方芳

摘要：本文從教學(xué)實(shí)踐中淺談古典概型的教學(xué)

關(guān)鍵詞：古典概型；教學(xué)

古典概型是高一《必修3》中的的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生在初學(xué)時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣那樣的問(wèn)題，那么我們老師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該有那些針對(duì)性的方法來(lái)幫助他們解決這些問(wèn)題呢？筆者通過(guò)近期教學(xué)實(shí)踐、與同行探討以及查閱資料在此談?wù)勛约旱臏\見(jiàn)，不妥之處，敬請(qǐng)同行指正。

1.對(duì)教材的思考

高一數(shù)學(xué)《必修3》中的“古典概型”一節(jié)中，教材選擇了以下兩個(gè)例題：

例1.1 從字母a，b，c，d中任意取出兩個(gè)不同字母的試驗(yàn)中，有哪些基本事件？

例1.2 某種飲料每箱裝6聽(tīng)，如果其中有2聽(tīng)不合格，問(wèn)質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽出2聽(tīng)，檢測(cè)出不合格產(chǎn)品的概率有多大？

在例題1.1的教學(xué)中，學(xué)生很快算出有6個(gè)基本事件：

后來(lái)在例題1.2的教學(xué)中，筆者根據(jù)課本上的提示，告訴學(xué)生把每聽(tīng)飲料編上號(hào)碼，合格的4聽(tīng)分別記為1，2，3，4，不合格的2聽(tīng)分別記為a，b，將每次取出的兩聽(tīng)的編號(hào)組合成一組實(shí)數(shù)對(duì)（x，y），再次讓學(xué)生寫出所有的基本事件數(shù)，大多數(shù)學(xué)生也很快寫出了以下15種結(jié)果：

少部分學(xué)生很快想到是將每個(gè)結(jié)果中的前后兩數(shù)調(diào)換了位置，多數(shù)學(xué)生需要一定的時(shí)間考慮，但第二個(gè)問(wèn)題------所得的概率與第一種方法是否相同------他們都可以很快回答出來(lái)；緊接著有學(xué)生問(wèn)到：為什么要把每個(gè)結(jié)果中的兩個(gè)數(shù)調(diào)換位置作為另一種結(jié)果呢？取出（1，2）與（2，1）不是一樣的嗎？例1.1中不也是如此的嗎？

學(xué)生的問(wèn)題引起了我的思考：個(gè)人感覺(jué)作為教材來(lái)說(shuō)兩道相同類型的題目應(yīng)該是用一樣的方法；否則，按照教材目前的編寫方式，學(xué)生在理解過(guò)程中容易出現(xiàn)偏差，教師在教學(xué)過(guò)程中也不好把握，我就這個(gè)問(wèn)題和其他老師進(jìn)行了一些交流，發(fā)現(xiàn)幾乎所有的老師都對(duì)這個(gè)問(wèn)題提出了異議，覺(jué)得教材前后的方法以及體現(xiàn)出來(lái)的思想有些不一致。教材如此編寫的原因與目的何在？是因?yàn)樵诶?.1中a，b，c，d是四個(gè)不同的元素，而在例1.2中合格的4聽(tīng)飲料或者不合格的2聽(tīng)飲料相同嗎？顯然不是，因?yàn)閷⑺鼈兛醋魇且粯拥脑捑蜎](méi)有必要進(jìn)行編號(hào)了；是為了讓學(xué)生了解同類問(wèn)題的兩種不同解法嗎？似乎也并非如此，否則為什么在教材上沒(méi)有提及將兩個(gè)例題做個(gè)比較呢？

2.簡(jiǎn)便方法適用嗎？

對(duì)于以上兩道例題的教學(xué)，用分步計(jì)數(shù)原理來(lái)解決。以例1.1為例，先考慮第一個(gè)抽出的字母，共有4種選擇，假如抽出a，再考慮第2個(gè)抽出的字母，有三種選擇b，c，d，所以在a確定的情況下有3個(gè)基本事件{a，b}，{a，c}，{a，d}，又因?yàn)榈谝粋€(gè)抽出的字母有四種選擇，每個(gè)字母都對(duì)應(yīng)著三個(gè)基本事件，所以一共有4×3=12個(gè)基本事件，這種做法相當(dāng)于運(yùn)用了分步計(jì)數(shù)原理。筆者在教學(xué)時(shí)也采用了這種方法，有意思的是由于時(shí)間原因只在所任教的兩個(gè)班中的一個(gè)講解了該方法，但兩個(gè)班的作業(yè)情況卻大相徑庭，講解了該方法的班級(jí)的作業(yè)情況反而不如未講解該方法的班級(jí)。在當(dāng)天的作業(yè)：

例2.1 在夏令營(yíng)的7名成員中，有3名同學(xué)已去過(guò)北京。從這7名同學(xué)中任選2名同學(xué)，選出的這2名同學(xué)恰是已去過(guò)北京的概率是多少？

例2.2 A，B，C，D4名學(xué)生按任意次序站成一排，試求下列事件的概率：

（1）A站在邊上；（2）A和B都站在邊上；（3）A或B站在邊上；（4）A和B都不在邊上。

我在講解了分步計(jì)數(shù)原理的班級(jí)中要求學(xué)生對(duì)第1題用列舉法和分步計(jì)數(shù)原理兩種方法解決，而第2題讓他們自由選擇方法解決。從作業(yè)的完成情況來(lái)看，第1題學(xué)生都能兩種方法來(lái)解題，而且可以做對(duì)，但是在第2題的計(jì)算上學(xué)生們出現(xiàn)了分歧，一部分用了窮舉法，另一部分用了分步計(jì)算原理，用窮舉法的學(xué)生的準(zhǔn)確率明顯高于用分步計(jì)數(shù)原理的學(xué)生，在使用分步計(jì)數(shù)原理的同學(xué)中出現(xiàn)了各種錯(cuò)誤，班上一位數(shù)學(xué)成績(jī)較好的同學(xué)有如下做法：

設(shè)A站在邊上為事件E，則

而正確的做法是

事后我問(wèn)他為什么在分母多乘了2，他解釋到分子中由于A可能站在左右兩個(gè)位置中的某一個(gè)，所以乘了2，他認(rèn)為分母也一樣，在給四位同學(xué)排位時(shí)，從左向右和從右向左也都應(yīng)該排一次，所以也要乘以2，很明顯他對(duì)于這個(gè)本質(zhì)上屬于排列組合問(wèn)題的方法掌握得并不透徹，而其它多數(shù)成績(jī)不如他的同學(xué)對(duì)該方法的理解也可見(jiàn)一斑了。所以對(duì)于在古典概型中講解分步計(jì)數(shù)原理的教學(xué)方式我個(gè)人持保留態(tài)度，學(xué)生基礎(chǔ)非常好的班級(jí)或?qū)W?？梢試L試，否則可能會(huì)適得其反，畢竟用窮舉法在考試中拿分是比較穩(wěn)妥的。

3.最容易出現(xiàn)的問(wèn)題

從學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)的掌握，以及在作業(yè)情況來(lái)看，出錯(cuò)最多的就是基本事件在羅列時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)、漏、重的現(xiàn)象，這是初學(xué)者很容易出現(xiàn)的問(wèn)題，那么該如何解決呢？個(gè)人感覺(jué)是兩個(gè)方面：

首先是對(duì)題目當(dāng)中所涉及的事件是否了解，也就是知道不知道題目中的事件是做什么，怎么做，怎樣才算結(jié)束。例如上面的例2.2中，事件就是要把“A，B，C，D4名學(xué)生按任意次序站成一排”；怎么做呢？把他們一個(gè)個(gè)站上位置；怎么樣才是做完了？四個(gè)人都站好了就結(jié)束這件事。就有同學(xué)在題目要求抽出兩個(gè)元素的時(shí)候，他只抽出一個(gè)，題目的意思都沒(méi)完全理解，結(jié)果自然也就不對(duì)，所以教會(huì)學(xué)生分析事件很重要。

盡管課本中只是薄薄的幾頁(yè)，但在古典概型的教學(xué)中，每一堂課，每一次批改作業(yè)，都有很多東西值得我們老師去反思和回味，甚至可以更進(jìn)一步去探索和研究，而在這些反思、回味、探究的過(guò)程中我們自己也在慢慢成長(zhǎng)。