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        從Zygmund型空間到Bloch-Orlicz空間上的Volterra型算子的有界性和緊性

        2017-01-17 00:46:08王澤燈徐輝明
        關(guān)鍵詞:緊性充分性有界

        王澤燈,徐輝明

        (浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

        從Zygmund型空間到Bloch-Orlicz空間上的Volterra型算子的有界性和緊性

        王澤燈,徐輝明*

        (浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

        利用分析和構(gòu)造檢驗(yàn)函數(shù)的方法,研究了從Zygmund型空間到Bloch-Orlicz空間上的Volterra型算子的有界性和緊性,并得到了Volterra型算子是從Zygmund型空間到Bloch-Orlicz空間上的有界算子、緊算子的充要條件。

        Zygmund型空間; Bloch-Orlicz空間; Volterra型算子; 有界性; 緊性

        設(shè)0<α<∞,定義Zygmund型空間(記作Zα)如下:

        不難驗(yàn)證,‖f‖Ψ是BΨ的半范數(shù),‖f‖BΨ:=|f(0)|+‖f‖Ψ是BΨ的范數(shù),且在該范數(shù)下,BΨ是Banach空間。

        設(shè)g∈H(D),定義H(D)上的Volterra積分型算子Ig和Jg如下:

        Igf(z):=∫f'(ζ)g(ζ)dζ,z∈D;

        Jgf(z):∫f'(ζ)g'(ζ)dζ,z∈D。

        目前,關(guān)于Volterra積分型算子Ig和Jg的研究已經(jīng)取得了豐富的成果,例如在文獻(xiàn)[2]中研究了Zygmund空間中算子Ig和Jg的有界性和緊性,并得到了在Zygmund空間中Ig和Jg是有界算子和緊算子的充要條件。

        本文研究算子Ig(Jg):Zα→BΨ的有界性和緊性。

        1 預(yù)備引理

        我們需要下面的幾個(gè)引理。

        引理1[3]設(shè)f∈Zα,α>0,那么以下命題成立:

        在本文中字母C和L均代表正的常數(shù),在不同的地方代表的值可能不同。

        2 算子Ig的研究

        對(duì)于算子Ig:Zα→BΨ的有界性和緊性,有以下結(jié)論。

        定理1 設(shè)0<α<∞,g∈H(D),則

        (i)當(dāng)0<α<1時(shí),算子Ig:Zα→BΨ有界當(dāng)且僅當(dāng)

        (ii) 算子Ig:Z→BΨ有界當(dāng)且僅當(dāng)

        (iii) 當(dāng)α>1時(shí),算子Ig:Zα→BΨ有界當(dāng)且僅當(dāng)

        證明必要性

        假設(shè)算子Ig:Zα→BΨ有界

        (i) 當(dāng)0<α<1時(shí),取函數(shù)f(z)=z,z∈D.顯然‖f‖zα=1

        充分性

        所以‖Igf‖Ψ≤C‖f‖zα,進(jìn)而‖Igf‖BΨ≤C‖f‖zα,

        即算子Ig:Zα→BΨ有界

        (ii)和(iii)的證明與(i)類(lèi)似

        定理2 設(shè)0<α<∞,g∈H(D),算子Ig:Zα→BΨ是有界算子,則

        (i) 當(dāng)0<α<1時(shí),Ig是緊算子;

        證明

        (i)設(shè)0<α<1,在Zα中任取在D上內(nèi)閉一致收斂于0的有界函數(shù)列{fn},

        則由Ig的有界性和定理1得

        (ii)的必要性

        設(shè)Ig:Z→BΨ是緊算子,{zn}為D中任意滿(mǎn)足條件zn→1(n→∞)的序列,

        (iii)的必要性

        (ii)的充分性

        令K={z∈D:|z|≤δ},根據(jù)引理1得

        由引理2知算子Ig:Z→BΨ是緊算子.

        (iii)的充分性

        在Zα中任取在上D內(nèi)閉一致收斂于0的有界函數(shù)列{fn},

        類(lèi)似于上面的證明過(guò)程,結(jié)合定理1和引理1可得

        3 算子Jg的研究

        對(duì)于算子Jg:Zα→BΨ的有界性和緊性,有以下結(jié)論。

        定理3設(shè)0<α<∞,g∈H(D),則

        (i) 當(dāng)0<α<2時(shí),算子Jg:Zα→BΨ有界當(dāng)且僅當(dāng)

        (ii) 算子Jg:Z2→BΨ有界當(dāng)且僅當(dāng)

        (iii) 當(dāng)α>2時(shí),算子Jg:Zα→BΨ有界當(dāng)且僅當(dāng)

        證明 必要性

        (i) 設(shè)當(dāng)0<α<2時(shí),算子Jg:Zα→BΨ有界

        取函數(shù)f(z)=1,顯然‖f‖Zα=1

        故存在常數(shù)C>0,使得

        (ii) 設(shè)算子Jg:Z2→B有界對(duì)于任意固定的a∈D,作函數(shù)

        易知sa∈Z2由Jg的有界性,存在常數(shù)C>0,使得‖Jgsa‖BΨ≤C,

        (iii) 設(shè)α>2,算子Jg:Zα→BΨ有界對(duì)于任意固定的a∈D,作函數(shù)

        易知Pa∈Zα,類(lèi)似于(ii)的證明可得

        充分性

        (i)設(shè)0<α<2,由引理1知,存在常數(shù)C(α)>0,對(duì)任意f∈Za{0}有

        |f(z)|≤C(α)‖f‖za

        取常數(shù)C≥K4C(α),則有

        所以‖Jgf‖Ψ≤C‖f‖zα

        進(jìn)而,‖Jgf‖BΨ≤C‖f‖zα

        因此算子Jg:Zα→BΨ有界

        利用引理1,類(lèi)似于上面的方法可以證明(ii)和(iii)的充分性

        對(duì)于算子Jg:Zα→BΨ的緊性,我們有

        定理4設(shè)0

        (i) 當(dāng)0

        證明

        類(lèi)似于定理2的證明,

        當(dāng)α=2時(shí),取函數(shù)列

        [1]RAMOS-FERNANDEZ J C. Composition operators on Bloch-Orlicz type spaces[J]. Applied Mathematics and Computation, 2010, 217(7): 3392-3402.

        [2]LI Song-xiao, STEVIC S. Volterra-Type operators on Zygmund spaces[J]. Journal of Inequalities and Applications, 2007(1): 30C80.

        [3]LI Hai-ying, GUO Zhi-tao. On a product-type operator from Zygmund-type spaces to Bloch-Orlicz spaces[J]. Journal of Inequalities and Applications, 2015(1): 37-51.

        [4]COWEN C C, MACCLUER B D. Composition operators on spaces of analytic functions[M]. boca roton: crc press, 1995.

        [5]STEVIC S. On an Integral-Type operator from Zygmund-Type spaces to Mixed-Norm spaces on the unit ball[J]. Abstract and Applied Analysis, 2010, 215(11): 3817-3823.

        [6]LI Song-xiao, STEVIC S. On an integral-type operator from omega-Bloch spaces to mu-Zygmund spaces[J]. Applied Mathematics and Computation, 2010, 215(12): 4385-4391.

        [7]STEVIC S. On new Bloch-type spaces[J]. Applied Mathematics and Computation, 2009, 215(2): 841-849.

        [8]ZHU Xiang-ling. Generalized weighted composition operators on Bloch-type spaces[J]. Journal of Inequalities and Applications, 2015(1): 107-119.

        [9]JIANG Zhi-jie. On Stevic-Sharma operator from the Zygmund space to the Bloch-Orlicz space[J]. Advances in Difference Equations, 2015(1): 1-16.

        [10]JIAN M, RUAN J-c. The cauchy integral operator on weighted hardy space[J]. 數(shù)學(xué)年刊B輯(英文版), 2010, 31(4): 461-472.

        (責(zé)任編輯:馬世堂)

        The Boundedness and Compactness of Volterra-type Operatorsfrom the Zygmund-type Spaces to the Bloch-Orlicz Spaces

        WANG Ze-deng,XU Hui-ming*

        (Mathematics and Information Engineering College,Zhejiang Normal University, Jinhua 321004, China)

        By using analysis methods and constructing test functions, the boundedness and compactness of the Volterra-type operators from the Zygmund-type spaces to the Bloch-Orlicz spaces are investigated. Then the sufficient and necessary conditons of boundedness and compactness of the Volterra-type operators are obtained.

        Zygmund-type spaces; Bloch-Orlicz spaces; Volterra-type operators; Boundedness; Compactness

        2016-01-06

        國(guó)家自然科學(xué)基金(11271124,11271332); 浙江省自然科學(xué)基金(LY14A010013,LY16A010004)。

        王澤燈(1992-),男,浙江省義烏市人,在讀碩士研究生,主要從事函數(shù)空間及其算子理論研究。*通訊作者:徐輝明,教授,E-mail: xhm@zjnu.cn。

        O174.56, O177.2

        A

        1673-8772(2016)06-0064-07

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