劉東，張?jiān)懒?，陳?/p>

1中國(guó)人民解放軍91404部隊(duì)，河北秦皇島066001

2海軍駐上海江南（造船）集團(tuán)有限責(zé)任公司軍事代表室，上海201913

環(huán)肋圓柱殼臥置狀態(tài)下的重力變形分析

劉東1，張?jiān)懒?，陳武2

1中國(guó)人民解放軍91404部隊(duì)，河北秦皇島066001

2海軍駐上海江南（造船）集團(tuán)有限責(zé)任公司軍事代表室，上海201913

為了研究潛艇耐壓殼體合攏階段端口處在自身重力作用下產(chǎn)生的變形，基于板殼理論的有矩理論和無(wú)矩理論，推導(dǎo)環(huán)肋圓柱殼自由端變形的簡(jiǎn)單計(jì)算公式，計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了公式的可靠性。結(jié)果表明：當(dāng)?shù)撞亢?jiǎn)支的薄壁圓柱殼受到自身重力影響時(shí)，自由端變形量與圓柱殼內(nèi)半徑的四次方成正比，與壁厚的二次方成反比；對(duì)于懸臂圓柱殼，重力載荷對(duì)自由端面的圓度影響不大，隨著自由端與固支端的距離增大自由端變形量呈非線性遞增趨勢(shì)，且增加速率逐漸增大。隨著圓柱殼內(nèi)半徑增加，自由端變形量逐漸降低，當(dāng)圓柱殼內(nèi)半徑是縱向長(zhǎng)度的0.75倍時(shí)，自由端變形量達(dá)到最小，此后，隨著圓柱殼內(nèi)半徑增加而逐漸增大。研究結(jié)果可為環(huán)肋圓柱殼臥置狀態(tài)下的重力變形計(jì)算和加強(qiáng)措施提供參考。

環(huán)肋圓柱殼；重力變形；結(jié)構(gòu)力學(xué)；彈性力學(xué)；板殼理論；無(wú)矩理論

0 引 言

20世紀(jì)40年代以來(lái)，造船模式大致經(jīng)歷了4個(gè)階段，包括按功能/系統(tǒng)組織生產(chǎn)、按區(qū)域/系統(tǒng)組織生產(chǎn)、按區(qū)域/階段/類(lèi)型組織生產(chǎn)以及按區(qū)域/階段/類(lèi)型一體化組織生產(chǎn)，最后階段的造船模式又稱(chēng)為現(xiàn)代造船模式［1-4］，該模式有利于加強(qiáng)船舶工業(yè)企業(yè)管理、縮短造船周期、提高建造效率及現(xiàn)代化管理水平，從而被國(guó)內(nèi)外造船界公認(rèn)為當(dāng)今最先進(jìn)的造船模式。但是，隨著現(xiàn)代造船模式的興起，在傳統(tǒng)造船模式中沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)的問(wèn)題也逐漸顯現(xiàn)。以潛艇建造為例，作為典型環(huán)肋圓柱殼的耐壓殼體在合攏施工階段均處于臥置狀態(tài)，按照總段模塊化建造要求，很多設(shè)備在組裝前已經(jīng)安裝到位，臥置的圓柱殼在自身重力作用下會(huì)產(chǎn)生變形。當(dāng)變形超出一定范圍后，將對(duì)耐壓殼體大合攏階段的裝配造成影響，例如，在殼體的橢圓度較大時(shí)強(qiáng)行裝配圓柱殼圈會(huì)產(chǎn)生較大應(yīng)力，嚴(yán)重時(shí)可能產(chǎn)生裂紋，造成安全隱患。

目前，解決該問(wèn)題的通常做法是在圓柱殼的端部設(shè)置內(nèi)部支撐結(jié)構(gòu)，以避免臥置狀態(tài)下因自身重力作用及其他載荷原因引起變形。但按模塊化設(shè)備安裝施工的需要，部分圓柱殼的端部不能設(shè)置支撐結(jié)構(gòu)，為了提高圓柱殼結(jié)構(gòu)的安全性、總段合攏施工效率以及保證建造質(zhì)量，需要先預(yù)報(bào)處于臥置狀態(tài)下的圓柱殼在自身重力和設(shè)備等其他載荷的影響下產(chǎn)生的變形量，進(jìn)而提出相應(yīng)的解決措施。

在圓柱殼中，為了得到應(yīng)力狀態(tài)的近似解，計(jì)算時(shí)，可取圓柱殼端部變形的平均值作為計(jì)算值［5］，而主曲率半徑變化通?？梢院雎圆挥?jì)［6］。

對(duì)圓柱殼進(jìn)行非線性分析，必須考慮以下2個(gè)問(wèn)題：第一，建立能正確描述結(jié)構(gòu)非線性特性的基本方程［7-8］；第二，方程組建立后，尋求簡(jiǎn)單、有效的求解方法。目前，圓柱殼非線性問(wèn)題的求解方法主要有2種，即半解析法和數(shù)值法。半解析法指在求解控制方程的過(guò)程中引入部分解析解或解析函數(shù)；解析法指在求解球—環(huán)—錐組合殼體結(jié)構(gòu)時(shí)，取薄膜解和邊緣力作用下有矩解的和來(lái)表示各殼段的內(nèi)力，并利用邊界條件，得到結(jié)構(gòu)應(yīng)力的解析式［9］。龔良貴等［10］基于卡門(mén)假設(shè)和板殼理論，建立了球?qū)ΨQ(chēng)變形下完整球殼非線性彎曲的控制方程。鄭衍雙等［11］為了研究局部缺陷對(duì)球殼破壞壓力的影響，開(kāi)展了14個(gè)鋁球殼和4個(gè)鋼球殼的模型試驗(yàn)，并得到球殼破壞一般為局部現(xiàn)象的試驗(yàn)結(jié)果。

在圓柱殼的幾何、物理模型及重力載荷引入某些簡(jiǎn)化假設(shè)的基礎(chǔ)上，本文采用經(jīng)典板殼理論中的有矩理論和無(wú)矩理論，對(duì)環(huán)肋圓柱殼在自身重力作用下的變形及其影響因素進(jìn)行研究分析。

1 理想圓柱殼的自重變形

圖1所示為處于臥置狀態(tài)下有底部簡(jiǎn)支的理想圓柱殼。圖中：A為圓柱殼上任意位置的截面，A0，A1，A2分別為X軸正向、Z軸負(fù)向和Z軸正向截面一部分；U1，U2，ω0分別為A1，A2，A0截面在各自方向上的變形，mm；P為支撐點(diǎn)，R為圓柱殼內(nèi)半徑，mm。對(duì)于A截面：X=Rcosφ，Z=Rsinφ。M0，M1為作用于圓柱殼任意截面A的彎矩，而作用于圓柱殼任意截面A的垂直力對(duì)彎矩M的影響很小，可忽略不計(jì)；M2為第一象限A2至A的圓柱殼自身重力作用于A截面的彎矩；圓柱殼底部支撐平臺(tái)對(duì)右半側(cè)圓柱殼的反作用力傳遞到截面A0的值為P/2。

圖1 底部簡(jiǎn)支的理想圓柱殼［12］Fig.1 Ideal cylindrical shell with bottom simplesupported boundary condition［12］

設(shè)圓柱殼位于第一象限的部分于A0截面處固定，在M2作用下，A2分別向下和向左位移，并按下式計(jì)算M2。

式中：F為圓柱殼截面面積，mm2；γ為圓柱殼重度，N/mm3；φ為計(jì)算點(diǎn)與X軸正向的夾角，（°）。

對(duì)于圓柱殼下半圓的第四象限，設(shè)第四象限的圓柱殼于A0截面處固定，則在平臺(tái)對(duì)右半側(cè)圓柱殼向上的反作用P和第四象限圓柱殼向下的自身重力共同作用于任意截面A的彎矩M1作用下，A1向左上方位移。第一象限圓柱殼的自身重力作用于A0截面的值是P/2，并按下式計(jì)算M1：

則

即作用于圓柱殼任意截面A的彎矩相等。

以第四象限為例，計(jì)算彎矩M值。令ε0=0，ω=-RM/EI，其中：ε0為線應(yīng)變，mm；ω為角應(yīng)變，rad；E為圓柱殼材料的彈性模量，MPa；I為截面慣性矩，mm4。

A0和A1兩個(gè)截面的夾角在圓柱殼自身重力作用下發(fā)生變化，其中

求解得到彎矩后，圓柱殼在自身重力作用下垂直方向變形量U指的是垂直位置的圓柱殼內(nèi)半徑在垂直方向的減少量。第四象限A1點(diǎn)在垂直方向向上的位移U1

由此，垂直位置的圓柱殼內(nèi)半徑在垂直方向的減少量U

式中：ρ為材料密度，kg/m3；g為重力加速度，m/s2。

2 懸臂圓柱殼的自重變形

板殼理論是19世紀(jì)末基于基爾霍夫—樂(lè)甫（Kirchhoff-Love）假設(shè)建立起來(lái)的。根據(jù)板殼理論，如果殼體的幾何形狀和表面載荷都是連續(xù)可微函數(shù)，則殼體處于無(wú)彎矩的應(yīng)力狀態(tài)，即稱(chēng)之為板殼的無(wú)矩理論。

如圖2所示，q1，q2，q3為圓柱殼所受載荷q0分別在縱向、環(huán)向及法向的分量；FT1，F(xiàn)T2和FT12=FT21分別為縱向拉壓力、環(huán)向拉力及平錯(cuò)力，則柱殼的無(wú)矩理論平衡方程和彈性方程分別由式（8），式（9）給出。

圖2 圓柱殼的無(wú)矩理論示意圖Fig.2 Schematic of non-moment theory of cylindrical shell

式中：u，v，w為圓柱殼中面內(nèi)各點(diǎn)的縱向、環(huán)向及法向位移，mm；α，β分別為圓柱殼縱向、環(huán)向長(zhǎng)度，mm，δ為圓柱殼厚度，mm；μ為泊松比。

圖3所示為假設(shè)全長(zhǎng)為l的某個(gè)各向同性材料的懸臂圓柱殼。圖中，左、右兩端分別為固支端和自由端。

圖3 懸臂圓柱殼示意圖Fig.3 Schematic of antilever cylindrical shell

取圓柱殼截面中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由于對(duì)稱(chēng)性，只對(duì)圓柱殼縱向長(zhǎng)度α的正向進(jìn)行計(jì)算，載荷q0及其在3個(gè)方向上單位面積載荷分量分別為：q0=ρδg,q1=0,q2=q0sinφ,q3=-q0cosφ，由式（8）第3式可得環(huán)向拉力FT2。

其中，R為β的函數(shù)，代入式（8）第2式，得

對(duì)式（11）進(jìn)行積分后得到FT12=2q0(l-α)sinφ，其中，積分后產(chǎn)生的常數(shù)分別由2個(gè)邊界條件確定，即自由邊：FT1=FT12=FT21=0；固定邊：u=v=0。

將2個(gè)邊界條件代入式（8）第1式得到：

然后，對(duì)圓柱殼縱向長(zhǎng)度α進(jìn)行積分可得到：

將式（13）代入式（9）第1式積分，得到法向位移u

再將式（14）代入式（9）第3式，得到環(huán)向位移v

為了簡(jiǎn)化考慮，記

最后，將式（15）代入式（9）第2式，得到法向位移w。

2.1 自由端變形隨α的變化

采用上述理論方法，計(jì)算圓柱殼不同縱向長(zhǎng)度α?xí)r的自由端頂點(diǎn)的變形，同時(shí)進(jìn)行有限元仿真，并與理論值進(jìn)行比較，研究自由端變形隨α變化的規(guī)律。采用大型有限元軟件ABAQUS進(jìn)行求解，不考慮非線性修正。選取4種不同縱向長(zhǎng)度α與圓柱殼內(nèi)半徑R的比值，且δ=0.01R。對(duì)模型施加g=9 800 m/s2的重力載荷，得到表1所示兩種方法的計(jì)算結(jié)果，以及圓柱殼自由端變形云圖（圖4）和自由端變形隨α變化的曲線（圖5）。

圖4 有限元仿真的自由端變形云圖Fig.4 Contours of free end deformation by finite element analysis

圖5 自由端變形隨α變化曲線Fig.5 Curve of free end deformation range changing withα

由表1和圖4可知，本文計(jì)算結(jié)果和采用ABAQUS軟件仿真解較為接近，相對(duì)誤差控制在3%以?xún)?nèi)，自由端變形量隨α增大而呈非線性遞增趨勢(shì)，且增加速率逐漸增大，說(shuō)明自由端與固支端的距離是影響自由端變形的重要因素。由圖5也可以看出，距固支端較近的位置無(wú)明顯變形。在實(shí)際工程中，應(yīng)盡量增加支撐墩木的數(shù)量以避免自由端與固支端距離過(guò)大。本文計(jì)算結(jié)果相較于有限元解偏大，主要是因?yàn)橛邢拊抡媸褂昧?節(jié)點(diǎn)線性縮減積分單元（S4R），采用完全積分單元有望使計(jì)算結(jié)果更加精確。

表1 自由端變形隨α變化的計(jì)算結(jié)果比較Table 1 Results comparison of free end deformation changing with α

2.2 自由端變形隨δ的變化

由板殼理論可知，薄壁殼體問(wèn)題僅適用于壁厚小于1/20內(nèi)半徑的情況。為了建立一系列壁厚大范圍變化的懸臂圓柱殼模型，仿真時(shí)將圓柱殼的壁厚δ控制在其內(nèi)半徑的1/20以?xún)?nèi)。選取4種不同壁厚δ與內(nèi)半徑R的比值。對(duì)模型施加g=9 800 m/s2重力載荷，得到表2所示2種方法的計(jì)算結(jié)果，以及圓柱殼自由端變形隨δ變化的曲線（圖6）。

由表2和圖6可知，隨著δ增大，自由端變形未發(fā)生變化，這與自由端變形的表達(dá)式是一致的。由u，v，w的表達(dá)式可知，各式中均含有q0=Eδ項(xiàng)，而q0=ρδg，消去δ可以發(fā)現(xiàn)自由端變形是一個(gè)與δ無(wú)關(guān)的值。根據(jù)有限元仿真結(jié)果，隨著δ增大，自由端變形呈線性略微減小的趨勢(shì)。這是由于圓柱殼壁厚增大改變了模型的剛度，與實(shí)際情況相符，說(shuō)明隨著δ增大，本文計(jì)算結(jié)果的精度逐漸變差，但與有限元解的相對(duì)誤差控制在2%以?xún)?nèi)，滿(mǎn)足工程實(shí)際需求?；跀?shù)值法引入修正系數(shù)有利于提高計(jì)算結(jié)果精度。

表2 自由端變形隨δ變化的計(jì)算結(jié)果比較Table 2 Results comparison of free end deformation changing withδ

圖6 自由端變形隨δ變化曲線Fig.6 Curve of deformation range changing withδ

2.3 自由端變形隨R的變化

根據(jù)實(shí)際情況，本文選取內(nèi)半徑R分別為2 000，3 000，4 000，5 000，6 000 mm的環(huán)肋圓柱殼，并選取與5種不同縱向長(zhǎng)度α的比值，對(duì)模型施加g=9 800 m/s2的重力載荷，經(jīng)計(jì)算后，得到如表3所示兩種方法的計(jì)算結(jié)果，以及自由端變形隨R變化的曲線（圖7）。

表3 自由端變形隨R變化的計(jì)算結(jié)果比較Table 3 Results comparison of free end deformation changing withR

圖7 自由端變形隨R變化曲線Fig.7 Curve of deformation range changing withR

由圖7可知，隨著圓柱殼內(nèi)半徑增大，自由端變形逐漸減小，當(dāng)R=0.75α?xí)r，自由端變形量達(dá)到最小，之后隨著R增大而逐漸增大。結(jié)合圖4自由端變形云圖可知，無(wú)論無(wú)矩理論解，還是有限元仿真解，自由端上方變形和下方變形都是相似的，即重力載荷并未大幅度改變圓柱殼的圓度。在研究自由端變形隨R變化時(shí)，本文解相較于有限元解偏大，相對(duì)誤差1%左右。

3 算例分析

以圖8所示的環(huán)肋圓柱殼為研究對(duì)象，計(jì)算端面變形。該圓柱殼為某潛艇艙段仿真圖，艙段全長(zhǎng)10 000 mm，肋骨間距100 mm，肋骨尺寸圓柱殼內(nèi)半徑4 500 mm，材料密度ρ=7 850 kg/m3，彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，后2個(gè)參數(shù)可以反映艙段合攏處圓柱殼的剛度。對(duì)于支撐結(jié)構(gòu)的剛度，由于本文主要目的在于研究需要合攏的2個(gè)端面的變形差，即使支撐結(jié)構(gòu)發(fā)生較大變形，2個(gè)端面支撐結(jié)構(gòu)的變形也基本一致，2個(gè)端面變形差還是主要取決于圓柱殼自身重力作用，故邊界條件為底部簡(jiǎn)支。

圖8 環(huán)肋圓柱殼模型Fig.8 Model of stiffened cylindrical shell

在計(jì)算環(huán)肋圓柱殼端面變形時(shí)，引入了2個(gè)假設(shè)條件：外板厚度相對(duì)于肋骨腹板較小，將外板重量施加在腹板上，基于有矩理論計(jì)算腹板的自重變形；肋骨變形后為端面提供固支的邊界條件，則該問(wèn)題變成基于無(wú)矩理論計(jì)算懸臂圓柱殼的自由端變形，求解2個(gè)變形量的代數(shù)和，即得到端面變形。

肋骨變形

自由端變形

端面變形

4 結(jié) 論

本文對(duì)環(huán)肋圓柱殼臥置狀態(tài)下的重力變形進(jìn)行了分析，得到以下結(jié)論：

1）對(duì)于理想圓柱殼底部簡(jiǎn)支情況，有矩理論表明，在自身重力作用下，圓柱殼垂直位置的內(nèi)半徑在垂直方向減少量隨內(nèi)半徑增大而增大，隨厚度增大而減小，變形量基本上與內(nèi)半徑的四次方成正比，與厚度的二次方成反比。

2）對(duì)于設(shè)置有固支端和自由端的懸臂圓柱殼情況，無(wú)矩理論表明，自由端變形量隨圓柱殼內(nèi)半徑增大而減小，隨厚度增大而減小，同一端面各點(diǎn)的變形量大致相同，即重力載荷對(duì)自由端面的圓度影響不大。

3）根據(jù)本文計(jì)算分析，懸臂圓柱殼自由端變形數(shù)量級(jí)較小，在工程實(shí)際中，橫艙壁剛度較大，可近似提供固支邊界條件，說(shuō)明橫艙壁對(duì)自由端變形影響很大。

4）本文在使用有限元建模時(shí)采用了4節(jié)點(diǎn)線性縮減積分單元，而使用非線性完全積分單元能否提高精度是下一步研究的方向。

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Deformation analysis of horizontal stiffened cylindrical shells under the effects of gravity

LIU Dong1，ZHANG Yuelin1，CHEN Wu2

1 The 91404thUnit of PLA，Qinhuangdao 066001，China

2 Naval Military Representative Office in Jiangnan Shipyard（Group）Co.，Ltd.，Shanghai 201913，China

In order to study the deformation of submarine pressure hulls under the effects of gravity，a sim?ple calculation formula of the deformation of the free ends of stiffened cylindrical shells is derived based on moment theory and non-moment theory，and the calculated results are compared with the results of Finite Element Analysis（FEA）which tests the reliability of the formula.The results show that when a thin-wall cylindrical shell simply supported at the bottom is affected by its own gravity，the deformation degree at the free end is directly proportional to the fourth power of the inner diameter of the cylindrical shell，and in?versely proportional to the square of the wall thickness；for cantilever cylindrical shells，the gravity load has little effect on the roundness of the free end plane.With the nonlinear increase of distance between the free end and fixed supporting end，the increase rate increases gradually.With the increase of the inner di?ameter of the cylindrical shell，the deformation degree of the free end decreases gradually.When the inner diameter of the cylindrical shell is 0.75 times its longitudinal length，the deformation degree of the free end is at a minimum，then increases gradually as the inner diameter increases.The gravity deformation calcula?tion of ring stiffened cylindrical shells in a horizontal state and the strengthening measures can provide ref?erences for further study.

stiffened cylindrical shell；gravity deformation；structural mechanics；elastic mechanics；plate and shell theory；non-moment theory

U661.43

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2017.01.011

2016-03-13

2016-12-28 15:43

劉東，男，1978年生，工程師。研究方向：艦船維修與管理工程張?jiān)懒郑ㄍㄐ抛髡撸?，男?990年生，碩士，助理工程師。研究方向：艦船設(shè)計(jì)制造與維修工程。E-mail:zhangyuelin24@hotmail.com

http://www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20161228.1543.020.html期刊網(wǎng)址：www.ship-research.com

劉東，張?jiān)懒郑愇?環(huán)肋圓柱殼臥置狀態(tài)下的重力變形分析［J］.中國(guó)艦船研究，2017，12（1）：72-77. LIU D，ZHANG Y L，CHEN W.Deformation analysis of horizontal stiffened cylindrical shells under the effects of grav?ity［J］.Chinese Journal of Ship Research，2017，12（1）：72-77.