王燕茹 王凱凱

江南大學(xué)商學(xué)院

基于Markov模型麻醉機生產(chǎn)線相鄰工位最佳看板數(shù)量研究

王燕茹 王凱凱

江南大學(xué)商學(xué)院

利用馬爾科夫（Markov）模型求解單級生產(chǎn)系統(tǒng)相鄰工位之間的最佳看板，并依據(jù)生產(chǎn)過程中最小總期望成本來約束使用的看板數(shù)量。通過確定最佳看板數(shù)量，目的是為了促使生產(chǎn)過程按照看板數(shù)量有序生產(chǎn)，減少生產(chǎn)過程中不必要的成本浪費。文中證明馬爾科夫模型在確定生產(chǎn)看板數(shù)量方面有良好的學(xué)術(shù)效果和實踐意義。

馬爾科夫模型 相鄰工位 總期望成本

一、緒論

（一）研究的意義

看板管理，是指為了達到JIT準(zhǔn)時生產(chǎn)方式而嚴(yán)格控制生產(chǎn)流程的工具?？窗迨且环N工廠內(nèi)部推動生產(chǎn)運作的信息流。針對于工廠內(nèi)部物料流而言，工廠內(nèi)部的物料流是指工廠內(nèi)部用于生產(chǎn)從倉儲配料至生產(chǎn)到完成客戶最終需求產(chǎn)品的整個物料流動過程。物料流和信息流是相輔相成的兩個過程。

但是基于看板管理的生產(chǎn)過程中，信息流與物料流的流動方向正好相反，它是建立在生產(chǎn)物料流的前提下，逆向從最末道工序開始向前拉動一步步直到開始端，進而推動完成物料在工廠里流動的全過程。因而整個循環(huán)過程，就是看板系統(tǒng)的運作過程。確定看板卡最佳使用數(shù)量，通過求得生產(chǎn)過程中消耗的總成本，對于降低生產(chǎn)過程中不必要的成本費用具有重要意義。

（二）國內(nèi)外研究動態(tài)

關(guān)于最佳看板數(shù)量的研究，國內(nèi)外專家學(xué)者都有相關(guān)方面的文獻。比如，國內(nèi)學(xué)者林勇、樂曉娟等（2006年）引用CONWIP混合生產(chǎn)控制方法通過生產(chǎn)線看板總數(shù)調(diào)節(jié)在制品總量。

國外一些學(xué)者如Rees（1987）提出一套流程，目的是為能夠在相對不穩(wěn)定的環(huán)境下動態(tài)地調(diào)整生產(chǎn)過程中的看板數(shù)量；Bitran和Chang（1987）研究出一種應(yīng)用于確定的、多級的、具有裝配樹結(jié)構(gòu)的生產(chǎn)環(huán)境的一種看板系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；Askin（1993）提出一種求解最佳看板的隨機模型，應(yīng)用于同時生產(chǎn)多產(chǎn)品類型的生產(chǎn)線中；Karmarkar和Kekre（1989）使用不同的單—雙看板研究生產(chǎn)提前期的批次效果；Pan和Liao（1989）,Yilmaz（1992）研究出一種應(yīng)用于兩級生產(chǎn)系統(tǒng)中關(guān)于最佳的訂單和生產(chǎn)數(shù)量模型；Siha（1994）使用時間連續(xù)的馬爾科夫鏈為拉式生產(chǎn)建立數(shù)學(xué)模型。

二、相關(guān)理論基礎(chǔ)

假定工位A和工位B是處于N級生產(chǎn)線中間連續(xù)相鄰的操作工位，且生產(chǎn)線的物料流是從A向B。最初，B從A獲取生產(chǎn)所需的原物料，A會將B所需物料通過看板周轉(zhuǎn)箱的方式傳送給B，待產(chǎn)品組裝完成時，A發(fā)送配料請求給前一工位申請分配所需物料，B會通過回執(zhí)空周轉(zhuǎn)箱給A，發(fā)送物料領(lǐng)取要求。A得到指令后傳送給B來執(zhí)行此請求。

將排隊理論應(yīng)用在生產(chǎn)線中，對于看板系統(tǒng)的工位A，假定物料以固定的生產(chǎn)節(jié)拍在A進行生產(chǎn)然后以固定的需求節(jié)拍傳送給B。且在拉式生產(chǎn)中，A傳送物料只能按照B的需求節(jié)拍傳送。因此，在生產(chǎn)線B的需求節(jié)拍等同于排隊理論的服務(wù)節(jié)拍。類似地，生產(chǎn)節(jié)拍等同于顧客到達節(jié)拍。

在建立數(shù)學(xué)模型之前需要對相關(guān)的參數(shù)進行假設(shè)：

三、建立模型及分析

（一）建立馬爾科夫數(shù)學(xué)模型

（5）

（二）看板系統(tǒng)總期望成本

為了求得最佳看板使用數(shù)量，通過計算看板系統(tǒng)中總期望成本的最小值?？偲谕杀局饕蓛刹糠纸M成：一部分是缺料成本另一部分是維持成本，用表示。因此，總期望成本寫成如下表達式：

首先，假設(shè)相鄰兩個工位A和B之間只是存在一個看板在流通，那么只會存在兩種狀態(tài)轉(zhuǎn)移的情況。所以這種情況下的看板系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣可以寫成如下形式：

那么對應(yīng)的馬爾科夫差分方程的系數(shù)矩陣應(yīng)該是

因此，相鄰工位只有一個看板流通的系統(tǒng)的定態(tài)方程式，可以根據(jù)（5）（8）求得的值。

同理，如果在相鄰兩個工位之間存在兩個看板進行流通，那么這兩個周轉(zhuǎn)箱會存在三種狀態(tài)，在一個中間階段以此類推，矩陣和可以寫成以下：

所以含有兩個看板流通的系統(tǒng)的定態(tài)等式可得：

由以上三種不同看板數(shù)量的總期望成本表達式可以歸納，總期望成本會服從某一規(guī)律。根據(jù)歸納法，當(dāng)相鄰兩工位之間存在個看板流通時可以寫成如下表達式

然后將這三個公式代入（18）（19）并簡化，得到以下不等式：

四、實例求證

在本小節(jié)中，將上述所建立的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到麻醉機生產(chǎn)線中，根據(jù)麻醉機生產(chǎn)線中各個工位的實際生產(chǎn)節(jié)拍和需求節(jié)拍缺料造成的損失成本以及看板周轉(zhuǎn)箱的維持成本等得到的真實數(shù)據(jù)，求解生產(chǎn)線的最佳看板。

根據(jù)實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)，麻醉機生產(chǎn)線的工藝流程基本要經(jīng)過多次組裝、機架裝配、電氣功能測試、高壓低壓測試、最終裝配、機器包裝等工藝流程。如下圖1所示：

圖1 麻醉機生產(chǎn)線基本工藝流程圖

根據(jù)生產(chǎn)線的實際要求，經(jīng)過多次反復(fù)測試和平均時間計算，參數(shù)生產(chǎn)節(jié)拍（生產(chǎn)一套所需時間）、需求節(jié)拍（需求一套所需時間）、缺料成本（生產(chǎn)缺料損失）以及周轉(zhuǎn)箱維持成本基本參數(shù)如下：

那么根據(jù)實際提供的參數(shù)，可以計算相鄰工位之間的最佳看板數(shù)量依據(jù)之前因此代入?yún)?shù)求得總期望成本如下：

并將參數(shù)代入（23）兩個不等式中得

五、結(jié)論

利用馬爾科夫（Markov）模型簡單、初步地求解生產(chǎn)看板中的最優(yōu)過程，通過使生產(chǎn)過程中總期望成本最小化來獲得最佳看板數(shù)量。文章中以二級系統(tǒng)為例，考慮生產(chǎn)線中只有兩個裝配工位的過程，并對相關(guān)參數(shù)進行實際調(diào)查和統(tǒng)計，以及某些參數(shù)由于影響因素較小而忽略不計。但是，實際的生產(chǎn)過程中考慮參數(shù)更多，裝配工位更加復(fù)雜，因此對以后將該模型擴展到更加復(fù)雜的影響因子、多級系統(tǒng)的生產(chǎn)流程中提供基礎(chǔ)理論和參考依據(jù)。

[1]林勇,樂曉娟,付秋芳.Push/Pull和CONWIP/Pull生產(chǎn)控制模式對比分析 [J].工業(yè)工程，2006,9（2）:6-10.

[2]Rees,L.P., Philipoom,P.R., Taylor, B.W.I, and Huang, P.Y., Dynamically adjusting the number of Kanbans in a Just-in-time production system using estimated values in leadtime [J].IIE Transitions,1987,19,199-207.

[3]Bitran, G.R., and Chang,L., A mathematical programming approach to a dererministic Kanban system [J].Management science,1987,33,427-441.

[4]Askin,R.G.,Miteasi,M.G.,and Golderc,J.B., Determining the number of Kanbans in multi-item Just-in-time systems [J].IIE Transitions,1993,25,89-98.

[5]Karmarkar,U.S.,and Teyre,S., Batching policy in Kanban systems [J].Journal of Manufaturing systems,1989,8,317-328.

[6]Pan,A.C., and Liao,C.J., An inventory model under Justin-time purchasing agreements, [J].Production and Inventory Management,1989,30,49-52.

[7]Siha,S., The pull production system:modelling and characteristics,[J].International Journal of Production Research,1994,32,933-949.

[8]VIJAY S. NORI, BHABA R SARKER. Optimum numBer of Kanbans Between two adjacent stations [J]. Production Planning&Control,1998,9（1）:60-65.

王燕茹（1960.12-），女，內(nèi)蒙古呼和浩特人，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域：營銷管理、旅游管理等；王凱凱（1991.11-），男，山東省濰坊市人，碩士研究生，主要研究方向：生產(chǎn)企業(yè)物流的管理與運作。

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目（JUSRP1601XNC）。