 從而觀察相空間中系統的運動軌跡.

1 二自由度弱非線性耦合系統的構造及其微分方程

力學系統由兩個質量為m的質點被三根彈簧以及墻體連接起來, 如圖1所示, 其中k1=k3=k, 中間耦合彈簧的勁度系數k2與其伸縮量(x2-x1)存在弱非線性關系, 即

(1)

其中0<ε?1,x1, x2分別表示兩質點相對其平衡位置的位移, 忽略阻力, 則系統的勢能為

(2)

系統的Lagrange函數為

(3)

系統的運動微分方程為[21]

(4)

圖1 二自由度弱非線性耦合系統

2 系統的奇點及穩(wěn)定性

(5)

系統(5)在奇點(0,0,0,0)處的線性化系統為

(6)

解得其特征根為

λ1,2=±2iω,λ3,4=±iω

(7)

由(7)知方程有4個純虛根, 此時奇點(0,0,0,0)為系統的橢圓點, 知線性化方程(6)的奇點是穩(wěn)定的, 此時不能判斷原系統(5)奇點的穩(wěn)定性.

取系統(5)的總能作為Lyapunov函數

(8)

則

(9)

解得其特征值為

λ1,2=±2ω,λ3,4=±iω

(10)

由(10)知方程有一個正的實根、一個負的實根和一對共軛純虛根, 此時奇點為系統的一類鞍點, 線性系統(9)的奇點是不穩(wěn)定的, 原系統(5)的奇點也是不穩(wěn)定的.

3 相空間中的軌跡

若初始速度方向相同, 即x3x4>0.圖2為E=10(圖2(a))和E=25(圖2(b))時系統的龐加萊截面圖, 可以看出每個圖都有很多截點所構成的閉曲線, 這些閉曲線稱為KAM環(huán), 這表示系統在相空間中做準周期運動.隨著E的增加, 截面的體積隨著增大, KAM環(huán)發(fā)生形變但沒有破裂, 直至增大到其臨界值曲面直接破裂, 相軌跡出現逃逸現象.

圖2 E=10、25時的龐加萊截面圖

圖3和圖4為x3=0.3693、x4=4.4569時相軌跡在x1x2(圖3(a))、x1x3(圖3(b))和x2x4(圖3(c))面上的投影及時域圖t-x1、t-x2(圖4), 由圖3可以看出軌線不是封閉曲線, 較長時間后軌線集中在一封閉帶中, 這表示兩質點同樣做準周期運動.

圖3 相軌跡在三個平面上的投影

圖4 t-x1、t-x2曲線

若初始速度方向不同, 即x3x4<0.圖5為E=10(圖5(a))和E=25(圖5(b))時系統的龐加萊截面圖, 圖像比較復雜, 截面圖由三種KAM環(huán)(圖6)組成, 系統在相空間中做準周期運動.隨著E的增加, 截面的體積隨著增大, KAM環(huán)發(fā)生形變但沒有破裂, 直至增大到其臨界值曲面直接破裂, 相軌跡出現逃逸現象.

圖5 E=10、25時的龐加萊截面圖

圖6 KAM環(huán)

圖7 相軌跡在三個平面上的投影

圖8 t-x1、t-x2曲線

圖7和圖8為x3=1.4521、x4=-4.2298時相軌跡在x1x2(圖7(a))、x1x3(圖7(b))和x2x4(圖7(c))面上的投影及時域圖t-x1、t-x2(圖8).

4 結 論

本文利用變勁度系數彈簧構造了一實際的二自由度弱非線性耦合系統; 用Lyapunov間接法及Lyapunov直接法判斷系統奇點的穩(wěn)定性, 得到系統有一個穩(wěn)定的橢圓點和一個鞍點; 利用數值計算, 通過圖像研究定性地認識了系統在相空間中的運動, 取初始位移為零, 初始速度方向相同與初始速度方向相反, 得到的龐加萊截面圖不同, 但系統都是在做準周期運動, 當總能達到一定值時, 相軌跡發(fā)生逃逸現象; 分別取x3=0.3693、x4=4.4569及x3=1.4521、x4=-4.2298, 觀察其相軌跡在平面上的投影以及時域圖同樣可以發(fā)現系統做準周期運動.

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[責任編輯：徐明忠]

Dynamic behavior of the weak nonlinear coupled two-dimensional anisotropic harmonic oscillator

ZHANG Ye1, CHEN Xiangwei2

(1.School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China;2.Department of Electrical and Electronic Engineering, Shangqiu Normal University, Shangqiu 476000, China)

The dynamic behavior of weak nonlinear coupled two-dimensional system is studied.Firstly, a weak nonlinear coupled two-dimensional system is constructed by using coupling spring, Lagrange function and the differential equations of this system are established; then, the singular points for the system are obtained and their stability are judged by using the Lyapunov method; finally, the trajectories in phase space of the system are studied by numerical simulation and plotting the Poincare surface of section, phase diagram and time-series diagram.

the weak nonlinear coupled two-dimensional system; the singular point; Poincare surface of section; phase diagram

2016-11-20

國家自然科學基金資助項目(11372169)

張曄(1992—)，女，河北石家莊人，蘇州科技大學碩士研究生，主要從事力學中的數學方法研究.

陳向煒(1967—)，男，河南汝南人，商丘師范學院教授，博士，碩士生導師，主要從事非線性動力學研究.

O316

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1672-3600(2017)03-0020-06