張鵬程

（西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院，重慶 400715）

基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論應(yīng)用在電網(wǎng)結(jié)構(gòu)的探討

張鵬程

（西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院，重慶 400715）

隨著我國的經(jīng)濟越來越繁榮，發(fā)電廠、變電站、輸電線路以及愈來愈多的負(fù)荷急劇增長，致使我國的電力網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)日益錯綜復(fù)雜，在系統(tǒng)運行過程中常有線路過載開斷，并導(dǎo)致一系列故障發(fā)生。針對國內(nèi)外近十多年來的大規(guī)電網(wǎng)解裂事故，利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，深入剖析整體性電力網(wǎng)絡(luò)連鎖故障的成因及影響因素，從另一角度分析電力網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的合理性，以達(dá)到降低系統(tǒng)故障概率的目的。

電網(wǎng)結(jié)構(gòu)；復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；小世界特性；無標(biāo)度；過載開斷

0 引言

具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無標(biāo)度中部分或全部性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)稱為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。在復(fù)雜的電力網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，節(jié)點可以表示發(fā)電廠，變電站，個體客戶等，邊則可以表示為輸電線路，對于不同的節(jié)點之間，他們所產(chǎn)生的連接強度（邊的重要程度）也不甚相同。

1 自組織臨界態(tài)

自組織特性為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的思想之一，自組織為某系統(tǒng)的自行發(fā)展演化或自發(fā)形成另一種結(jié)構(gòu)和功能的一類系統(tǒng)。而隨著系統(tǒng)的逐步壯大，進入到某個臨界狀態(tài)，若稍有微小擾動，系統(tǒng)便會發(fā)生震蕩，甚至崩潰，此狀態(tài)稱為自組織臨界狀態(tài)。

在電力網(wǎng)絡(luò)運行過程中，日益增加的用電客戶為電力網(wǎng)絡(luò)聚集了大量負(fù)荷。此外，電網(wǎng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化、線路維護檢修及并網(wǎng)等措施無法跟上負(fù)荷的增長，這使得線路運行裕度進一步減小，而此時的電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)就越接近自組織臨界態(tài)。在極其接近系統(tǒng)臨界態(tài)時，網(wǎng)絡(luò)上任何一個微小的擾動或誤操作均有可能導(dǎo)致電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)模性連鎖故障。

2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及其特征參數(shù)

研究人員在描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的具體表現(xiàn)時提出了一些特征參量，以下五個基本特點最為重要，即：聚類系數(shù)（C），特征路徑長度（L），度分布（K），節(jié)點介數(shù)（S）和邊介數(shù)（D）。

2.1 聚類系數(shù)（C）

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)C是用來表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點聚集程度的參數(shù)，即：在含有n個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)中，ai表示頂點為i的所有三角形個數(shù)；bi則表示頂點為i的所有三元組個數(shù)。每個節(jié)點的聚類系數(shù)可表示為ci=ai/bi。則整體網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)定義為

2.2 特征路徑長度（L）

在有n個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，假設(shè)其中有2個節(jié)點A和B，則dAB定義為連接這2個節(jié)點最短路徑所需要邊的條數(shù)。若對所有節(jié)點對最短路徑的邊數(shù)求平均，則可得到該網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的特征路徑長度為

2.3 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的度分布與度（k）

度是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中非常重要的概念。節(jié)點A的度kA表示為該節(jié)點在此網(wǎng)絡(luò)中連接其他節(jié)點的數(shù)量。某個節(jié)點的度數(shù)越大，則該節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中的重要程度就越高，反之則越低。平均度表示為網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點度的平均值，記為〈k〉。網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點度分布情況可用函數(shù)p(k)來表示。p(k)描述了網(wǎng)絡(luò)中隨機選中的節(jié)點恰好為k的概率。

2.4 節(jié)點介數(shù)(S)與邊介數(shù)(D)

節(jié)點介數(shù)(S)表示為通過某節(jié)點最短路徑所需要的次數(shù)；線路介數(shù)(D)則表示為通過該線路最短路徑所需的次數(shù)。

3 小世界模型和特性

小世界網(wǎng)絡(luò)特性是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論中重要的特性之一。學(xué)者Watts揭示了美國西部電網(wǎng)的小世界特性，Cortez等人在2002年證明了巴西電力網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性，而孟仲偉等人在2004年驗證了我國部分區(qū)域性電網(wǎng)也具有小世界特性。小世界網(wǎng)絡(luò)特性描述了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的部分網(wǎng)絡(luò)既具有規(guī)則網(wǎng)絡(luò)高聚類系數(shù)又具有隨機網(wǎng)絡(luò)較小的特征路徑長度。

3.1 WS小世界模型

由 Cornell大學(xué)的博士生 Watts和其導(dǎo)師Strogatz共同建立了WS小世界模型。圖1為WS小世界模型的形成結(jié)構(gòu)演化過程，該圖是一個節(jié)點總數(shù)為14的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上，進行隨機重連已有的邊：給定概率P，以P的概率將規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中已有的邊斷開并進行重新連接（重連含義為被選中的邊的一端保持原狀態(tài)不變，另一端從網(wǎng)絡(luò)中隨機選擇節(jié)點連接，且所有節(jié)點間沒有重復(fù)連接）。如圖1，概率從P=0變化到P=1時，小世界網(wǎng)絡(luò)模型可由規(guī)則網(wǎng)絡(luò)變化到隨機網(wǎng)絡(luò)。在隨機性增大的過程中可逐步演變?yōu)閃S小世界網(wǎng)絡(luò)，若重連概率持續(xù)增加，網(wǎng)絡(luò)將進化為隨機網(wǎng)絡(luò)。

圖1 WS小世界網(wǎng)絡(luò)模型演化圖

3.2 小世界特性

小世界網(wǎng)絡(luò)本身具有高度的聚類系數(shù)和較小的特征路徑長度，它本身具有的這兩個特點將網(wǎng)絡(luò)中具有的信息、能量、指令、故障等因素在小世界網(wǎng)絡(luò)可以大面積地、快速地傳播。

如表1，數(shù)據(jù)所展示的為美國西部電網(wǎng)和中國部分區(qū)域型電網(wǎng)的基本網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，〈k〉、C、L分別為平均度數(shù)、聚類系數(shù)，以及特征路徑長度，Crandom和Lrandom分別表示與實際情況下的系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的相同節(jié)數(shù)點和〈k〉值在隨機網(wǎng)絡(luò)下的聚類系數(shù)和特征路徑長度。

由表1可知，美國西部電網(wǎng)和中國北方電網(wǎng)及華北電網(wǎng)均具有小世界網(wǎng)絡(luò)特性，即擁有相對較高的網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)和較小的特征路徑長度，而中國川渝電網(wǎng)和中國廣東省電網(wǎng)均不具有小世界特性[1-5]。

4 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)特性和模型

無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)特性亦為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論中重要的特性之一，對無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)特性的研究可以探索電力網(wǎng)絡(luò)整體結(jié)構(gòu)的合理性，以及無標(biāo)度電網(wǎng)大致的事故傳播范圍。

4.1 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)特性

無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)特性是指每個節(jié)點的度數(shù)在概率學(xué)上分布大致遵循冪函數(shù)的規(guī)律，即

表1 美國西部電網(wǎng)和中國部分區(qū)域型電網(wǎng)的基本網(wǎng)絡(luò)參數(shù)

無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在系統(tǒng)自組織增長過程中有兩個重要因素。

a)增長：在電力網(wǎng)絡(luò)中的體現(xiàn)即新加入的發(fā)電廠、變電站等節(jié)點。

b)優(yōu)先連接：新加入的這些節(jié)點總是優(yōu)先與網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中節(jié)點度數(shù)或介數(shù)較大的一方連接，即“馬太效應(yīng)”（“富者更富”現(xiàn)象）。在新節(jié)點連接時，新節(jié)點連接到某節(jié)點j的概率同節(jié)點j的度數(shù)有關(guān)，則有

運用Matlab軟件基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)特性模擬由5個節(jié)點系統(tǒng)增長到230節(jié)點系統(tǒng)的多次仿真，得出節(jié)點度為k與節(jié)點度數(shù)概率為P（k）的分布。

基于230節(jié)點系統(tǒng)的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，可明顯觀察出少量的節(jié)點擁有大量的連接，而大多數(shù)節(jié)點只有少量的連接。

4.2 電網(wǎng)結(jié)構(gòu)與無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)特性

如圖2所示，分別對1990年—2002年華中電力網(wǎng)（γ∈ [2.4,3]），北美200 kV以上電網(wǎng)（γ=3.0左右），美國西部高壓電網(wǎng)（γ=4.0），1995年和2002年全國某區(qū)域電網(wǎng)的頂點度分布進行統(tǒng)計（γ=4.9，γ=5.2）。

圖2 不同γ值下的電網(wǎng)頂點度分布數(shù)統(tǒng)計圖

通過對片區(qū)性大型電網(wǎng)結(jié)構(gòu)的仿真，可得知在大型電力網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，部分電網(wǎng)系統(tǒng)擁有較為明顯的無標(biāo)度特性，即網(wǎng)絡(luò)度數(shù)高的電網(wǎng)節(jié)點擁有更多的連接，而度數(shù)較低的節(jié)點，連接數(shù)量較少。

5 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)典型的電力網(wǎng)絡(luò)連鎖故障動態(tài)模型

5.1 OPA模型及其基本表述

OPA模型由美國橡樹嶺國家實驗室ORNL （Oak Ridge National Laboratory） 與威斯康星大學(xué)電力系統(tǒng)工程研究中心 PSERC(Power System Engineering Research Center)和ALaska大學(xué)的研究者們共同構(gòu)造出的。在OPA模型中，輸電線路可能的故障有兩種。

a）慢過程：在時間的推移下，負(fù)荷在不斷增長，當(dāng)輸電線路將達(dá)到負(fù)荷的承受臨界狀態(tài)或者已經(jīng)過載，此時線路故障概率相當(dāng)高，即

b）快過程：線路負(fù)荷屬于正常值范圍，但由于隨機因素，如自然災(zāi)害、保護誤動作等原因?qū)е螺旊娋€路的開斷，其故障概率為P2，即

由實際情況中事件發(fā)生的概率可知，P1＞＞P2。而OPA模型主要考慮電力設(shè)施的隨機故障和線路過載時的連鎖故障。

6 案例分析

6.1 美加大停電

事故發(fā)生在2003年的8月14日的美國東北部和加拿大東部地區(qū)，受影響總?cè)丝诩s五千萬，負(fù)荷損失約為61 800 MW，停電時間約為29 h，事故波及美國的8個大州及加拿大的2個省，這也是北美史上影響范圍最大的一次事故。

這次事故是一起典型的在345 kV等級電壓下的由電網(wǎng)小世界特性而引發(fā)的連鎖事故傳播，在這次事故前夕，該區(qū)域正處夏季高溫天氣，電網(wǎng)系統(tǒng)運行負(fù)荷極大，已逐步接近電力網(wǎng)絡(luò)自組織臨界態(tài)。

美加大停電事故初始線路演化過程如下。

a)14:02，俄亥俄州S1點到A點的1條345 kV輸電線路由于線路過載而電纜下垂發(fā)生短路，且放電跳閘。

b)15:05，俄亥俄州C點到H點的1條345 kV輸電線路由于過負(fù)荷跳閘。

c)15:32，俄亥俄州H點到J點的1條345 kV聯(lián)絡(luò)輸電線路由于嚴(yán)重過載而跳閘。

d)15:41，俄亥俄州S2點到 SC點的 1條345 kV聯(lián)絡(luò)輸電線路由于過載而跳閘。

e)15:45，俄亥俄州T點到CC點的一條345 kV聯(lián)絡(luò)輸電線由于過負(fù)荷線路停止運行，之后重新投運，致使CC點內(nèi)的1臺變壓器停止運行。

f)16:06，俄亥俄州S3點到S2點的1條聯(lián)絡(luò)輸電線路由于過載跳閘。

從16:06后，到16：11左右，該區(qū)域電網(wǎng)迅速進入連鎖開斷期。美國東北部和加拿大東部電網(wǎng)作為一個聯(lián)合網(wǎng)絡(luò)在345 kV電壓等級下呈現(xiàn)小世界電網(wǎng)特性，即具有較大的聚類系數(shù)（C）和相對較小的特征路徑長度（L）。在故障初始階段，第一條345 kV高壓線路短路后，大量的電力負(fù)荷回流轉(zhuǎn)移到與該線路相鄰的線路，引起相鄰聯(lián)絡(luò)線路過載開斷，并形成連鎖故障。從初始聯(lián)絡(luò)線故障到全網(wǎng)奔潰在短時間內(nèi)發(fā)生，在此事件中，電網(wǎng)的小世界特性起到了推波助瀾的作用。最終，故障在整個電網(wǎng)中蔓延開來，引起頻率失步震蕩，繼而崩潰?？捎肙PA模型中慢過程建模此事故。

6.2 連鎖故障的形成

6.2.1 連鎖故障過程

由上述典型事故可繪故障流程圖如圖3所示。

圖3 連鎖事故流程圖

6.2.2 基于OPA模型影響電力網(wǎng)絡(luò)連鎖故障的因素

基于上述例子和結(jié)構(gòu)圖，可得知電力網(wǎng)絡(luò)連鎖故障大致跟兩個方面的因素有關(guān)。

a)連鎖故障與負(fù)載率η有直接關(guān)系。在OPA模型中的慢過程中，因線路裕度的逐步降低，線路負(fù)載率逐步增加，當(dāng)達(dá)到一定上限時，線路或變壓器等在一定概率下發(fā)生損壞并形成連鎖故障。

b)OPA模型的連鎖故障傳播過程中，可知電網(wǎng)系統(tǒng)故障均在不同時間段而進行著不同程度的擴散或震蕩，可認(rèn)為連鎖故障傳播與時間t有著一定關(guān)聯(lián)。根據(jù)負(fù)載率η與時間t可得線路跳開概率為

在單位時間內(nèi)，負(fù)載率越高，跳閘概率越大。而在不同的負(fù)載率下，持續(xù)時間越長，高負(fù)載率的線路跳開概率越大，且保護動作時間越短，人為的調(diào)整措施消除故障線路的可利用時間就越小，而保護誤動作導(dǎo)致連鎖故障概率就越大。在f函數(shù)里，f分別是t和η的單調(diào)函數(shù)。則有

7 無標(biāo)度與小世界電網(wǎng)結(jié)構(gòu)原理分析

7.1 基于冗余系數(shù)的電力網(wǎng)絡(luò)無標(biāo)度與小世界電網(wǎng)特性

文獻 [6]對無標(biāo)度與小世界電網(wǎng)進行線路連鎖故障N=200次的仿真，且假設(shè)初始只斷開2條線路?？傻镁€路的剩余功率P的百分?jǐn)?shù)與線路冗余系數(shù)μ的曲線，以及電力網(wǎng)絡(luò)大停電開始時間t與冗余系數(shù)μ的曲線。

在μ∈ [1,2]內(nèi)，隨著μ的增加，小世界電網(wǎng)的線路剩余功率整體上增長慢于無標(biāo)度電網(wǎng)。小世界網(wǎng)絡(luò)在μ＞1.8時，剩余功率達(dá)到90%以上，但無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)卻在μ＞1.2左右時剩余功率已經(jīng)達(dá)到90%以上，隨著剩余功率的提高，系統(tǒng)運行穩(wěn)定性及可靠性將逐步提高。當(dāng)μ＞1.65時，無標(biāo)度電網(wǎng)的剩余功率百分?jǐn)?shù)接近1，此時電網(wǎng)系統(tǒng)可靠性極高，大停電概率接近0。

小世界電網(wǎng)大停電開始時間t在μ∈ [1,2]內(nèi)緩慢增長，僅在μ＞1.8左右時t有較快增長趨勢。相比之下，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在μ∈ [1,1.65]內(nèi)大停電開始時間持續(xù)較快增長，且在同一μ值下遠(yuǎn)高于小世界網(wǎng)絡(luò)，在約μ＞1.5左右時大停電開始時間t開始快速增長，并在約μ＞1.65時接近無窮大，表明大停電故障概率接近0。

7.2 小世界與無標(biāo)度電網(wǎng)內(nèi)在特性分析

出現(xiàn)上述現(xiàn)象可由無標(biāo)度與小世界網(wǎng)絡(luò)內(nèi)在特性解釋。小世界網(wǎng)絡(luò)擁有較小的特征路徑長度（L）與較大的聚類系數(shù)（C），隨著冗余系數(shù)從1 到2的變化中，小世界網(wǎng)絡(luò)大停電時間增長緩慢，可表明小世界特性的電網(wǎng)發(fā)生故障概率較高，其內(nèi)在原因是，小世界電網(wǎng)特性在短時間內(nèi)可以將該線路的故障，在較短的電氣距離和節(jié)點較為集中的電力網(wǎng)絡(luò)推波助瀾的進行擴散性傳播，造成大范圍的級聯(lián)故障。而無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對隨機故障的魯棒性非常高，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中由高度數(shù)節(jié)點控制著整個網(wǎng)絡(luò)的連通性，隨著冗余系數(shù)的增加，高度數(shù)與高介數(shù)節(jié)點的供電可靠性也在逐步上升。當(dāng)冗余系數(shù)μ＞1.65時，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)達(dá)到相當(dāng)高程度的優(yōu)化，若再提高冗余系數(shù)則電網(wǎng)結(jié)構(gòu)將不會繼續(xù)明顯改善。在線路故障初期，若電網(wǎng)基于無標(biāo)度特性，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點度數(shù)滿足冪律分布，則可知系統(tǒng)中絕大部分為低度數(shù)節(jié)點。而低度數(shù)節(jié)點之間的特征路徑長度較長，且相對聯(lián)系小，線路開斷使得該節(jié)點被切除，從而使得連鎖故障被抑制，從而避免了大規(guī)模聯(lián)級故障的發(fā)生。且無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)小范圍內(nèi)的故障釋放了系統(tǒng)長期積累的壓力，從而在一定程度上減少大規(guī)模連鎖事故發(fā)生的概率。

8 降低大型復(fù)雜電網(wǎng)連鎖故障的建議

a)由上述網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分析，在大中型電網(wǎng)建設(shè)中應(yīng)規(guī)劃為以無標(biāo)度電網(wǎng)結(jié)構(gòu)框架為基礎(chǔ)，盡量避免小世界電網(wǎng)的形成。

b)提高網(wǎng)絡(luò)中高度數(shù)及高介數(shù)線路的冗余系數(shù)，加強維護高度數(shù)的變電站。且避免重要聯(lián)絡(luò)線路長時間過載，保證其連通性及可靠性。提高重要線路兩側(cè)繼電保器的耐久性，降低隱性故障的發(fā)生概率[7]。

c)人類對利益的追求是無限的，在不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的電網(wǎng)演化下，最終均會達(dá)到自組織臨界態(tài)。為減緩這一過程，需加強民間并網(wǎng)及各種發(fā)電設(shè)施的建設(shè)，并提高特高壓輸電線路的覆蓋范圍。

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Discussion on Power Grid Structure Based on Comp lex Network Theory

ZHANG Pengcheng

（School of Electronic Information,Southwest University,Chongqing 400715,China)

With the development of economy in our country becoming increasingly prosperous,the number of power plants, substations,transmission linesand power load increased sharply,asa result,the powergrid structure becomesmore andmore complicated. In the running process of the system,a series of faultoccurred due to overload release.In view of large-scale power system islanding both home and abroad in the past10 years,the complex network theory is adopted to analyze the causes and influencesofpower grid cascading failure in-depth soas to reduce faultprobability.

grid structure；complex network；smallworld property；scale-free networks；overload release

TM711;O157.5

A

1671-0320（2016）05-0010-05

2016-05-06，

2016-07-27

張鵬程（1991），男，山西太原人，2014級西南大學(xué)電子信息工程專業(yè)，在讀碩士。