高 偉，葉 攀，許偉通

（哈爾濱工程大學自動化學院，哈爾濱 150001）

改進的自適應衰減卡爾曼濾波算法

高 偉，葉 攀，許偉通

（哈爾濱工程大學自動化學院，哈爾濱 150001）

SINS／GPS組合導航系統(tǒng)的融合算法主要是卡爾曼濾波，卡爾曼濾波實現(xiàn)最優(yōu)估計的前提是系統(tǒng)的模型和隨機噪聲信息必須準確已知；實際情況下，大部分系統(tǒng)的模型和隨機噪聲信息不完全可知，這可能會導致濾波器估計精度下降；針對這一問題，根據(jù)求解遺傳因子的方法不同對傳統(tǒng)的自適應衰減卡爾曼濾波進行改進，提出一種改進的自適應衰減卡爾曼濾波；改進后的算法分別適用于系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計模型不準確可知和量測噪聲統(tǒng)計模型不準確可知兩種情況，分別對應于兩種濾波算法，并且二者具有統(tǒng)一的濾波框架；仿真結果表明，改進的自適應衰減卡爾曼濾波比卡爾曼濾波精度較高，有效解決了因為噪聲模型不準確導致的精度下降問題。

組合導航系統(tǒng)；自適應衰減卡爾曼濾波；遺忘因子；噪聲模型

0 引言

捷捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng) （strapdown inertial navigation system，SINS）作為一種自主式導航系統(tǒng)，已經(jīng)被廣泛應用于艦船導航、飛機制導、水下導航等領域。GPS／SINS組合導航系統(tǒng)引入GPS的位置、速度信息為觀測量，克服了單一SINS的誤差隨時間積累的缺點。

GPS／SINS組合導航系統(tǒng)進行數(shù)據(jù)融合時使用的是卡爾曼濾波（Kalman Filter，KF），卡爾曼濾波器是一種最優(yōu)估計，但是前提是系統(tǒng)的模型和隨機噪聲信息必須準確已知。實際情況下，大部分系統(tǒng)的模型和隨機噪聲信息不完全可知，這可能會導致濾波器估計不準確甚至發(fā)散。為此，有學者提出自適應衰減卡爾曼濾波器（AdaptiveFadingKalmanFilter，AFKF）［1］，來解決系統(tǒng)系統(tǒng)噪聲不完全可知的問題，但這些方法只針對系統(tǒng)噪聲不完全可知的情況，沒有考慮量測噪聲不完全可知的情況，并且?guī)в屑s束條件［2 3］。

針對上述問題，本章提出基于新息協(xié)方差的改進AFKF，來補償未知的噪聲信息造成的影響，改進AFKF分別適用于系統(tǒng)噪聲不完全可知的情況和量測噪聲不完全可知的情況，并且二者具有統(tǒng)一的濾波框架。

1 自適應衰減卡爾曼濾波算法

考慮如下線性離散時間隨機系統(tǒng)：

式中，xk是n×1狀態(tài)矢量，zk是m×1量測矢量，Φk是狀態(tài)轉移矩陣，Hk是量測矩陣。系統(tǒng)噪聲和量測噪聲的序列wk、vk都是高斯白噪聲，Qk、Rk為對應的方差陣。

為了補償不完整噪聲信息的影響，將遺忘因子λk引入誤差協(xié)方差方程，形式如下：

定義1：

對于式（1）表示的線性隨機系統(tǒng)，系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計模型不完整的情況，其離散時間自適應衰減卡爾曼濾波器（AFKF）［4］為：

式中，ηk是濾波器的新息，Ck是計算的新息協(xié)方差，ˉCk是估計的新息協(xié)方差，M是窗口尺寸，Pk（－）是計算的KF的誤差協(xié)方差。

2 改進的自適應衰減卡爾曼濾波算法

式（9）成立的前提條件是HkT列滿秩，并且只針對系統(tǒng)噪聲不完全可知的情況，為了避免這些限制，對求解遺忘因子的方法進行改進，提出改進的自適應衰減卡爾曼濾波。

當前時刻的新息協(xié)方差的估計值：

新息主要由誤差決定，新息協(xié)方差可以很好地反應當前時刻誤差的影響，因此未知的系統(tǒng)噪聲信息會使誤差協(xié)方差和新息協(xié)方差都增加。在式（4）中量測方差Rk保持不變，這表明αk表征的新息協(xié)方差的增加是由λk表征的誤差協(xié)方差的增加導致的。Pk（－）的增加量可以補償系統(tǒng)噪聲信息不完整產(chǎn)生的影響，如果增加的誤差協(xié)方差大于Rk，可以認為αk近似等于λk。那么，稱這種AFKF為“調諧Pk的 AFKF”。

對于量測方程不完整的情況，同上述情況一樣，未知的量測方程信息會使誤差協(xié)方差和新息協(xié)方差都增加。這種情況下可以認為αk表征的新息協(xié)方差的增加是由量測噪聲協(xié)方差Rk的增加導致的，誤差協(xié)方差Pk（－）保持不變。Rk的增加導致Kk的減少，Kk的減少量可以補償未知的量測方程信息產(chǎn)生的影響。假設取λk＝1，則誤差協(xié)方差保持不變ˉPk（－）＝Pk（－）。設計濾波器的增益變?yōu)樵瓉淼?，濾波增益的減小意味著更少的利用量測信息，濾波增益的減少使量測噪聲協(xié)方差Rk變?yōu)棣羕Rk，如式（5）所示。稱這種AFKF為“調諧Rk的AFKF”。第二種方法得到的濾波增益為：

定義2：

對于式（1）表示的線性隨機系統(tǒng)，系統(tǒng)噪聲不完全可知的情況，即調諧Pk的AFKF，其離散時間自適應衰減卡爾曼濾波器（AFKF）與定義1比較，需要把式（5）、（6）換成式（12）、（13）：

定義3：

對于式（1）表示的線性隨機系統(tǒng)，量測噪聲不完全可知的情況，即調諧Rk的AFKF，其離散時間自適應衰減卡爾曼濾波器（AFKF）與定義1比較，需要把式（5）、（6）換成式（14）、（15）：

圖1表示的是改進的AFKF的原理，該AFKF為系統(tǒng)噪聲信息不完整和量測噪聲信息不完整兩種情況提供了統(tǒng)一的濾波框架，利用新息求解的遺忘因子能夠自動適應并補償未知信息造成的影響。同時，該算法計算量較小，遺忘因子的計算較簡單，能夠應用于比較復雜的線性隨機系統(tǒng)。

圖1 AFKF原理框架圖

3 濾波模型

利用AFKF對系統(tǒng)的參數(shù)進行估計時，首先要建立狀態(tài)方程和量測方程，具體過程如下：

將加速計零偏和陀螺漂移擴展至狀態(tài)量中，狀態(tài)方程基本形式為：

式中，狀態(tài)量為：

狀態(tài)矩陣為：

選取慣導解算的位置與GPS提供的位置的差值作為觀測量，量測方程為：

式中，H＝［02×2diag（1，1） 02×3］；LI、λI為慣導的解算值；LG，λG為GPS測量值。

4 仿真分析

仿真初始條件設置如下：

1）陀螺和加速度計的輸出信號由捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)模擬器產(chǎn)生，陀螺常值漂移為0.01°／h，加速度計常值零偏為10－4g；系統(tǒng)噪聲和測量噪聲均設為高斯白噪聲。

2）卡爾曼濾波的初始條件：X（0）各分量都取0；

圖2 誤差對比圖

3）載體以Vx＝2 m／s，Vy＝2 m／s的速度勻速直行；導航開始階段初始姿態(tài)角誤差：0.05°，0.05°，0.1°；初始經(jīng)度λ＝126.670 5°，初始緯度L＝45.779 6°。

設測量噪聲完全可知，系統(tǒng)噪聲不完全可知，則基于調諧Pk的AFKF的SINS／GPS組合導航系統(tǒng)仿真結果如圖2所示。

從圖2可以看出，與KF相比基于調諧Pk的ATKF的SINS／GPS組合導航系統(tǒng)導航參數(shù)收斂較快，收斂精度較高，尤其是位置誤差達到了很高的精度。

在相同仿真條件下，設系統(tǒng)噪聲完全可知，測量噪聲不完全可知，則基于調諧Rk的AFKF的SINS／GPS組合導航系統(tǒng)仿真結果如圖3所示。

圖3 誤差對比圖

從圖3可以看出，與KF相比基于調諧Rk的AFKF的SINS／GPS組合導航系統(tǒng)導航參數(shù)收斂較快，但位置誤差的收斂精度相比于基于調諧Pk的AFKF較低，這是由于位置噪聲的統(tǒng)計信息不準確可知導致的，但相比于KF收斂精度較高。

5 結論

為了解決SINS／GPS組合導航系統(tǒng)中噪聲統(tǒng)計信息不完整造成的影響，提出改進的自適應衰減卡爾曼濾波。改進的算法簡化了遺忘因子的求解，可以分別適用于系統(tǒng)噪聲不完全可知和量測噪聲不完全可知兩種情況，并且二者具有統(tǒng)一的濾波框架。對算法的仿真結果表明，改進的算法可以很好的補償噪聲信息不完全可知造成的影響，對提高SINS／GPS組合導航系統(tǒng)的導航精度有實際的意義。

［1］Kim KH，Lee J G，Chan G P.Adaptive Two－Stage Extended Kalman Filter for a Fault－Tolerant INS－GPS Loosely Coupled System［J］.IEEE Transactions on Aerospace＆Electronic Systems，2009，45（1）：125-137.

［2］Hu Y M，Qin Y Y.Notice of Retraction Adaptive two－stage Kalman filter in the presence of random bias［A］.2010 3rd IEEE International Conference on Computer Science and Information Technology（ICCSIT）［C］.IEEE，2010.

［3］Kim K H，Lee J G，Chan G P.Adaptive two－stage Kalman filter in the presence of unknown random bias［J］.International Journal of AdaptiveControl＆Signal Processing，2006，20（7）：305 -319.

［4］Hide C，Moore T，Smith M.Adaptive Kalman filtering algorithms for integrating GPS and low cost INS［A］.Position Location and Navigation Symposium 2004［C］.2004：227-233.

Improved Adaptive Fading Kalman Filter Algorithm

Gao Wei，Ye Pan，Xu Weitong

（Automation College，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

The fusion algorithm of SINS／GPSintegrated navigation system is mainly based on Kalman filter.Kalman filter is the optimal estimation on the conditions that system model and random noise information are accurately known.In practice，most system model and random noise information are not completely known，which may lead to filter estimation accuracy decline.Aiming at this problem，this paper improves the traditional adaptive fading Kalman filter according to the method of solving forgetting factor，and proposes an improved adaptive fading Kalman filter.The improved algorithm respectively applies in the cases that system noise statistical model cannot be accurately known and measurement noise statistical models cannot be accurately known，respectively corresponding to the two filter algorithms.What’s more，they have a unified filter framework.The simulation results show that the improved adaptive fading Kalman filter is more accurate than Kalman filter and it can effectively solves the accuracy decline problem caused by the inaccurate noise model.

integrated navigation system；adaptive fading Kalman filter；forgetting factor；noise model

1671-4598（2016）08-0190-03

10.16526／j.cnki.11－4762／tp.2016.08.051

：U666.1

：A

2016-01-16；

：2016-02-11。

國家自然科學基金（51379042）；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金（heucfq1404）。

高 偉（1977-），男，黑龍江哈爾濱人，博士，教授，主要從事捷聯(lián)導航技術、光學陀螺技術、海洋運載器綜合導航技術方向的研究。