扈詩揚(yáng)　汪芳宗

摘要：研究在潮流迭代求解過程中雅可比矩陣方程組的迭代求解方法及其收斂性。首先利用PQ分解法進(jìn)行潮流迭代求解，并針對(duì)求解過程中雅可比矩陣對(duì)稱且對(duì)角占優(yōu)的特性，對(duì)雅可比矩陣方程組采用高斯置信傳播算法（GaBP）進(jìn)行求解，再結(jié)合Steffensen加速迭代法以提高GaBP算法的收斂性。對(duì)IEEE118、IEEE300節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)和兩個(gè)波蘭互聯(lián)大規(guī)模電力系統(tǒng)進(jìn)行仿真計(jì)算后結(jié)果表明：隨著系統(tǒng)規(guī)模的增長，使用Steffensen加速迭代法進(jìn)行加速的GaBP算法相對(duì)于基于不完全LU的預(yù)處理廣義極小殘余方法（GMRES）具有更好的收斂性，為大規(guī)模電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的快速求解提供了一種新思路。

關(guān)鍵詞：潮流計(jì)算；PQ分解法；稀疏線性方程組；GaBP算法；GMRES算法；Steffensen加速迭代法

中圖分類號(hào)：TM744文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：An iterative algorithm and its convergence of the Jacobian matrix equations for load flow iterative solution were researched. First， the PQ decoupled method was used to solve load flow equations， and according to the feature that the Jacobian matrix of correction equations is sysmmetric and diagonally dominant， the Gaussian belief propagation （GaBP） algorithm was proposed for solving the Jacobian matrix equations. The Steffensen's iteration was used to speedup GaBP convergence. Numerical simulation tests on four systems including IEEE 118node system， IEEE 300node system and two Poland test systems indicate that， with the scale expanding， contrasting to the generalized minimal residual （GMRES） method with incomplete LU decompostion preconditioner， the convergence of GaBP with Steffensen's iteration is remarkable. The method provides a new idea for the fast power flow calculation in power systems.

Key words：power flow calculation； PQ decoupled method； sparse linear equations； Gaussian belief propagation （GaBP）； generalized minimal residual （GMRES）； Steffensen's iteration

1引言

潮流計(jì)算是電力系統(tǒng)運(yùn)行控制中最基本的工具，其結(jié)果可以幫助運(yùn)行調(diào)度人員了解電網(wǎng)的實(shí)際運(yùn)行情況，也可為后續(xù)分析計(jì)算如穩(wěn)態(tài)分析做準(zhǔn)備[1]。傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算通常選用PQ分解法或牛頓法[2]。PQ分解法是一種定雅可比法，同時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)有功主要決定于電壓相角的變化，而無功主要決定于電壓幅值的變化這一特性，進(jìn)行相關(guān)合理假設(shè)，具有簡單、快速、適應(yīng)性強(qiáng)且收斂可靠的優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于高壓電網(wǎng)在線計(jì)算[3]。而長期以來，牛頓法結(jié)合稀疏處理技術(shù)的直接求解法占主導(dǎo)地位。但當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模很大時(shí)，直接法存在矩陣三角分解耗時(shí)過長以及數(shù)值不穩(wěn)定等問題[4]。因此，迭代法近年來越來越受重視，已成為電力系統(tǒng)中求解線性方程組的主要方法[5]。

目前，迭代法中最令人關(guān)注的是所謂的Krylov子空間方法（Krylov subspace methoed），而應(yīng)用最廣的子空間迭代法應(yīng)該是廣義極小殘余方法（generalized minimal residual algorithm，GMRES）。在電力系統(tǒng)分析計(jì)算中，GMRES方法已得到了成功的應(yīng)用[6]。文獻(xiàn)[7]首次嘗試了將GMRES方法應(yīng)用于潮流計(jì)算。相關(guān)研究結(jié)果還表明：當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模越大時(shí)，GMRES方法的優(yōu)勢越明顯[8-9]。

高斯置信傳播算法（Gaussian beliefpropagation，GaBP）是Orishental等學(xué)者于2008年基于Belief Propagation（BP）方法[10]提出的一種針對(duì)對(duì)稱對(duì)角占優(yōu)線性方程組的迭代算法 [11]。它不同于經(jīng)典的迭代算法，也不同于Krylov子空間算法，GaBP算法對(duì)于對(duì)稱對(duì)角占優(yōu)線性方程組的求解具有良好的收斂性、更低的計(jì)算復(fù)雜性以及更高的并行性[11，16]。文獻(xiàn)[12]給出了一種改進(jìn)的GaBP算法，明顯改善了經(jīng)典GaBP算法的收斂性使之更加適合對(duì)稱對(duì)角占優(yōu)線性方程組的求解。隨著對(duì)算法的深入研究，GaBP算法已經(jīng)被成功應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域，比如，求解線性多用戶偵測問題[13]，基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法的大規(guī)模壓縮感知問題[14]以及分布式的波束形成問題[15]。另一方面，由于算法內(nèi)在的信息分布式處理特性，文獻(xiàn)[16]提出了基于GaBP算法的分布式并行算法，并用于求解大規(guī)模稀疏對(duì)稱對(duì)角占優(yōu)線性方程組。此外，分布式共享存儲(chǔ)并行處理環(huán)境發(fā)展迅速，分布式并行算法變得更有價(jià)值[17]。因此，將GaBP算法引入到潮流計(jì)算，對(duì)于今后研究大規(guī)模電力系統(tǒng)的分布式并行計(jì)算也是非常有意義的。

本文首先對(duì)使用PQ分解法后得到的雅可比矩陣的特點(diǎn)進(jìn)行簡要分析，然后對(duì)GaBP算法進(jìn)行介紹，進(jìn)而引出采用Steffensen加速迭代法進(jìn)行加速的GaBP算法（GaBP+Steffensen算法），并給出了Steffensen加速迭代方法在GaBP算法迭代計(jì)算過程中實(shí)現(xiàn)加速收斂的具體步驟。最后通過算例結(jié)果對(duì)比分析得到，與基于不完全LU方法（incomplete LU decompostion，ILU）的預(yù)處理GMRES算法（ILUGMRES算法）相比，GaBP算法具有更好的收斂性，因此GaBP算法可以有效地提高大規(guī)模電力系統(tǒng)潮流迭代求解的收斂性。

式中：A為線性方程組的系數(shù)矩陣，在本文中對(duì)應(yīng)雅可比矩陣J；b在本文中分別代表修正方程式中的ΔP/V和ΔQ/V；x為節(jié)點(diǎn)變量向量，本文中為所要求解的節(jié)點(diǎn)電壓和相角的不平衡量ΔV、Δθ。

由于指數(shù)表達(dá)式（4）相似于多元的高斯概率密度函數(shù)p（x），因此通過求解式（4）可知線性系統(tǒng)的解向量x實(shí)際上等于多元高斯概率密度函數(shù)p（x）中節(jié)點(diǎn)變量的均值向量，定義為μA-1·b。因此，求解線性系統(tǒng)問題轉(zhuǎn)換為求解多元高斯概率密度函數(shù)p（x）中節(jié)點(diǎn)變量的均值。關(guān)于GaBP算法的詳細(xì)推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)[18]。

綜上所述，GaBP算法將求解線性方程組問題轉(zhuǎn)化為特定圖上的概率推理問題，避免了直接法中的潛在復(fù)雜操作，并且對(duì)于對(duì)稱對(duì)角占優(yōu)線性方程組的求解具有良好的收斂性。因此，將GaBP算法應(yīng)用于本文中雅可比矩陣方程組的求解是適宜的。

4Steffensen加速迭代方法在GaBP算法

求解雅可比矩陣方程組中的應(yīng)用

4.1Steffensen加速迭代方法

在已知xk，xk+1=g（xk），xk+2=g（g（xk））時(shí)，經(jīng)過簡單的算術(shù)運(yùn)算，還可以得到更為接近于真實(shí)值的近似解，這就是Steffensen加速迭代思想，即Steffensen加速迭代法，其迭代公式如下[19]：

yk=g（xk）zk=g（yk）k+1=xk-（yk-xk）2zk-2yk+xk（5）

式中，k為迭代次數(shù)，yk、zk均為第k次迭代的變量，g（）為GaBP算法中的迭代公式，k+1為經(jīng)Steffensen加速后得到的新的xk+1。

在GaBP算法執(zhí)行過程中，Steffensen加速迭代法被用在迭代計(jì)算過程中，從變量xk為初值，經(jīng)過兩次迭代計(jì)算得到y(tǒng)k和zk，再計(jì)算得到新的xk+1，重復(fù)此過程直到滿足收斂條件為止。

4.2Steffensen加速迭代方法實(shí)現(xiàn)的具體步驟

GaBP算法求解雅可比矩陣方程組主要有初始化和迭代兩部分，其具體算法步驟如下：

1.初始化：

5算例分析

在CPU為Core i5 3.0 GHz，內(nèi)存為4G的PC上，使用Matlab2014a平臺(tái)并利用Matpower 5.0軟件包對(duì)基于GaBP算法的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算進(jìn)行仿真測試，然后與基于ILU的預(yù)處理GMRES算法的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算進(jìn)行對(duì)比分析。

選用IEEE118、IEEE300節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)及兩個(gè)波蘭互聯(lián)大規(guī)模電力系統(tǒng)對(duì)所提算法進(jìn)行測試和對(duì)比分析，其中測試系統(tǒng)參數(shù)均取自Matpower 5.0軟件包，系統(tǒng)潮流數(shù)據(jù)見表1。

同樣地，在計(jì)算波蘭2383節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)時(shí)，對(duì)ILU-GMRES算法與GaBP+Steffensen算法在第二次外迭代時(shí)的收斂過程進(jìn)行了追蹤。對(duì)比情況（分別需迭代42次、12次后收斂）如圖2所示。而計(jì)算波蘭2736節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)時(shí)，則對(duì)ILUGMRES算法、GaBP+Steffensen算法在第一次外迭代時(shí)的收斂過程進(jìn)行了追蹤。對(duì)比情況（分別需迭代64次、45次后收斂）如圖3所示。

5結(jié)論

在采用PQ分解法進(jìn)行電力系統(tǒng)潮流計(jì)算時(shí)，GaBP算法是求解其雅可比矩陣方程組的有效方法。經(jīng)理論分析以及對(duì)IEEE118、IEEE300節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)和兩個(gè)波蘭互聯(lián)大規(guī)模電力系統(tǒng)的測試結(jié)果表明：

1）經(jīng)過Steffensen加速迭代法加速后的GaBP算法，收斂性有明顯提高。

2）隨著系統(tǒng)規(guī)模的增長，在每次外迭代時(shí)，經(jīng)Steffensen加速迭代法加速后的GaBP算法增加的迭代次數(shù)較基于ILU的預(yù)處理GMRES算法更少，具有更好的收斂性。

綜上所述，本文應(yīng)用于潮流迭代計(jì)算中的經(jīng)Steffensen加速迭代法加速的GaBP算法是一種新穎且收斂性良好的求解雅可比矩陣方程組的計(jì)算方法。

參考文獻(xiàn)

[1]嚴(yán)正， 范翔， 趙文愷， 等. 自適應(yīng)LevenbergMarquart方法提高潮流計(jì)算收斂性[J]. 中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2015， 35（8）： 1909-1910.

[2]蘇津， 陽育德， 覃智君. 基于矢量化運(yùn)算模式的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算[J]. 電網(wǎng)技術(shù)， 2008， 32（3）： 88-92.

[3]劉凱， 陳紅坤， 向鐵元， 等. 以對(duì)稱反對(duì)稱分裂預(yù)條件處理GMRES（m）的不精確牛頓法潮流計(jì)算[J]. 電網(wǎng)技術(shù)， 2009， 33（19）： 123-124.

[4]汪芳宗， 何一帆， 葉婧. 基于稀疏近似逆預(yù)處理的牛頓-廣義極小殘余計(jì)算方法[J]. 電網(wǎng)技術(shù)， 2008， 32（14）： 51-52.

[5]LEON F D，SEMLYEN A. Iterative solvers in the Newton power flow problem： preconditioners， inexact solutions and partial Jacobian updatesp[J]. IEEE Proceedings Online， 2002， 149（4）： 479-484.

[6]汪芳宗. 大規(guī)模電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性數(shù)值計(jì)算方法[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 2013： 62-79.

[7]SEMLYEN A. Fundamental concepts of a Krylov subspace power flow methodology[J]. IEEE Transactions on Power Systems， 1996， 11（3）： 1528-1537.

[8]廖小兵， 王文超， 李奔. ILU預(yù)處理NewtonKrylov方法的潮流計(jì)算[J]. 計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化， 2015， 34（4）： 46-49.

[9]REIJER I， DOMENICO J P L， CORNELIS V，et al.Scalable NewtonKrylov solver for very large power flow problems[J]. IEEE Transactions on Power Systems， 2012， 27（1）： 390-396.

[10]PEARL J. Probabilistic Reasoning in Intelligent System： Nerworks of Plausible Inference[M]. New York： Morgan Kaufmann， 1988.

[11]SHENTAL O， SIEGEL P H， WOLF J K，et al.Gaussian bilief propagation solver for system of linear equations[C]// IEEE International Symposium on Information Thoery. Toronto： IEEE， 2008： 1863-1867.

[12]JOHNSON J K，BICKSON D，DOLEV D.Fixing convergence of Gaussian belief propagation[C]// IEEE International Symposium on Information Thoery. Seoul： IEEE， 2009： 1674-1678.

[13]BICKSON D， DOLEV D， SHENTAI O. Gaussian belief propagation based multiuser detection[C]// IEEE International Symposium on Information Theory. Toronto： IEEE， 2008： 1878-1882.

[14]SEEGER M W， WIPF D P. Varational Bayesian inference techniques[J]. IEEE Signal Process， 2010， 27（6）： 8191.

[15]LOONG N B， EVANS J S， HANLY S V. Distributed downlink beamforming with cooperative base stations[J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2008， 54： 5491-5499.

[16]ELKURDI Y， GROSS W J， GIANNACOPOULOS D. Efficient Implementation of Gaussian Belief Propagation Slover for Large Sparse Diagonally Linear System[J]. IEEE Transaction Magnetics， 2012， 48（2）： 471-474.

[17]鄭漢垣. 大規(guī)模稀疏線性方程組求解的并行GaBP算法研究[D]. 上海： 上海大學(xué)， 2014.

[18]BICKSON D. Gaussian Belief Propagation： Theory and Application[D]. Jerusalem：The Hebrew University of Jerusalem， 2009.

[19]宋葉志. MATLAB數(shù)值分析與應(yīng)用[M]. 北京： 機(jī)械工業(yè)出版社， 2009： 149-159.

[20]ELKURDI Y， GIANNACOPOULOS D， GROSS W J. Relaxed Gaussian Belief Propagation[C]// IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings. Cambridge： IEEE， 2012： 2003-2004.

[21]BARRETT R， BERRY M， CHAN T， et al. Templates for Solution of Linear System： Building Blocks for Iterative Methods[M]. Siam： Society for Industrial and Applied Mathematics， 1987.