夏 杰，周青松，張劍云，董 瑋

(解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037)

基于凸優(yōu)化基追蹤算法的線性調(diào)頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)

夏 杰，周青松，張劍云，董 瑋

(解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037)

針對(duì)傳統(tǒng)寬帶線性調(diào)頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)精度不高的問(wèn)題，提出了基于凸優(yōu)化基追蹤算法的線性調(diào)頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法。該方法利用Gabor原子良好時(shí)頻特性，以l1范數(shù)稀疏正則最小二乘模型為目標(biāo)函數(shù)求解稀疏Gabor原子進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)證明，該方法具有原子的稀疏性好，對(duì)原信號(hào)重構(gòu)精度高和參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)確的特點(diǎn)。

凸優(yōu)化基追蹤；線性調(diào)頻信號(hào)；時(shí)頻分析；參數(shù)估計(jì)

0 引言

線性調(diào)頻信號(hào)在雷達(dá)、通信、制導(dǎo)等軍事領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。對(duì)線性調(diào)頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)一直是電子偵察領(lǐng)域的重要問(wèn)題。傳統(tǒng)的估計(jì)方法大都以最大似然估計(jì)[1]為基礎(chǔ)。最大似然估計(jì)方法精度高，然而搜索量極大，無(wú)法應(yīng)對(duì)現(xiàn)代寬帶信號(hào)。近年來(lái)，諸如分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FrFT)[2-3]、壓縮感知[4-7]等方法被大量應(yīng)用。壓縮感知理論利用了信號(hào)的稀疏特性，其中貪婪算法(MP)[5]、正交匹配算法(OMP)[7-8]計(jì)算復(fù)雜度低，可是精度不高。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換可被理解為線調(diào)基的分解，在不同階數(shù)的u域上分離多分量的信號(hào)與噪聲，然而在不同階數(shù)上存在偏差需進(jìn)行補(bǔ)償， 影響了估計(jì)精度。本文針對(duì)上述問(wèn)題，提出了基于凸優(yōu)化基追蹤算法的線性調(diào)頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法。

1 信號(hào)模型與凸優(yōu)化基追蹤算法理論

1.1 線性調(diào)頻信號(hào)模型

白噪聲下單分量線性調(diào)頻信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

y(t)=Aexp(jπμ0t2+2jπf0t)+w(t)

(1)

其中，信號(hào)幅度為A，初始頻率為f0，調(diào)制斜率為μ0，噪聲w(t)為加性高斯白噪聲。若對(duì)信號(hào)均勻采樣n個(gè)點(diǎn)，采樣間隔為Δt。則觀測(cè)信號(hào)向量為：

y=[y(0),y(1),…,y(n-1)]T

y(i)=Aexp[jπ(μ0Δt2i2+2f0Δti)]+

w(Δt·i),i=0,1,2,…,n-1

(2)

1.2 過(guò)完備字典構(gòu)建

在信號(hào)的稀疏描述中，挑選適合的基函數(shù)構(gòu)建字典尤為重要。字典的選擇直接影響到描述系數(shù)的稀疏性以及重構(gòu)信號(hào)的精度。過(guò)完備字典指字典中的原子個(gè)數(shù)大于信號(hào)維數(shù)并包含信號(hào)中各向量張成的整個(gè)空間。在目前的字典中，過(guò)完備字典通過(guò)增加原子個(gè)數(shù)來(lái)增加系統(tǒng)冗余度，較之其他字典提高對(duì)觀測(cè)信號(hào)逼近的靈活性。

本文選擇Mallat和Zhang提出的過(guò)完備Gabor原子字典[5]，見(jiàn)圖1。由測(cè)不準(zhǔn)原理得，有限能量任意信號(hào)，其時(shí)寬與帶寬存在以下關(guān)系：

(3)

當(dāng)不等式取等號(hào)時(shí)，信號(hào)為高斯函數(shù)e-πt2，具有最小時(shí)寬帶寬積。Gabor原子為一系列調(diào)制的高斯函數(shù)，具有最小的時(shí)寬帶寬積，因而具有最好的時(shí)頻聚集特性。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

e-(t-τ)2/σ2cos(wt+φ)

(4)

每個(gè)Gabor原子通過(guò)參數(shù)γ=(τ,w,φ)來(lái)描述，其中σ為脈沖寬度，τ為脈沖時(shí)間中心，w為瞬時(shí)頻率，φ為相角。

圍繞目標(biāo)信號(hào)形式構(gòu)建復(fù)信號(hào)基。首先，對(duì)Gabor函數(shù)高斯包絡(luò)e-(t-τ)2/σ2進(jìn)行時(shí)域調(diào)制：基函數(shù)取相同的脈寬σ；中心時(shí)間τ按照觀測(cè)時(shí)間長(zhǎng)度均勻取m個(gè)點(diǎn)得到時(shí)域基。然后，在時(shí)域基上對(duì)高斯包絡(luò)進(jìn)行頻率調(diào)制得復(fù)信號(hào)基函數(shù)e-(t-τ)2/σ2exp(j2πf1tk)。k為頻率劃分點(diǎn)(kmin≤k≤kmax)，取整數(shù)；單位頻率間隔f1的選取保證信號(hào)的最高頻率fmax與最低頻率fmin在區(qū)間[f1·kmin,f1·kmax]內(nèi)。此處，m取501，k取30，φ取為0。對(duì)應(yīng)每個(gè)中心時(shí)間點(diǎn)，一共(30+1)個(gè)復(fù)頻點(diǎn)(其中一個(gè)為0頻)。

(a)字典矩陣A(共501×31個(gè)原子)

(b)中心時(shí)間為0時(shí)復(fù)頻點(diǎn)內(nèi)部排列圖1 本文構(gòu)建的Gabor過(guò)完備字典矩陣AFig.1 The proposed Gabor over-complete dictionary

1.3 l1范數(shù)稀疏正則最小二乘模型

凸優(yōu)化基追蹤算法將信號(hào)在過(guò)完備字典上進(jìn)行展開(kāi)，獲得稀疏的原子，利用這些原子完成對(duì)原始信號(hào)的重構(gòu)。鑒于此思想，將信號(hào)模型進(jìn)一步構(gòu)建為基于混合l0范數(shù)的稀疏正則最小二乘模型：

minimize ‖Ax-y‖2+γ‖x‖0

(5)

其中，‖Ax-y‖2代表數(shù)據(jù)的擬合誤差， γ‖y‖0代表Gabor原子向量稀疏度的衡量， γ是加權(quán)因子，它實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的擬合質(zhì)量和原子向量稀疏度的平衡與折中，從而兼顧兩者的性能。

但是式(5)中包含了l0范數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，這是一個(gè)整數(shù)優(yōu)化的NP難問(wèn)題，現(xiàn)有理論難以給出一個(gè)有效的求解方法。因此考慮將其松弛為一個(gè)可有效求解的凸優(yōu)化問(wèn)題。由于l1范數(shù)是在所有 lp范數(shù)( ‖·‖p,p≥1)當(dāng)中最接近l0范數(shù)的凸范數(shù)，因此將上述模型進(jìn)一步松弛為混合l1范數(shù)的稀疏正則最小二乘模型[4]：

minimize ‖Ax-y‖2+γ‖x‖1

(6)

因此如何求解該模型是本問(wèn)題的難點(diǎn)所在。由于優(yōu)化模型中的目標(biāo)函數(shù)是兩個(gè)不可微函數(shù)的混合，一般優(yōu)化方法難以求解。但是該問(wèn)題是一個(gè)典型的凸優(yōu)化問(wèn)題，所以將其轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃(SOCP, second-order cone programming)以便原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)算法對(duì)其進(jìn)行有效求解，并且所獲得解一定為該優(yōu)化模型的全局最優(yōu)解。

1.4 l1范數(shù)稀疏正則最小二乘模型的求解

將標(biāo)準(zhǔn)的k維二階錐記為：

(7)

并且當(dāng)k=1時(shí)，定義一維二階錐為cone1={t|t∈R,0≤t}。

為了便于轉(zhuǎn)化，可將式(6)與下式等價(jià)：

minimize ξ subject to ‖Ax-y‖2≤σ

γ‖yk‖2≤?k，k=1,…,K

σ+?1+…+?K≤ξ

(8)

令A(yù)=Ar+jAi，x=xr+jxi，y=yr+jyi，v=[1,01×3K+1]T，w=[ξ,σ,?1,…,?K,xr1,…,xrK,xi1,…,xiK]T，vs=[0,…,1,0,…,0]T，v1=[0,1,01×3K]T，E′為K維的全1列向量，其中，v1，w，v和vs均為3K+2維的列向量，vs表示向量中第s個(gè)元素為1，其余元素均為0，s=1,…,K。則式(8)的目標(biāo)函數(shù)可以表示為vTy，其余各個(gè)約束條件的轉(zhuǎn)化形式為：

‖Ax-y‖2≤σ ?

‖(Arxr-Aixi-yr)+j(Arxi+Aixr-yi)‖2≤σ ?

γ‖xk‖2≤?k?γ‖xr,k+jxi,k‖2≤?k?

σ+?1+…+?K≤ξ ?ξ-?1-…-?K-σ≥0?

至此可以構(gòu)造出式(6)的SOCP模型為：

minimize vTw

(9)

對(duì)于式(9)可以采用MatLab中的CVX工具箱進(jìn)行求解。

2 凸優(yōu)化基追蹤算法參數(shù)估計(jì)原理與步驟

2.1 參數(shù)估計(jì)原理

根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，Gabor原子在時(shí)頻域具有良好的聚集特性。若將信號(hào)分解為Gabor原子的線性組合，那么可以充分地揭示信號(hào)的脈內(nèi)特征。假設(shè)信號(hào)y經(jīng)稀疏分解為k個(gè)Gabor原子，這k個(gè)原子f(τi,wi,φi)|i=1,2,…,k包含了原信號(hào)的特征以及絕大部分的能量。對(duì)這k個(gè)原子進(jìn)行時(shí)頻分析，進(jìn)而可提取出其中的參數(shù)信息。

圖2為包含三個(gè)不同分量線調(diào)信號(hào)時(shí)頻圖(下方為時(shí)域圖，右側(cè)為頻域圖)，它由MP算法在Gabor字典上分解的原子經(jīng)Wigner變換相加得，參見(jiàn)文獻(xiàn)[5]?？梢?jiàn)，屬于同一個(gè)線調(diào)信號(hào)的原子排列在同一條直線上，直線顯示了信號(hào)頻率隨時(shí)間的變化，直線的斜率即為該線調(diào)信號(hào)的調(diào)頻斜率。而直線兩端的兩個(gè)原子分別表示起止和終止頻率。故通過(guò)獲取Gabor原子的時(shí)頻位置，可求得信號(hào)的頻率信息。

圖2 三分量線調(diào)信號(hào)分解的Gabor原子時(shí)頻圖Fig.2 Gabor atom time-frequency picture of three LFMs

2.2 算法步驟

基于凸優(yōu)化基追蹤算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，最重要的環(huán)節(jié)是求解出稀疏向量x。后續(xù)對(duì)調(diào)頻斜率、起止頻率的估計(jì)以及信號(hào)的稀疏重構(gòu)都是圍繞稀疏向量x展開(kāi)。

步驟1:求解稀疏向量x。利用CVX工具箱求解問(wèn)題的SOCP形式。在此處理過(guò)程中，設(shè)置適當(dāng)門限，挑選稀疏向量x。

步驟3：調(diào)頻斜率估計(jì)。提取A2中包含的Gabor原子的參數(shù)(τi,wi)做時(shí)頻圖。觀察得，各原子所在點(diǎn)的排布呈一條直線狀。用最小二乘線性估計(jì)得直線的斜率即為調(diào)頻斜率。

步驟4：起止頻率估計(jì)。在時(shí)頻圖中，挑選出中心時(shí)間最大最小的點(diǎn)，對(duì)起始終止頻率進(jìn)行估計(jì)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

取信號(hào)幅度a0=1，初始頻率f0=0 MHz，脈沖寬度PW=100 μs，脈內(nèi)調(diào)制帶寬B=2.5 MHz，脈沖調(diào)制斜率μ0=2.5×1 010 Hz/s，采樣頻率fs=5 MHz。噪聲w(t)為加性高斯白噪聲。

實(shí)驗(yàn)1 有效性分析

當(dāng)觀測(cè)樣本數(shù)N=501，信噪比20 dB時(shí)，任意取其中一次試驗(yàn)，所得稀疏原子序號(hào)及對(duì)應(yīng)的Gabor原子信息分別如圖3與表1。

圖3 稀疏原子篩選Fig.3 Screening of sparse atoms

Gabor原子序號(hào)時(shí)間/μs頻率/kHzGabor原子序號(hào)時(shí)間/μs頻率/kHz1120255001250222832653413333248327566141746816728600150057016729632158369025030634158371002503166816678132333327021750913433333732183310166417347341833112005003576619171220250036800200013234583378342083142666673883620831526866739866216716300750408682167173328334190022501833483342930233319368917439322333204001000449762417214021000459782417224321083469862500234341083479882500244661167

從圖3看出，此時(shí)設(shè)置門限為0.05，直線即為門限。篩選出的47個(gè)原子幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)比其余原子大，具有代表性。所得原子序號(hào)求得對(duì)應(yīng)的Gabor原子，其信息如表1。

圖4 原信號(hào)實(shí)部重構(gòu)Fig.4 Estimation of LFM coefficient

圖5 線性調(diào)頻斜率估計(jì)Fig.5 Estimation of LFM coefficient

實(shí)驗(yàn)2 參數(shù)估計(jì)性能分析

其他條件不變，信噪比從0 dB到24 dB間隔4 dB取值，蒙特卡洛仿真100次，調(diào)頻斜率估計(jì)情況如圖6。由圖6可知，針對(duì)調(diào)頻斜率的估計(jì)，與文獻(xiàn)[2]FrFT方法相比，在信噪比6 dB左右，兩者估計(jì)效果相當(dāng)，此時(shí)RMSE為7.4×107，相對(duì)誤差為0.296%。隨著信噪比不斷提高，本文方法曲線較FRFT方法下降更多，更貼近CRB，斜率估計(jì)精度更好。

圖6 調(diào)頻斜率估計(jì)Fig.6 Estimation of LFM coefficient

從圖5與圖7、圖8三幅圖中可知，隨著信噪比降低，挑選出的Gabor原子逐漸被噪聲所淹沒(méi)，數(shù)量不斷減少，對(duì)調(diào)頻斜率的估計(jì)影響相對(duì)較小，但對(duì)起始與終止頻率的估計(jì)造成了比較大的影響。在信噪比小于0 dB時(shí)，Gabor原子幾乎全部被噪聲淹沒(méi)，使得斜率無(wú)法估計(jì)。除了信噪比對(duì)起止頻率估計(jì)影響外，當(dāng)頻率劃分點(diǎn)k較大時(shí)，估計(jì)效果較好，然而大大增加了字典A的大小與計(jì)算復(fù)雜度。故該方法對(duì)起止頻率的估計(jì)僅限于理論分析與信噪比較大時(shí)的估計(jì)。

圖7 信噪比10 dB時(shí)瞬時(shí)頻率圖Fig.7 Instantaneous frequency while SNR=10 dB

圖8 信噪比-1 dB時(shí)瞬時(shí)頻率圖Fig.8 Instantaneous frequency while SNR=-1 dB

4 結(jié)論

本文提出基于凸優(yōu)化基追蹤算法的線性調(diào)頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法。該方法利用Gabor字典良好的時(shí)頻特性，以l1范數(shù)稀疏正則最小二乘模型為目標(biāo)函數(shù)求解稀疏Gabor原子，并推導(dǎo)了問(wèn)題的SOCP形式。最后通過(guò)提取的Gabor原子中所含信息對(duì)信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。仿真分析表明：原始信號(hào)在過(guò)完備Gabor字典上展開(kāi)，求解原子的稀疏性好，對(duì)原信號(hào)重構(gòu)精度高；在較高信噪比環(huán)境下，該方法對(duì)斜率與初始、終止頻率等參數(shù)估計(jì)效果較好，是一種有效的參數(shù)估計(jì)方法。

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LFM Signal Parameter Estimation Based on Convex Optimization Basis Pursuit

XIA Jie, ZHOU Qingsong, ZHANG Jianyun, DONG Wei

(Electronic Engineering Institute of PLA, Hefei 230037, China)

In order to improve traditional parameter estimation accuracy of wideband LFM signal, a method of parameter estimation of LFM signal based on Convex optimization basis pursuit was presented. The method utilized good time-frequency characteristics of Gabor atoms and usedl1norm Sparse regular least squares model to solve and estimate parameter. Simulation results showed that the proposed method had sparse nature of atoms, high precise reconstruction and good parameter estimation.

convex optimization basis pursuit; linear frequency modulation signal; time-frequency analysis; parameter estimation

2016-07-01

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(11375263)

夏杰(1991-)，男，浙江寧波人，碩士研究生，研究方向：寬帶雷達(dá)信號(hào)偵察與干擾。E-mail：jojo565294464@sina.com。

TN911

A

1008-1194(2016)06-0084-05