李長(zhǎng)洲，李海洋

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安710048)

含幺元的二維交換結(jié)合代數(shù)的分類

李長(zhǎng)洲，李海洋

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安710048)

為刻畫實(shí)數(shù)域R上的二維交換結(jié)合代數(shù)的結(jié)構(gòu), 給出了實(shí)數(shù)域R上含幺元的二維交換結(jié)合代數(shù)的分類, 證明了在同構(gòu)意義下實(shí)數(shù)域R上只有3類含幺元交換結(jié)合代數(shù),即在該結(jié)合代數(shù)上存在一組基底{e,u}, e是幺元, 滿足u2=u或u2=0或是復(fù)數(shù)域.

幺元；二維交換結(jié)合代數(shù); 同構(gòu)

0 引 言

代數(shù)學(xué)的一個(gè)中心問題是研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)在同構(gòu)意義下的分類[1-4], 一旦得出代數(shù)結(jié)構(gòu)的分類結(jié)果, 就可從中推出這個(gè)結(jié)構(gòu)所具有的性質(zhì)等, 而不必從這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)所滿足的公理來推導(dǎo)[5]. 早在凱萊提出矩陣代數(shù)時(shí)就已經(jīng)有人開始研究結(jié)合代數(shù)[6-9], 目的是刻畫各種結(jié)合代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示.低維結(jié)合代數(shù)[10-16]是研究者們廣泛關(guān)注的一個(gè)熱門課題.文獻(xiàn)[11]研究了有限維齊次單結(jié)合代數(shù), 證明了在代數(shù)閉域上的有限維的結(jié)合除環(huán)同構(gòu)于群代數(shù);文獻(xiàn)[12]研究了代數(shù)閉域K上的二維結(jié)合代數(shù)的分類,得出在該結(jié)合代數(shù)上存在一組基底{e,u}, 滿足u2=u或u2=0.

但文獻(xiàn)[12]的分類結(jié)果還不夠精細(xì),未區(qū)分出代數(shù)閉域K上的不同的二維結(jié)合代數(shù), 本文研究了實(shí)數(shù)域上含幺元的二維交換結(jié)合代數(shù)在同構(gòu)意義下的分類.證明了實(shí)數(shù)域上含幺元的二維交換結(jié)合代數(shù)在同構(gòu)意義下只有三類:在該結(jié)合代數(shù)上存在一組基底{e,u}, e是幺元, 滿足u2=u或u2=0或是復(fù)數(shù)域.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[7]設(shè)A是域K上的向量空間, 又在A上定義了一個(gè)乘法運(yùn)算, 稱A是域K上的結(jié)合代數(shù), 當(dāng)A滿足?α,β,γ∈A,k∈K,有

當(dāng)A中乘法運(yùn)算滿足交換律時(shí),即?α,β∈A時(shí)有αβ=βα，稱A是交換結(jié)合代數(shù).

當(dāng)存在元素e∈A,?α∈A,有eα=αe=α，稱e是A中的幺元,A是含幺元的結(jié)合代數(shù).

定義2[7]向量空間A的維數(shù)稱為域K上的結(jié)合代數(shù)A的維數(shù).

定義3[7]設(shè)A是域K上的含幺元e的結(jié)合代數(shù), 稱A是可除結(jié)合代數(shù), 當(dāng)A滿足?α∈A-{0},?β∈A，有αβ=βα=e.

定義5[7]設(shè)A1和A2是域K上的結(jié)合代數(shù), 稱A1同構(gòu)于A2, 記為A1?A2,如果存在一個(gè)從A1到A2的雙映φ, 滿足?k1,k2∈K,α,β∈A,則有

定義6[7]設(shè)A是域R上的含幺元e的二維交換結(jié)合代數(shù),e,u是A的一組基底, 則有

注 a,b的不同取值決定向量空間A上的不同的結(jié)合代數(shù).

為了證明本文的結(jié)論,需要如下引理.

引理1 設(shè)A1和A2是域K上的維數(shù)相同的有限維結(jié)合代數(shù), 則A1?A2當(dāng)且僅當(dāng)存在A1和A2的一組基底α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn,滿足A1對(duì)于α1,α2,…,αn的結(jié)構(gòu)常數(shù)和A2對(duì)于β1,β2,…,βn的結(jié)構(gòu)常數(shù)對(duì)應(yīng)相等.

證明 (必要性)當(dāng)f:A1→A2是一個(gè)結(jié)合代數(shù)同構(gòu),則設(shè)f(αi)=βj, i=1,2,…n, 由于f是結(jié)合代數(shù)同構(gòu)，則

故結(jié)論成立.

故結(jié)論成立.

引理2[8](弗羅貝尼烏斯定理)實(shí)數(shù)域上的有限維可除結(jié)合代數(shù)只有實(shí)數(shù)域, 復(fù)數(shù)域, 四元數(shù)代數(shù).

2 分類結(jié)果

定理1 設(shè)A是域K上的含幺元e的二維交換結(jié)合代數(shù), 當(dāng)結(jié)構(gòu)常數(shù)矩陣中a=0,b≠0或a>0,b=0或a,b≠0,a+b2/4>0, 則A是一種同構(gòu)型, 記為A1.

定理4 A1, A2, A3彼此不同構(gòu).

證明 由于A2是域, 所以顯然A2與A1和A3不同構(gòu). 只需證明A1和A3不同構(gòu)即可. 由于A1中除幺元e外還有冪等元, 而A3中除幺元e外沒有冪等元. 假設(shè)A3存在非幺元e的冪等元k1e+k2u,k2≠0, 那么有(k1e+k2u)2=k1e+k2u, 該等式無解, 從而A1和A3不同構(gòu).

[1] WEI Changguo.Classification of extensions torus algebra II[J].Science China Mathematics,2012,55(1):179-186.

[2] SHEN Shoufeng,QU Changzheng,HUANG Qing,et al.Lie group classification of the N-th-order nonlinear evolution equations[J].Science China Mathematics,2011,54(22):2553-2572.

[3] ZHANG Xiaoxia.On the classification of compact quantum groupsUθ(2)[J].Science China Mathematics,2010,53(5):1293-1306.

[4] KIRTLAND J.On two classes of finite inseparablep-groups[J].Acta Mathematica Sinica,2015,31(7):1203-1214.

[5] TIMOTHY G.The princeton company to mathematics[M].New Jersey:The Princeton University Press,2008:78-83.

[6] AUSLANDER M.Representation theory of artin algebra[M].Cambridge:Cambridge University Press,1993.

[7] 孟道驥,王立云,史毅茜,等.抽象代數(shù)II-結(jié)合代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2011:1-4.

MENG Daoji,WANG Liyun,SHI Yiqian,et al.Abstract algebra II-Associative algebra[M].Beijing:Science Press,2011:1-4.

[8] 陳輝.群的結(jié)構(gòu)與對(duì)稱性[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2008:85-86.

CHEN Hui.Structure and symmetry of groups[M].Hangzhou:Zhejiang University Press,2008:85-86.

[9] AUSLANDER M.Representation theory of artin algebra II[J].Communications in Algebra,1974,1(4):269-310.

[10] WILLS-TORO Luis A.Classification of some graded not necessarily associative division algebras I[J].Communications in Algebra,2014,42(12):5019-5049.

[11] KORESHKOV N.A.Finite-dimensional homogeneously simple algebras of associative type[J].Russian Mathematica,2010,54(9):30-35.

[12] DROZD Y A,KIRICHENKO V V.Finite dimensional algebras[M].NewYork:Springer-Verlag,1993.

[13] BAI R P,WANG X L,XIAO W Y,et al.The structure of low dimensionaln-lie algebras over a field of characteristic 2[J].Linear Algebra and its Application,2008,428:1912-1920.

[14] BARNES D W.On (n+2) dimensionaln-lie algebras[J].Mathematics,arXiv:0704.1892.

[15] De GRAAF W A.Classification of solvable lie algebras[J].Experimental Mathematics,2004,14(1):15-25.

[16] 陳維新.純量結(jié)合代數(shù)中的鏈條件和冪零理想[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)，1985,19(2):112-115.

CHEN Weixin.Chain conditions and nilpotent ideals in the scalar associative algebras[J].Journal of Zhejiang University,1985,19(2):112-115.

編輯、校對(duì)：師 瑯

The classification of 2-dimensional commutative associative algebras containing identity over the field of real numbers

LIChangzhou,LIHaiyang

(School of Science, Xi′an Polytechnic University, Xi′an 710048,China)

In order to describe the structure of 2-dimensional commutative algebras over the field of real numbers, the classification of 2-dimensional commutative associative algebras containing identity over the field of real numbers are studied, and it is proved that there are exactly three 2-dimensional real commutative algebras up to isomorphisms, there exist bases {e,u} such thateis unitary, eitheru2=uoru2=0 and the last case is nothing but the field of real numbers.

identity;2-dimensional commutative associative algebras; isomorphism

1006-8341(2016)04-0424-04

10.13338/j.issn.1006-8341.2016.04.002

2016-05-05

陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015JM1012);西安工程大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(CX201625)

李海洋(1975—),男,陜西省富平縣人,西安工程大學(xué)教授,博士,研究方向?yàn)橄∈栊畔⑻幚?、量子邏輯、格上拓?fù)浼安淮_定性推理等.E-mail:fplihaiyang@126.com

李長(zhǎng)洲，李海洋.含幺元的二維交換結(jié)合代數(shù)的分類[J].紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2016,29(4)：424-427.

LI Changzhou,LI Haiyang.The classification of 2-dimensional commutative associative algebras containing identity over the field of real numbers[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(4):424-427.

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