柳彥軍

(重慶第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程系，重慶 400067)

Lebesgue積分變量替換和分部積分的應(yīng)用

柳彥軍

(重慶第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程系，重慶 400067)

通過(guò)Lebesgue積分變量替換和分部積分，得到了一些相關(guān)結(jié)論，并給出了一些具體的應(yīng)用實(shí)例.

勒貝格積分；變量替換；分部積分

0 引 言

與黎曼積分類似，勒貝格積分也可以進(jìn)行變量替換和分部積分，需要在一定的條件下進(jìn)行[1].但目前勒貝格積分變量替換和分部積分的文獻(xiàn)很少，本文的創(chuàng)新之處在于，給出了勒貝格積分變量替換和分部積分的應(yīng)用，通過(guò)典型的實(shí)例說(shuō)明勒貝格積分在應(yīng)用方面的優(yōu)勢(shì)，一方面，這是積分理論的深化，另一方面，這些內(nèi)容在實(shí)變函數(shù)的教學(xué)改革中有重要意義.

1 勒貝格積分的變量替換和分部積分

另一方面，

當(dāng)x→0時(shí)極限不存在,所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)[2],但有如下重要定理：

定理2[4](勒貝格積分的變量替換) 設(shè)f(x)在[a,b]上L可積，φ(t)是在[α,β]上嚴(yán)格單調(diào)遞增的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，且φ(α)=a，φ(β)=b，則f(φ(t))φ′(t)作為t的函數(shù)在[α,β]上L可積，且

定理3[4](勒貝格積分的分部積分法) 若f(x)和g(x)都在[a,b]上絕對(duì)連續(xù)，則

2 勒貝格積分變量替換與分部積分的應(yīng)用

通過(guò)前面得出了在絕對(duì)連續(xù)的條件下勒貝格積分能進(jìn)行變量替換與分部積分[5]，下面通過(guò)一些實(shí)例說(shuō)明其運(yùn)用.

2.1 勒貝格積分變量替換的應(yīng)用

例1 設(shè)f在[a,b]上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，若有f([a,b])=[c,d]，證明：對(duì)[a,b]中的波雷爾集，必有

證明對(duì)任一區(qū)間[p,q]?[c,d]，記r=f-1(p)，s=f-1(q)，則

因?yàn)閒′∈[a,b]，故命題得證.

2.2 勒貝格分部積分的應(yīng)用

證明令

且有

所以得到

現(xiàn)在，根據(jù)多項(xiàng)式一致逼近連續(xù)函數(shù)的定理，可知對(duì)任意的ε>0，存在多項(xiàng)式P(x)，使得

注意到

有

從而可知

由ε的任意性可得F(x)≡0，于是得f(x)=0.

例3 討論函數(shù)

當(dāng)β>0時(shí)的絕對(duì)連續(xù)性.

又

所以，當(dāng)α≤β時(shí)，f(x)在[0,1]不是絕對(duì)連續(xù)函數(shù).

事實(shí)上，

3 結(jié)論與認(rèn)識(shí)

為了使定積分的計(jì)算更簡(jiǎn)單，本文通過(guò)黎曼積分引入勒貝格積分的變量替換和分部積分，并詳細(xì)論述其應(yīng)用，擴(kuò)大勒貝格積分的使用范圍，彌補(bǔ)黎曼積分在計(jì)算上的一些不足．

[1]夏道行，吳卓人，嚴(yán)紹宗，等．實(shí)變函數(shù)論與泛函分析：上冊(cè)(2)[M]．北京：高等教育出版社，2010：169-170．

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析：3[M]．北京：高等教育出版社，2001：89-90．

[3]周明強(qiáng)．實(shí)變函數(shù)論[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2014：195-200．

[4]程其襄，張奠宙，魏國(guó)強(qiáng)，等．實(shí)變函數(shù)論與泛函分析基礎(chǔ)：3[M]．北京：高等教育出版社，2010：162-168．

[5]孫雨雷，馮君淑．實(shí)變函數(shù)論與泛函分析習(xí)題全解:上[M]．北京：中國(guó)水利水電出版社，2011：87-88．

Application of Lebesgue Integral Variable Substitution and Integration by Parts

LIU Yanjun

(Departmentofmathematicsandinformationengineering，ChongqingUniversityofEducation，Chongqing400067,China)

Through the Lebesgue integral variable substitution and integration by parts,some relevant conclusions are derived,and some specific examples of application is presented.

Lebesgue integral; variable substitution; integration by parts

2016-09-01

重慶第二師范學(xué)院校級(jí)青年項(xiàng)目(KY201548C)

柳彥軍(1988—),男，甘肅莊浪人，重慶第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程系講師．

10.3969/j.issn.1007-0834.2016.04.015

G642.0；O174.1

1007-0834(2016)04-0061-03