林思銘，彭衛(wèi)東，林志國，李 瑞

(1.空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院，陜西 西安 710051；2.空軍工程大學(xué)裝備發(fā)展與運用研究中心，陜西 西安 710051)

改進(jìn)的卡爾曼濾波壓縮感知信道估計算法

林思銘1,2，彭衛(wèi)東2，林志國1,2，李 瑞1,2

(1.空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院，陜西 西安 710051；2.空軍工程大學(xué)裝備發(fā)展與運用研究中心，陜西 西安 710051)

針對偽測量卡爾曼濾波壓縮感知算法應(yīng)用于時變信道時精確度和實時性的不足，提出了改進(jìn)的卡爾曼濾波壓縮感知信道估計算法。該算法進(jìn)一步優(yōu)化了擴展濾波過程的范數(shù)框架，利用Levenberg-Marquardt方法實現(xiàn)了方差矩陣的自優(yōu)化，解決了估計誤差不能一致減少的問題，保證了全局收斂性；根據(jù)卡爾曼增益設(shè)置了迭代收斂條件，解決了偽測量過程的自適應(yīng)收斂問題。仿真分析表明，該算法的估計精度和收斂速度有較大程度提高，在SUI-3信道條件下性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)信道估計方法。

壓縮感知信道估計；卡爾曼濾波；偽測量過程；Levenberg-Marquardt方法

0 引言

在高速數(shù)據(jù)通信系統(tǒng)中，準(zhǔn)確、快速的信道估計算法是OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)、SC-FDE(Single-carrier Frequency Domain Equalization)等技術(shù)進(jìn)行高效率信號處理的基礎(chǔ)。但在時變衰弱信道中，由于加性高斯白噪聲、碼間干擾以及載波間干擾等因素的影響，信道估計的性能存在較大程度降低[1]。傳統(tǒng)的信道估計算法主要分為盲估計算法和基于導(dǎo)頻的信道估計算法，前者運算量較大且不適用于低信噪比條件，而后者主要包括最小二乘法及最小均方誤差法，存在抗噪性能差和導(dǎo)頻開銷較高的問題。

近幾年，壓縮感知由于其突出的理論優(yōu)勢，可以在某種意義上突破奈奎斯特定律，成為了信號處理領(lǐng)域的研究熱點[2]。無線多徑信道具有稀疏性[3]，由于多徑信道傳輸模型與壓縮感知理論框架的相似性，重構(gòu)算法的優(yōu)化對于提升壓縮感知信道估計具有重要意義。對于時變信道，卡爾曼濾波壓縮感知KFCS(Kalman Filtered Compressed Sensing)算法[4]可以利用信道關(guān)聯(lián)性進(jìn)行快速分析，通過濾波誤差來識別信道支撐集的變化情況，以對信道系數(shù)進(jìn)行跟蹤。Carmi等人將偽測量PM(Pseudo Measurement)技術(shù)嵌入卡爾曼濾波架構(gòu)[5-6]，但高迭代次數(shù)的降階求解會耗費大量的計算資源，且重構(gòu)精度隨著迭代次數(shù)的增加提升較慢，在應(yīng)用于具體場景時，會發(fā)生精確度與實時性的不足。針對以上問題，本文從估計精度及收斂速度兩個方面對已有算法的偽測量過程進(jìn)行優(yōu)化，提出了改進(jìn)的卡爾曼濾波壓縮感知信道估計算法。

1 壓縮感知信道估計理論

對于一般的通信系統(tǒng),接收信號可以表示為:

y=Xh+n

(1)

式(1)中，y為接收信號，h為長度為N的信道多徑系數(shù)，假定在一個符號周期內(nèi)信道的沖激響應(yīng)不變，n為服從N(0,σ2)的高斯白噪聲，設(shè)M為用于信道估計的導(dǎo)頻序列長度，則X可以表示為(N+M-1)×N維的Toeplitz矩陣：

其中，基于PN序列較好的恒包絡(luò)零自相關(guān)特性，本文假定用于導(dǎo)頻的訓(xùn)練序列為PN序列?？紤]傳統(tǒng)的信道估計算法，最小二乘法的信道值為hLS=(XHX)-1XHy，對應(yīng)的均方誤差及下限可以表示為[7]：

(2)

(3)

可以看出，最小二乘法的估計誤差受噪聲影響較大，且有較高的導(dǎo)頻開銷；最小均方誤差法需要一定的先驗信息，性能有較大提升，但多次逆運算導(dǎo)致運算開銷較大。

在同一場景下，時變信道具有轉(zhuǎn)移關(guān)聯(lián)性，但本文重點研究信道估計算法的優(yōu)化，因此假定信道為一階AR模型。模型可以表示為：

(4)

式(4)中，vn表示時刻n的過程噪聲。對矩陣X進(jìn)行裁剪，式(1)簡化為[8]：

(5)

卡爾曼濾波壓縮感知算法的基本思路是[9]，先估計支撐集，后在支撐集上進(jìn)行降階卡爾曼濾波，以實現(xiàn)稀疏信號重構(gòu)。對于變化緩慢的信道，假定信道系數(shù)的轉(zhuǎn)移矩陣為單位陣，卡爾曼濾波方程組如下：

(6)

式(6)中，Pn|n-1為誤差方差矩陣，初估計時設(shè)為單位陣，K為卡爾曼增益，Q和R分別為系統(tǒng)噪聲方差矩陣和觀測噪聲方差矩陣。

由于信道的支撐集信息是未知的，傳統(tǒng)的卡爾曼濾波框架很難在短時間內(nèi)實現(xiàn)濾波誤差的收斂。PM技術(shù)通過嵌入重構(gòu)值的大量迭代更新使重構(gòu)值在歐式距離上逼近原始值，運算方程組如下：

(7)

對于偽測量迭代過程，均方誤差MSE(Mean Square Error，MSE)隨著迭代次數(shù)的增加而降低，最終根據(jù)采用的偽測量理論收斂于誤差下限。在工程應(yīng)用中，迭代冗余可能會造成資源浪費，以及重構(gòu)信號的能量分散以及尺度搬移等問題[10]。

2 卡爾曼濾波壓縮感知算法優(yōu)化

2.1 約束框架的改進(jìn)

在壓縮感知理論框架中，求解l0范數(shù)是一個NP-hard問題，很難遍歷所有解。已有研究表明，矩陣X滿足限制等距特性(Restricted Isometry Property, RIP)[8]，這樣由于欠采樣導(dǎo)致的NP難問題可以簡化為：

min‖h‖1s.t.‖Xh-y‖2≤ε

(8)

式(8)中，ε代表噪聲能量。

這意味著，l0范數(shù)框架下的求解問題可以采用l1范數(shù)框架的凸優(yōu)化進(jìn)行求解。但實際上，l1范數(shù)框架對信號的稀疏性約束要差于非凸優(yōu)化模型[11]。針對這一問題，有學(xué)者采取了折衷辦法，使用非凸的lp范數(shù)對重構(gòu)算法進(jìn)行優(yōu)化[12]。用近似l0范數(shù)增強重構(gòu)算法的稀疏性約束[13]，其形式為：

(9)

結(jié)合卡爾曼濾波的偽測量過程，狀態(tài)輔助空間模型如下：

(10)

(11)

觀察可知，其本質(zhì)上是對稀疏性不同的重構(gòu)目標(biāo)進(jìn)行差異化賦權(quán)。為了進(jìn)一步提高PM階段的性能，定義基于高斯核函數(shù)的稀疏特征權(quán)值表達(dá)式：

(12)

for i=1:1:L

if Tk(i)>0

end

end

優(yōu)化的偽測量過程的誤差矩陣與卡爾曼增益更新方程與原式一致。信道系數(shù)更新方程為：

(13)

隨著迭代次數(shù)的增加，卡爾曼濾波的偽測量過程轉(zhuǎn)變?yōu)樾埐顔栴}的迭代優(yōu)化。對于小殘差問題的迭代優(yōu)化，傳統(tǒng)線性卡爾曼方法難以保證估計誤差的一致減少[15]。Levenberg-Marquardt方法在每次迭代過程中，使用參數(shù)u對預(yù)測協(xié)方差進(jìn)行修正，以保證算法的全局收斂性，解決了傳統(tǒng)方法觀測值不穩(wěn)定的問題。引入Levenberg-Marquardt方法，本文在原有卡爾曼濾波壓縮感知算法的基礎(chǔ)上，增加一步濾波錯誤方差矩陣自優(yōu)化，優(yōu)化公式為：

(14)

但必須指出的是，Levenberg-Marquardt方法雖然從一定程度上解決了重構(gòu)值抖動的問題，但引入了矩陣的逆運算，提升了算法的復(fù)雜度。為了補償這一問題，必須引入自適應(yīng)收斂指標(biāo)，以降低算法的計算開銷。

2.2 基于卡爾曼增益的收斂指標(biāo)

Carmi等人提出的卡爾曼壓縮感知算法通過較大的迭代次數(shù)以鎖定迭代誤差，無法對迭代過程進(jìn)行實時評估。對于傳統(tǒng)的壓縮感知算法，主要利用重構(gòu)信號殘差識別收斂情況，但沒有利用卡爾曼濾波的固有特性。在卡爾曼濾波框架中，當(dāng)觀測矩陣滿足RIP性質(zhì)時，KFCS過程必定收斂[10]。對于不同濾波時刻，假設(shè)Φ為以支撐集為索引的觀測矩陣列構(gòu)成的子矩陣，卡爾曼增益可以表示為：

(15)

由RIP定律可知，λΦΦT=1/(1-δK)，表示為ΦΦT的最大特征值，因此卡爾曼增益的二范數(shù)可以表示為：

(16)

觀察可得，卡爾曼增益隨著濾波次數(shù)n的增加而遞減，濾波過程同時趨于穩(wěn)定。由于偽測量迭代框架中的卡爾曼增益表達(dá)式與卡爾曼濾波的卡爾曼增益表達(dá)式形式近似，因此當(dāng)估計值收斂穩(wěn)定后，偽支撐集必趨于穩(wěn)定，故偽測量框架下的卡爾曼增益也會隨著迭代次數(shù)k的增加而收斂。因此本文設(shè)置卡爾曼濾波算法的PM階段收斂的成立條件為：1)卡爾曼增益的范數(shù)模值是否小于收斂閾值ε；2)卡爾曼增益的范數(shù)模值是否遞減。

3 仿真與性能分析

由于本文信道模型為一階AR信道模型，所以本節(jié)重點考察優(yōu)化算法在靜態(tài)信道下的重構(gòu)性能。設(shè)置用作信道估計的導(dǎo)頻序列為64位PN序列，則觀測矩陣為導(dǎo)頻循環(huán)移位組成的托普利茲矩陣。分別從收斂性能和不同信噪比下的重構(gòu)性能對算法進(jìn)行分析。

實驗1：算法收斂性分析

本小節(jié)實驗考察在相同條件下，本文算法與已有算法的收斂性能與誤差下限。設(shè)置信道稀疏度為8，信噪比為10 dB，首先考察本文算法、Approximatel0-KFCS算法(A-KFCS)以及Carmi提出的傳統(tǒng)偽測量卡爾曼濾波壓縮感知算法(T-KFCS)在偽測量過程中均方誤差的收斂情況，對不同算法分別進(jìn)行Monte-Carlo仿真，如圖1。

圖1 不同算法的收斂過程對比Fig.1 The convergence process comparison between different algorithms

可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，不同算法的均方誤差均有降低，但本文算法的均方誤差下降最快，且誤差下限更低。進(jìn)一步分析可知，由于對稀疏性的約束更強，近似l0范數(shù)框架下的求解性能遠(yuǎn)好于l1范數(shù)框架。設(shè)置信道條件不變，考察本文算法和A-KFCS算法的收斂指標(biāo)變化情況，如圖2。

圖2 不同算法收斂指標(biāo)的變化過程對比Fig.2 The change of convergence index comparison between different algorithms

可以看出，本文算法相對于同為近似l0框架下的A-KFCS算法，收斂指標(biāo)的收斂速度更快。由于收斂條件(2)的存在，避免了偽測量過程初始階段收斂指標(biāo)值過小導(dǎo)致提前退出迭代的問題。同時可以看出，由于本文算法引入了Levenberg-Marquardt方法，使得收斂指標(biāo)的值抖動程度降低，總體上能夠保持一致減少，增強了收斂指標(biāo)的有效性。

實驗2：算法性能分析

本小節(jié)實驗考察具體通信場景下，本文算法、最小二乘法、A-KFCS和T-KFCS算法的信道估計性能。設(shè)置信道模型為IEEE802.16的SUI-3模型，信道參數(shù)如表1。

表1 信道參數(shù)Tab.1 The channel parameters

為了對比分析簡便，設(shè)置信噪比變化范圍0～16 dB，變化步長為2，調(diào)制方式為QPSK，數(shù)據(jù)幀長度為512，均衡方式為MMSE頻域均衡，其他條件不變，對不同算法分別進(jìn)行Monte-Carlo仿真，結(jié)果如圖3。

圖3 不同信噪比下的算法性能對比Fig.3 The estimation performance comparison between different algorithms

可以看出，在同等條件下，本文算法的信道估計性能更好，相對于其他算法，性能隨著信噪比提高提升得更快，在較高信噪比條件下性能優(yōu)勢明顯。但必須指出的是，現(xiàn)在大多數(shù)現(xiàn)成的信道模型并不符合壓縮感知理論框架的稀疏特性要求，同時，KFCS算法在處理復(fù)數(shù)目標(biāo)時性能有較大程度下降，但應(yīng)用于主要影響因素為碼間干擾、多普勒頻偏較低的場景時，相對于其他傳統(tǒng)估計算法性能突出。

4 結(jié)論

本文提出了改進(jìn)的卡爾曼濾波壓縮感知信道估計算法。該算法重點從重構(gòu)精度和自適應(yīng)收斂對偽測量過程進(jìn)行了優(yōu)化，利用Levenberg-Marquardt方法調(diào)整了偽測量過程的協(xié)方差矩陣，解決了估計誤差不能一致減少的問題，保證了算法的全局收斂性；根據(jù)卡爾曼增益設(shè)置了迭代收斂條件，解決了偽測量過程的自適應(yīng)問題。仿真分析表明，在同等條件下，本文算法的估計精度和收斂速度有較大程度提高，考慮到卡爾曼濾波壓縮感知算法在跟蹤時變信道的優(yōu)勢，該算法在高速率移動通信系統(tǒng)中可以得到廣泛應(yīng)用。

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An Improved Channel Estimation Algorithm Based on Kalman Filter Compressed Sensing

LIN Siming1,2, PENG Weidong2, LIN Zhiguo1,2, LI Rui1,2

(1. College of Equipment Management and Safety Project, Air Force Engineering University, Xi’an 710051，China;2. Equipment Development and Application Research Department，Air Force Engineering University, Xi’an 710051，China)

In order to improve the accuracy and efficiency of Pseudo measurement process, an improved channel estimation algorithm based on Kalman filtered compressed sensing was proposed. This algorithm optimized the PM process, and the Levenberg-Marquardt method was used to optimize the covariance matrix in order to maintain the reduction of the evaluated error, which ensured the global convergence of the algorithm. The convergence condition was defined according to the value of Kalman filter gain. The simulation results showed that, under the same simulation condition, the estimation accuracy and convergence speed were improved greatly compared to the traditional algorithm, which was also shown under the SUI-3 channel condition.

compressed sensing channel estimation; Kalman filter; pesudo measurement; Levenberg-Marquardt method

2016-05-05

國家自然科學(xué)基金項目資助(61201209)；陜西省電子信息系統(tǒng)集成重點實驗室基金項目資助(2011ZD09)

林思銘(1992—)，男，福建福州人，碩士研究生，研究方向：壓縮感知，信道編碼。E-mail:listenm7@163.com。

TN911.5

A

1008-1194(2016)06-0099-05