劉 博，張景旭，王富國，劉祥意

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2 m SiC主鏡Kinematic側支撐方法設計與優(yōu)化

劉 博1,2，張景旭1，王富國1，劉祥意1

( 1. 中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春 130033；2. 中國科學院大學，北京 100049 )

基于運動學原理的支撐結構在大口徑望遠鏡的底支撐中早已得到廣泛運用，但是在主鏡側支撐中的應用還不成熟。本文首先解釋了一種基于運動學原理的側支撐結構的特點，然后針對一個直徑2.04 m的主鏡, 使用有限元軟件ANSYS中的參數化設計語言進行了具體的結構設計與分析。接著以主鏡在光軸豎直狀態(tài)下的鏡面面形誤差的均方根值(RMS)為目標函數，采用模擬退火算法，對支撐結構中各支撐桿的支撐反力進行了優(yōu)化。最后得到的鏡面變形的RMS值為16.67 nm。計算不同俯仰角下的鏡面變形，均達到了RMS小于/30的技術要求。

運動學；側支撐；大口徑主鏡

0 引 言

為了滿足探索更遙遠的宇宙空間奧秘的需要，人們希望將天文光學望遠鏡的口徑越造越大，以得到更強的集光能力和更高的分辨能力[1]。對于傳統(tǒng)的望遠鏡而言，主鏡的變形往往對軸向支撐更為敏感，但是隨著大口徑反射鏡徑厚比的增大，以及凹面鏡、彎月鏡的應用，側向支撐的設計也變得越來越重要了。

常見的側支撐方法有杠桿平衡重支撐、液壓/氣動支撐、水銀帶支撐等。杠桿平衡重支撐效果穩(wěn)定，對溫度的適應性好，但是這種方法不僅會額外的增加主鏡室的重量，還會大大降低系統(tǒng)的諧振頻率[2]。液壓/氣動支撐采用液壓(或氣壓)元件代替機械部件對鏡子進行側支撐，可以消除由摩擦產生的一些問題，但是在俯仰角變化時需要對支撐點壓力進行調節(jié)控制[3]，液壓/氣壓元件對密封性的要求也會一定程度上降低系統(tǒng)穩(wěn)定性。水銀帶支撐是將一個圓環(huán)形的、填充有水銀的管子放置在反射鏡側面和剛性的圓柱筒壁之間，產生一個近似于“理想”安裝的力場，但是這種方法的支撐效果受水銀管的不規(guī)則度影響較大，且只適合應用于比較好的環(huán)境中，水銀本身也對人的身體有危害[4]。此外還有六點切向柔性側支撐[5]和推-拉-剪切側向支撐[6]等方式，它們都有各自的優(yōu)缺點。出于某2 m級望遠鏡制備的需要，本文在前人研究的基礎上提出了一種全新的、基于Kinematic原理的級聯(lián)側支撐結構。這種被動支撐結構有著支撐精度高，裝調簡單，對桿件精度要求較低，易于擴展與優(yōu)化等特點。以該2 m級主鏡為研究對象，分析了該結構的原理與特點，并以鏡面均方根值(RMS)值為目標函數，使用Isight整合了ANSYS與Matlab[7]，對支撐結構進行了優(yōu)化，證明了這種結構的合理性與可行性。

1 Kinematic原理在側支撐中的應用

Kinematic(運動學的)作為Dynamic的一個分支，是A.M.Ampere(1775-1836)在分析物體在外力作用下的自身運動性質時提出的概念。

一個Kinematic連接限制機械系統(tǒng)所有的六個自由度，而沒有任何一個強加的約束。相比于其他連接方式，Kinematic連接具有位置的重復性能力和對嚴重的機械扭曲或彎曲的自動調整能力[8-10]。

以光軸方向為向，當底支撐已經完美約束主鏡沿軸平移，繞軸旋轉，繞軸旋轉這三個自由度時，側支撐需要約束主鏡剩下的三個自由度。圖1為最經典的符合Kinematic原理的側支撐方式，由于側支撐與主鏡的接觸處使用柔性桿件，側支撐與主鏡的之間的運動副可等效為旋轉副。

此時，任意兩根桿與主鏡組成一個四連桿機構，在兩根桿的約束下，主鏡可繞瞬心轉動。當三個瞬心不重合時，主鏡在該平面上的三個自由度被完美約束。當主鏡為大口徑平凹鏡時，一組經典的Kinematic結構會產生可重復的、不可改正的、過大的波前像散誤差[11]，因此需要對該結構進行改造。改變支撐桿圍城的三角形的內切圓大小可有效減小產生的像散誤差，但是當三個瞬心交于一點，主鏡繞瞬心旋轉的自由度被放開，三個約束中有一個退化成為虛約束，需要再加一組定位桿抑制主鏡的旋轉，結構如圖2所示。

圖1 經典的符合Kinematic原理的3點側支撐概念圖

圖2 瞬心交于一點時的側支撐概念圖

使用Whiffletree級聯(lián)結構，可以在不增減約束個數的情況下增加支撐點的數目，從而減小各支撐點的應力。

2 側支撐方案的設計與優(yōu)化

2.1 主鏡模型

本文使用有限元軟件Ansys進行有限元分析，以某2 m級SiC輕量化平凹主鏡為研究對象進行側支撐方案的設計與優(yōu)化，鏡子的有限元模型如圖3所示。鏡子的直徑為2 040 mm，中間孔直徑320 mm，鏡子邊緣厚度為190 mm，在外圈有寬約為20 mm的壓邊。該模型采用SOLID186單元，使用105 776個單元精確模擬了鏡子包括輕量化蜂窩結構在內的各種主要特征。鏡子的光軸方向與系統(tǒng)坐標系的軸一致，鏡子的背部平面與系統(tǒng)坐標系下的平面重合。該2 m級望遠鏡采用表面均方根(RMS)作為主鏡面形的評價指標，要求RMS值優(yōu)于波長(=632.8 nm)的1/30。由于系統(tǒng)一階諧振過低會導致系統(tǒng)控制帶寬過窄，嚴重影響系統(tǒng)響應速度[12]，因此要求一階諧振頻率需高于15 Hz。

圖3 主鏡及底支撐模型

該主鏡的底支撐采用的是18點Whiffletree結構。18點分為內外兩圈，內圈6點，均布于直徑為783 mm的圓周上，外圈12點，均布于直徑為1 708 mm的圓周上。背部支撐桿通過剛性墊固接在鏡子背部，通過柔性關節(jié)實現(xiàn)對自由度的釋放，通過支撐桿自身的柔性實現(xiàn)與側支撐系統(tǒng)的解耦。底部支撐約束了主鏡沿向平移，繞軸轉動，繞軸轉動的三個自由度。支撐結構使用BEAM188單元，不同位置的桿件根據各自剛度的需要使用了不同的截面面型。

主鏡要求俯仰角范圍為0°~90°。當主鏡俯仰角為90°時，光軸垂直于水平面，鏡子重力完全由底支撐承擔，側支撐僅提供主鏡的位置約束；當主鏡俯仰角為0°時，光軸平行于水平面，鏡子重力完全由側支撐承擔，底支撐僅提供主鏡位置約束。側向支撐所引起的最大鏡面變形發(fā)生在望遠鏡指向地平方向的時候[13]，因此首先考慮重力沿鏡子徑向(軸負向)的情況。

2.2 側支撐支撐點位置的選擇

為保證足夠多的支撐點，側支撐在經典的三點Kinematic側支撐基礎上，通過增加Whiffletree級聯(lián)的方式使支撐點擴充至12個。當徑向力作用在水平反射鏡的中性表面上時，鏡子的像散畸變最小，因此所有的側向支撐點均位于鏡子中性面，距離背部平面85.579 mm的平面上。在設計支撐桿件時，首先用有限元軟件計算得到各約束點的支撐反力，再根據支撐反力的大小設計各旋轉副的位置，以完成支撐力的合理分配。

第一種支撐方案如圖4所示，3組Whiffletree結構彼此成120°角，12個支撐點圍繞鏡子外圓周等間距排列。

圖4 第1種側支撐方法示意圖

圖5 第1種支撐方法效果云圖

這種支撐方式結構簡單，對稱性好，但是由于上面兩組Whiffletree結構傾斜角度過大，在提供一定的方向的支撐力的同時，會各自在方向上附加更大的干擾力，從而導致較大的，無法修正的像散畸變。圖5表示了這種支撐下鏡面應變(圖5(a))與鏡面應力(圖5(b))。

在該支撐作用下，鏡面RMS值為134.46 nm，主要畸變?yōu)橄裆?。由圖5右可知，第一種支撐方法會給鏡面帶來不可忽視的分布較廣且不均勻的巨大應力，使得鏡面出現(xiàn)了極大的像散。為改善鏡面的應力分布，改變支撐點的位置，提出第二種支撐方法，如圖6所示，下方1~4號點位置不變，5~12號點改為等角間距22.5°，各支撐點位置關于平面對稱，支撐效果如圖7所示。其鏡面RMS為113.48 nm，主要畸變依然為像散。由圖7(b)可以看出，鏡面上的應力已經得到了極大的改善。由RMS的變化可知，鏡子表面變形量也有了一定程度的減小。

通過改變支撐點位置的方法雖然有效減小了鏡面上的應力，但是鏡面RMS值與像散過大，支撐效果并不理想?？疾旄鳁U支撐力時發(fā)現(xiàn)，上方兩組支撐桿件一共只承擔了主鏡一半的重量，卻各自帶來了主鏡重力大小的方向的干擾力。下方支撐桿件中壓力過大，上方桿件又帶來了較大的干擾力，共同導致了較大的鏡面變形與像散。

圖6 第2種側支撐方法示意圖

圖7 第2種支撐方法效果云圖

2.3 支撐方案優(yōu)化

為得到符合要求的鏡面RMS值與像散值，需針對各桿提供的支撐力進行優(yōu)化。影響支撐力的因素有三個，一是支撐點的位置，二是桿件的偏轉角度，三是各級杠桿中旋轉副的位置。支撐點的位置以桿件的偏轉角度共同決定了每一組支撐桿件中總的支撐力的大小與方向，旋轉副的位置則決定了每一個杠桿系統(tǒng)中杠桿兩端力的比例。由于鏡子結構較復雜，有限元單元較細密，改變支撐點位置十分困難，因此只針對桿件的偏轉角度與杠桿結構中旋轉副的位置進行優(yōu)化。由于像散值與鏡面RMS值往往成正相關關系，為節(jié)省優(yōu)化時間，目標函數選為計算相對簡單的RMS值。

三組桿件中共有9個杠桿結構，加上各自的偏轉角共有12個參數，考慮到支撐結構關于的對稱性，兩側桿件的偏轉角度以及旋轉副對應的位置應該一致，底部的旋轉副位于底部桿件的中心。優(yōu)化問題可以表示為

以第二種方法中的參數為起始點，在經過347次迭代后得到最優(yōu)值，優(yōu)化結果列于表1，為便于加工，將優(yōu)化值取整，精確到0.01。

最終RMS從起始點的113.48 nm優(yōu)化到了16.67 nm，對應的鏡面面形如圖9所示。計算其Zernike系數可知，主鏡的0°像散和45°像散僅為0.23 nm和0.16 nm，完全符合側支撐的技術要求。

圖8 優(yōu)化參數示意圖

圖9 優(yōu)化后鏡面變形云圖

表1 優(yōu)化結果

使用Ansys對該支撐下的主鏡進行模態(tài)分析，得到前六階模態(tài)，如表2。由表2可知，系統(tǒng)一階模態(tài)為39.51 Hz，滿足一階諧振頻率高于15 Hz的要求。

2.4 側支撐俯仰角分析

以上設計與優(yōu)化均是針對光軸水平，主鏡重力完全由側支撐提供的情況，但在實際使用中需要望遠鏡能在0°到90°的俯仰角范圍內都正常工作。通過改變有限元模型中的重力方向，模擬在當側支撐與底支撐共同作用時，主鏡在不同俯仰角狀態(tài)下的變形情況，分析結果如表3所示。

表2 系統(tǒng)前六階模態(tài)與振型

表3 不同俯仰角q下鏡面RMS值

3 結 論

本文基于Kinematic原理，針對某2 m級大口徑輕量化平凹鏡主鏡，提出了Whiffletree側支撐結構，利用有限元模型，分析了不同支撐點位置與支撐桿角度對支撐效果的影響，使用模擬退火算法對各支撐桿的支撐反力進行優(yōu)化，最終得到了一個達到面形精度要求的側支撐結構。主鏡在光軸水平狀態(tài)下RMS為16.67 nm，在不同的俯仰角下鏡面的面形均小于/30，系統(tǒng)一階諧振頻率為39.51 Hz，優(yōu)于15 Hz的設計指標，說明所設計的側支撐可以達到要求。該基于Kinematic原理的Whiffletree側支撐方法在今后的大口徑望遠鏡的側支撐方案的選擇上具有較高的指導意義。

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Design and Optimization of Kinematic Lateral Support on 2 m SiC Primary Mirror

LIU Bo1,2，ZHANG Jingxu1，WANG Fuguo1，LIU Xiangyi1

( 1. Changchun Institude of Optics, Fine Mechanics and Physics, Chinese Academy of Sciences, Changchun 130033, China;2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing100049, China )

The support structure based on kinematic principle had been wildly used in the axial support on large-diameter telescope. But it is not maturely applied in the lateral support system. A lateral support structure based on kinematic principle is explained. Based on a primary mirror with a diameter of 2.04 m, a support structure with more details was designed and analyzed by the ANSYS Parametric Design Language. Selected the Root Mean Square (RMS) of the primary mirror when the optical axis was vertical as the objective function, the support reaction was optimized by the simulated annealing algorithm. Final surface error RMS was 16.67 nm. Surface error with different obliquities were calculated, which meets the requirement that the RMS should be less than/3.

kinematic; lateral support; large-diameter primary mirror

1003-501X(2016)12-0046-06

TH751

A

10.3969/j.issn.1003-501X.2016.12.008

2016-06-19；

2016-07-13

國家自然科學基金項目(11403023)

劉博(1992-)，男(漢族)，湖北黃岡人。碩士研究生，主要研究工作是大口徑望遠鏡主鏡支撐結構設計。-mail: liubo2014@mails.ucas.ac.cn。