王永靜

【摘要】文章給出了stolz定理在解決一些特殊極限中的應(yīng)用以及在使用過程中的一點注意事項.

【關(guān)鍵詞】待定型數(shù)列極限；stolz定理

極限問題是高等數(shù)學中常見的問題，其中類似于無窮大比無窮大，無窮小比無窮小或者是無窮大與無窮小的乘積等，它們的極限是待定的.討論待定型數(shù)列的極限，往往并不容易，需要根據(jù)具體情況進行討論.而在單調(diào)數(shù)列的場合下，stolz定理為求解一些待定型極限帶來了極大的方便.

定義 如果數(shù)列{xn}滿足

xn≤xn+1，n=1，2，…，則稱{xn}為單調(diào)遞增的數(shù)列，

若xn

stolz定理 設(shè){yn}單調(diào)遞增的正無窮大量，且limn→∞xn-xn-1yn-yn-1=a（a為有限量，+∞，-∞），則有l(wèi)imn→∞xnyn=a.

下面給出stolz定理在一些待定型極限中的應(yīng)用：

例1 利用stolz定理，證明：limn→∞nkan=0.

證明 limn→∞nkan=limn→∞nk-（n-1）kan-an-1=limn→∞Pk-1（n）an-1（a-1），

其中Pk-1（n）為關(guān)于n的k-1次多項式；重復(fù)上述過程即可得到

limn→∞nkan=limn→∞Pk-1（n）an-1（a-1）=limn→∞Pk-2（n）an-2（a-1）2=…=limn→∞P0（n）an-k（a-1）k=0.

例2 設(shè)0<λ<1，limn→∞an=α，證明limn→∞（an+λan-1+λ2an-2+…+λna0）=α1-λ.

證明 令k=λ-1，則有：

an+λan-1+λ2an-2+…+λna0=knan+kn-1an-1+kn-2an-2+…+a0kn.

利用stolz定理，

limn→∞（an+λan-1+λ2an-2+…+λna0）=limn→∞knan+kn-1an-1+kn-2an-2+…+a0kn=limn→∞knankn-1（k-1）=α1-λ.

例3 求極限limn→∞∑nk=1k！n！.

方法一

∑nk=1k！=1！+2！+3！+…+（n-2）！+（n-1）！+n！≤（n-2）！+（n-2）！+…+（n-2）！+（n-1）！+n！=（n-2）（n-2）！+（n-1）！+n！<2（n-1）！+n！因此有，1=n！n！<∑nk=1k！n！<2（n-1）！+n！n！，

而limn→∞2（n-1）！+n！n！=1，利用夾逼定理可知，limn→∞∑nk=1k！n！=1.

然而本題利用stolz定理求解更為簡單.

方法二

不妨設(shè)xn=∑nk=1k！，yn=n！，顯然{yn}單調(diào)遞增并且yn→+∞，

limn→∞xn-xn-1yn-yn-1=limn→∞n！n！-（n-1）！=limn→∞nn-1=1.

例4 設(shè)∈R，求極限limn→∞∑nk=1k+1n∑nk=1k.

解 不妨設(shè)xn=∑nk=1k+1，yn=n∑nk=1k，顯然yn=n∑nk=1k→+∞.

limn→∞xnyn=limn→∞（n+1）+1n∑nk=1k+（n+1）+1.

當≤-1時，limn→∞xnyn=0，

當>-1時，limn→∞xnyn=limn→∞（n+1）+1n∑nk=1k+（n+1）+1

=limn→∞1nn+1+1·1nn∑nk=1kn+1=1∫10xdx+1=+1+2.

由以上例題充分說明了stolz定理在求解一些特殊的待定型極限中有很好的應(yīng)用，然而在實際應(yīng)用中，stolz定理有嚴格的要求.在定理中l(wèi)imn→∞xn-xn-1yn-yn-1必須是有限量，+∞或 -∞，否則定理將失效.

limn→∞xn-xn-1yn-yn-1=∞，能否利用stolz定理得出limn→∞xnyn=∞的結(jié)論？

答案是不能，若xn=（-1）nn，yn=n，則有l(wèi)imn→∞xn-xn-1yn-yn-1=limn→∞（-1）n（2n-1）=∞，

但是limn→∞xnyn=limn→∞（-1）n，極限不存在.

同樣的，若limn→∞xn-xn-1yn-yn-1不存在，同樣不能得出limn→∞xnyn不存在.

不妨設(shè)xn=1-2+3-4+…+（-1）n-1n，yn=n2，

顯然有l(wèi)imn→∞xn-xn-1yn-yn-1=limn→∞（-1）n-1n2n-1，極限不存在，但是limn→∞xnyn=0.

因此limn→∞xn-xn-1yn-yn-1=a（a為有限量，+∞，-∞）是limn→∞xnyn=a的充分不必要條件，在實際應(yīng)用時要特別注意.

【參考文獻】

[1]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2]陳紀修，於崇華.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，1999.