楊靜寧,譚 杰,邱 平

(蘭州理工大學理學院,甘肅蘭州 730050)

層合板在橫向激勵和溫度作用下的動力響應

楊靜寧,譚 杰,邱 平

(蘭州理工大學理學院,甘肅蘭州 730050)

以受橫向激勵載荷和溫度荷載共同作用下的復合材料層合板為研究對象,采用Von Kármán非線性理論和層合板理論,建立了非線性動力學的偏微分控制方程。通過Galerkin方法進行單模態(tài)離散并采用攝動法對其進行數值分析,得到了溫度、激勵荷載、鋪設方式對層合板振動響應幅頻的影響關系。

層合板;熱應力;幾何非線性;振動;攝動法

近年來,國內外學者對層合板的動力學問題進行了廣泛研究。Gupta A K等[1]研究了溫度在板厚成線性變換或者在x軸和y軸上成拋物線變換的正交矩形板的振動影響。Sharma S K[2]在經典理論基礎上對粘彈性正交各向異性矩形板在變溫環(huán)境下的自由振動進行了分析研究。Ducceschi M等[3]運用帶有艾里應力函數和橫向位移的方程加入馮卡門非線性項對矩形板在自由振動與受迫振動模態(tài)交互下的非線性振動問題進行了相關研究。趙龍勝等[4]采用了分層理論對復合層合板四邊簡支條件下的模態(tài)振型及其固有頻率進行了理論研究和相應的實驗分析。陳富軍等[5]基于局部移動Kriging無網格法對層合板自由振動進行了分析。研究基于經典理論引入Von Kármán幾何非線性項對復合材料層合板在橫向激勵和溫度共同作用下的非線性振動進行了分析,建立了正交各向異性層合板的非線性動力學控制方程,采用Galerkin法對其進行一階離散,并運用攝動法進行數值求解,討論溫度、激勵荷載、鋪設方式對層合板振動響應幅頻的影響。

1 控制方程

受橫向簡諧載荷和熱載荷共同作用下的層合板模型如圖1所示。坐標軸位于板中面邊緣位置,坐標(x,y,z)代表板中任意一點的位置。a、b、h分別代表板的長、寬和高。

圖1 層合板幾何模型Fig.1 Geometric model of laminate

用Von Kármán非線性理論和層合板理論,可得用位移表示的非線性控制方程:

其中:Qij為剛度系數;αk(k＝x,y)表示為x,y方向的熱膨脹系數。

2 單模態(tài)離散

選取滿足四邊簡支邊界條件的線性振動函數表達式為

設層合板內滿足邊界約束條件的u,v方向位移的表達式為

將式(3)與式(4)的3個位移的表達式代入非線性動力學偏微分控制方程(1)中第三式,并利用Galerkin方法進行單模態(tài)離散,可得非線性動力學方程

其中:

采用攝動法L-P法對方程(5)進行研究分析,引入小參數ε,并且設α＝εα,p＝εp,τ＝Ωt,對外載荷頻率Ω和解W(τ)進行冪級數展開,并將小參數ε的同次冪的項合在一起,可得方程

方程(6)第一式的近似解可寫為

其中:Ψ表示層合板的響應幅值,將W(τ)0解的表達式(7)代入到方程(6)第二式中,并運用三角函數關系

可得

消去式(9)中的久期項,則可得層合板振動的頻率、幅值和激勵載荷三者之間的關系為

3 數值計算及結果分析

基于層合板振動的頻率、幅值和激勵載荷的關系,以石墨纖維材料為例,采用數值方法對經典理論下的層合方板在橫向激勵和溫度作用下的非線性動力學問題進行分析。

復合層合方板在只受溫度效應作用下的振動幅值與頻率比的關系如圖2所示。由圖2可以看出,相同頻率比時,隨著溫度的升高,會使自由振動的幅值變小。相反,在相同的振動幅值時,隨著溫度的升高,頻率比相應略微地變高。

圖2 不同溫度對層合方板自由振動幅頻曲線的影響Fig.2 The effect of different temperature on laminate free vibration amplitude-frequency curve

在一定溫度(ΔT＝100)下,不同鋪層方式對層合方板的自由振動的振動幅值和頻率的比值關系如圖3所示。當角鋪設方式為[0,90,90,0]和[0,90,0,90]時其幅頻曲線關系完全相同且略高于鋪設方式為[0,0,0,0]的幅頻曲線,角鋪設為[0,30, 90,－30]時的幅頻曲線接近于[0,45,90,－45]的幅頻曲線。則在相同振幅幅值的情況下,角鋪設為[0, 45,90,－45]時的響應頻率最小。

圖3 不同角鋪設對層合板幅頻曲線的影響(ΔT＝100)Fig.3 The effect of laying from different angle on laminate amplitude-frequency curve(ΔT＝100)

激勵載荷幅值系數為q＝1 000時在不同溫度效應作用下,激勵載荷頻率Ω與基頻ω0的比值對層合方板動態(tài)響應幅值Ψ的影響如圖4所示。當溫度升高時,層合方板的響應幅值既有增大也有減小,并非單一的遞增遞減變化。而且隨著溫度的升高,方板振動的不穩(wěn)定區(qū)域增加。

圖4 熱-機載荷對層合方板的幅頻曲線的影響(q＝1 000)Fig.4 The effect of thermal-machine load on laminate amplitude-frequency curve(q＝1 000)

在同一溫度(ΔT＝100)和同一激勵載荷幅值系數(q＝1 000)下,不同的角鋪設方式對層合方板的振動特性的影響如圖5所示。由圖5可以看出,相同厚度的層合板,通過改變角鋪設方式,系統的振幅曲線出現了交叉現象。

4 結論

以受橫向激勵載荷和溫度荷載共同作用下的復合材料層合板為研究對象,建立了層合板的非線性動力學偏微分控制方程。采用Galerkin方法進行單模態(tài)離散,并用攝動法對其進行分析計算,以石墨纖維材料制成的層合方板為例,得到了如下結果:

圖5 角鋪設對層合方板的振動特性的影響(ΔT＝100,q＝1 000)Fig.5 The effect of laying from different angle on laminate amplitude-frequency curve(ΔT＝100,q＝1 000)

(1)在不考慮橫向激勵載荷的情況下,相同頻率比時,隨著溫度的升高,使自由振動的幅值變小;

(2)在一定溫度及相同振幅幅值的情況下,角鋪設為[0,45,90,－45]時的響應頻率最小; (3)當溫度升高時,方板振動的不穩(wěn)定區(qū)域增加; (4)通過改變角鋪設方式,系統的振幅曲線會出現交叉現象。

[1] Gupta A K,Kumar S.Thermal Effect on Vibration of Orthotropic Rectangular Plate with Thickness Variation as Linearly and Parabolically in x-and y-Directions Respectively[J].International Journal of Mathematical Sciences and Applications, 2013,38(2):32-35.

[2] Sharma S K.Free Mechanical Vibrations of Visco-Elastic Orthotropic Rectangular Plate with Exponential Varying Temperature[J].International Journal of Engineering Sciences and Research technology,2014,53(1):54-59.

[3] Ducceschi M,TouzéC,Bilbao S,et al.Nonlinear Dynamics of Rectangular Plates:Investigation of Modal Interaction in Free and Forced Vibrations[J].Acta Mechanica,2014,225(1):213-232.

[4] 趙龍勝,吳錦武,趙飛,等.復合材料簡支板固有頻率與振型分析[J].南昌航空大學學報:自然科學版,2013,27(2):10-17.

[5] 陳富軍,魏春志,姚林泉.基于局部移動Kriging無網格方法的層合板自由振動分析[J].計算力學學報,2013,30(4):559-564.

[6] 楊靜寧,甘文艷,邱平.變厚度夾層環(huán)形板大撓度問題的打靶法求解[J].甘肅科學學報,2010,22(2):106-109.

[7] 楊靜寧,武俊,高秀娟.熱環(huán)境下夾層矩形板非線性問題的數值解[J].甘肅科學學報,2013,25(4):8-11.

[8] 趙龍勝,宋福英.復合材料層合板振動特性的模態(tài)實驗研究[J],材料導報,2015,29(S1):98-101.

Dynamic Response of Laminate under Horizontal Incentive and Temperature Action

Yang Jingning,Tan Jie,Qiu Ping
(School of Sciences,Lanzhou University of Technology,Lanzhou730050,China)

The laminate subjected to horizontal incentive load and temperature load is taken as researching object,and Von Kármán nonlinear theory and laminate theory are adopted,as a result,derivative control equation of non-linear dynamics is built.By conducting single mode disperse with Galerkin and analyzing its value with perturbation method,the relationship curve of temperature,stimulating load,laying mode to vibration response amplitude frequency of laminate is attained.

Laminate;Thermal stress;Geometric nonlinearity;Vibration;Perturbation method

O343

:A

:1004-0366(2016)05-0030-04

2015-12-30;

:2016-03-01.

甘肅省自然科學基金項目(2011GS04154).

楊靜寧(1969-),男,副教授,碩士生導師,研究方向為復合材料結構的非線性力學行為.E-mail:yangjn＠lut.cn.

譚杰.E-mail:jack664062death＠163.com.

Yang Jingning,Tan Jie,Qiu Ping.Dynamic Response of Laminate under Horizontal Incentive and Temperature Action[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(5):30-33.[楊靜寧,譚杰,邱平.層合板在橫向激勵和溫度作用下的動力響應[J].甘肅科學學報,2016,28(5):30-33.]

10.16468/j.cnkii.ssn1004-0366.2016.05.008.