李鶴齡,王娟娟,楊 斌，2,沈宏君，2(.寧夏大學(xué)物理電氣信息學(xué)院，銀川 75002；2.寧夏沙漠信息智能感知重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 銀川 75002)

產(chǎn)生冪律等分布的一種機(jī)制

李鶴齡1，2,王娟娟1,楊 斌1，2,沈宏君1，2
(1.寧夏大學(xué)物理電氣信息學(xué)院，銀川 750021；2.寧夏沙漠信息智能感知重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 銀川 750021)

針對(duì)在復(fù)雜性系統(tǒng)研究中冪律分布扮演著越來(lái)越重要的角色而又不存在公認(rèn)的合理導(dǎo)出的矛盾，基于復(fù)雜性系統(tǒng)的不可解性，在非完整統(tǒng)計(jì)的思想基礎(chǔ)上，分別在歸一化條件、統(tǒng)計(jì)平均和Shannon熵的方程中引入不同的指數(shù)因子，由最大熵原理推導(dǎo)出了指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式的概率分布函數(shù)；展現(xiàn)了由Shannon熵和最大熵原理推導(dǎo)等概率假設(shè)的過(guò)程；同時(shí)也展現(xiàn)了可導(dǎo)出指數(shù)分布、冪律分布和冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式分布的一種新機(jī)制，即最大熵原理。

復(fù)雜系統(tǒng)；非完整統(tǒng)計(jì)；Shannon熵；冪律分布

0 引言

由統(tǒng)計(jì)物理研究事物的性質(zhì)與運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，要確定所研究系統(tǒng)的概率分布函數(shù)，即統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)?；诘雀怕试?常稱等概率假設(shè))由統(tǒng)計(jì)物理的系綜方法可導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)分布的指數(shù)函數(shù)形式[1],如：正則分布、巨正則分布等；基于Shannon熵由最大熵原理不僅能導(dǎo)出概率分布的指數(shù)函數(shù)形式[2]，而且可導(dǎo)出等概率假設(shè)，因而最大熵原理可看成是基于指數(shù)分布的統(tǒng)計(jì)物理的基本出發(fā)點(diǎn)或基本假設(shè)。指數(shù)分布使得統(tǒng)計(jì)物理獲得極大的成功已成為不爭(zhēng)的事實(shí)，但近些年來(lái)，不僅物理學(xué)領(lǐng)域幾乎每一種科研領(lǐng)域都遇到了冪律分布[3]，且以井噴之勢(shì)發(fā)展。有關(guān)冪律分布的形成機(jī)制存在多種不同觀點(diǎn)：增長(zhǎng)與優(yōu)先連接[4-5]、自組織臨界[6-7]、HOT理論[8-9]、滲流模型[10-13]、隨機(jī)過(guò)程[10,14-15]、指數(shù)組合[10,14,16]等。遵循冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式的概率分布也很常見(jiàn)[17-18]，但遺憾的是直至目前仍然沒(méi)有由Shannon熵導(dǎo)出冪律等分布的合理邏輯推導(dǎo)，而且指數(shù)、冪律等其它多種不同分布之間是否有聯(lián)系等等疑問(wèn)也尚無(wú)確定結(jié)論。本文嘗試由Shannon熵及最大熵原理推導(dǎo)出指數(shù)和冪律等不同分布，以圖揭示不同事物間的內(nèi)在聯(lián)系及形成指數(shù)、冪律和冪和指數(shù)函數(shù)乘積等不同形式分布的一種原因。

巴西物理學(xué)家Tsallis于1988年給出了非廣延的Tsallis熵[19]；并基于Tsallis熵和最大熵原理，推導(dǎo)出了Tsallis形式的冪律分布[19-20]。Tsallis理論的閃光點(diǎn)在于將指數(shù)分布的統(tǒng)計(jì)物理帶到了冪律分布，但該理論目前并未被科學(xué)界普遍接受。對(duì)Tsallis熵、Tsallis統(tǒng)計(jì)，從其提出開(kāi)始，就一直存在激烈的爭(zhēng)論。因而由普遍認(rèn)可的Shannon熵推導(dǎo)出冪律分布就顯得迫切和意義重大。

注意到Tsallis熵包含Shannon熵，即當(dāng)Tsallis熵中的非廣延參數(shù)趨于1時(shí)，Tsallis熵趨于Shannon熵。雖然由Tsallis熵能夠推導(dǎo)出Tsallis形式的冪律分布，但按此邏輯關(guān)系，并不意味著由Shannon熵也能推導(dǎo)出冪律分布！因?yàn)門sallis熵中的非廣延參數(shù)趨于1的同時(shí)，Tsallis形式的冪律分布也趨于指數(shù)分布。因此必須設(shè)法由Shannon熵直接推導(dǎo)冪律等分布。

1 由Tsallis熵推出Tsallis型的冪律分布及Tsallis統(tǒng)計(jì)質(zhì)疑的簡(jiǎn)單回顧

Tsallis熵為：

(1)

(2)

(3)

(4)

在q→1時(shí)，Tsallis熵趨于Shannon熵,Tsallis型的冪律分布趨于指數(shù)分布。

Sq(A∪B)=Sq(A)+Sq(B)+(1-q)Sq(A)Sq(B)/k

(5)

Tsallis統(tǒng)計(jì)在第1種約束下會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定、發(fā)散和不相容問(wèn)題[20]；在第2種約束下會(huì)出現(xiàn)能量不守恒問(wèn)題，如無(wú)相互作用子系統(tǒng)A與B 的“并系統(tǒng)”內(nèi)能不等于它們的和[21-22]：

(6)

這樣，雖然由 Tsallis熵可推導(dǎo)出冪律分布，但因Tsallis熵自身存在的以及其能導(dǎo)致能量不守恒等問(wèn)題，使人們對(duì)Tsallis統(tǒng)計(jì)存有質(zhì)疑。到目前為止，Tsallis理論并未被科學(xué)界所普遍接受。

2 “非完整”統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)述

(7)

這樣，變量O的統(tǒng)計(jì)平均值可設(shè)為

(8)

以式(8)為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)物理稱為非完整統(tǒng)計(jì)。

Shannon熵為

(9)

式中的k為玻爾茲曼常數(shù)，式(9)也可寫成

因此在非完整統(tǒng)計(jì)下的Shannon熵為[23-24]：

(10)

顯然，當(dāng)q=1時(shí)，式(10)過(guò)渡為通常的Shannon熵。

3 基于Shannon熵和最大熵原理的指數(shù)分布和等概率假設(shè)的推導(dǎo)

3.1 基于 Shannon熵和最大熵原理的指數(shù)分布

最大熵原理是Jaynes E.T.在1957年首先提出的[2]，可簡(jiǎn)述為：系統(tǒng)在一定外界環(huán)境或約束下所處的狀態(tài)(或概率分布)，是系統(tǒng)處于該環(huán)境或約束條件下熵取最大值的狀態(tài)(或概率分布)。

(11)

式(11)中的β和γ為L(zhǎng)agrangian乘子。根據(jù)最大熵原理，令L/pi= 0，得：

(12)

式中

(13)

這樣得到了指數(shù)函數(shù)形式的統(tǒng)計(jì)分布。令q=1，就得到通常情況下的正則分布與正則配分函數(shù)。上述為Q.A.Wang所做工作[23-24]。

3.2 由Shannon熵和最大熵原理推導(dǎo)等概率假設(shè)[25]

等概率假設(shè)為：孤立系統(tǒng)的每個(gè)微觀態(tài)的概率相同。對(duì)于孤立系統(tǒng)，粒子數(shù)、能量和體積都不變，此時(shí)只有歸一化條件的限制。由最大熵原理，取Lagrange函數(shù)為(取完整統(tǒng)計(jì)):

(14)

pi=e-1-γ

(15)

pi=e-1-γ=1/w

(16)

式(16)正是孤立系統(tǒng)的等概率假設(shè)。

4 基于Shannon熵和最大熵原理的冪律等分布

注意到復(fù)雜系統(tǒng)的不可解性，勢(shì)必會(huì)出現(xiàn)信息的不完整，即：v≠w。由非完整統(tǒng)計(jì)的思想，且注意到式(7)、式(8)和式(10)是不同的和式，從數(shù)學(xué)角度，當(dāng)選擇了適當(dāng)?shù)膓使式(1)成立時(shí)，同一個(gè)q不一定能使(8)和式(10)同時(shí)成立，因而3式中的q并不要求一定相等(非完整統(tǒng)計(jì)的引入者Q.A.Wang取3個(gè)q相等[23-24])，這里分別表示為a,b,c。當(dāng)a=b=c=1時(shí)，對(duì)應(yīng)于簡(jiǎn)單的v=w可解系統(tǒng)，概率分布為式(12)，(13)中q=1的指數(shù)函數(shù)分布；a,b,c越偏離1,說(shuō)明系統(tǒng)的不可解性、復(fù)雜性程度越高，即非1的a,b,c反映了系統(tǒng)的不可解性和復(fù)雜性。此時(shí)式(7)、(8)和(10)如式(17)所示：

(17)

式(17)中Ei并不受限于能量，它可以是任意描述復(fù)雜系統(tǒng)性質(zhì)的具有平均值的量。引入Lagrangian 函數(shù)

(18)

同樣β和γ為L(zhǎng)agrangian乘子。求條件極值，得

(19)

顯然，當(dāng)式(19)中的a，b，c相等時(shí)，得指數(shù)分布函數(shù)式(12)；不等時(shí)，既解不出指數(shù)函數(shù)也解不出冪函數(shù)形式的分布函數(shù)。

為得到pi為Ei的顯函數(shù)形式，又要與相關(guān)理論不矛盾，對(duì)參數(shù)a，b，c的取值作一些說(shuō)明。

(20)

2) 在用于描述自然界與人類社會(huì)運(yùn)動(dòng)的各種變量中，除了像能量這類守恒量外，還有一些如“能力”以及與能力對(duì)應(yīng)的“產(chǎn)量”等非守恒量,它們并不簡(jiǎn)單地滿足如“1+1=2”的線性疊加關(guān)系，對(duì)于這類“非守恒變量”，不需要a=b的限制。

式(19),(20)中的a,b,c和γ與Ei，pi無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)。令y=pi，x=βEi，則式(19),(20)變?yōu)?/p>

(19′)

(20′)

要從(19′)或(20′)解析地解出y(x)的顯函數(shù)是做不到的。但根據(jù)前述3個(gè)參數(shù)相等時(shí)所得指數(shù)函數(shù)的顯函數(shù)及這兩式中存在變量y的冪函數(shù)、冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)乘積的特點(diǎn)，有理由認(rèn)為y(x)的具體函數(shù)形式應(yīng)在指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積之間?？紤]到實(shí)際得出冪律分布源于直接或間接實(shí)驗(yàn)或?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)的邏輯推演，而實(shí)驗(yàn)或?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)只能在有限時(shí)空中完成，即數(shù)據(jù)數(shù)量有限，本文采取對(duì)概率分布函數(shù)的自變量“分段”的數(shù)值求解方法。理由闡述如下：

1) 數(shù)值求解不僅是(19′)、(20′)無(wú)法解析求解的必然選擇，也是實(shí)際復(fù)雜系統(tǒng)獲取冪律等分布的途徑。

3) 當(dāng)所有可能事件個(gè)數(shù)為測(cè)度不為零的無(wú)窮大時(shí)，按pi=Ni/N獲得的概率分布應(yīng)是以最概然值為中心的有限半徑范圍內(nèi)的一段分布。在統(tǒng)計(jì)物理中最典型的例子是：因平衡態(tài)對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)占絕對(duì)多數(shù)，以至于最概然值等于平均值。僅以位置分布為例。等概率假設(shè)雖然認(rèn)為所有粒子集中在某一邊緣位置的概率與均勻分布中的一個(gè)任意狀態(tài)的概率相等，但實(shí)驗(yàn)測(cè)得的結(jié)果一定是均勻分布，即最概然值。因?yàn)榫鶆蚍植紝?duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)是絕對(duì)多數(shù)。具體復(fù)雜性系統(tǒng)得出冪律分布的結(jié)論也是由直接或間接實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)的演繹結(jié)果，雖然一般不會(huì)像上述粒子位置分布這么極端，但有理由認(rèn)為實(shí)驗(yàn)或?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)描述的狀態(tài)基本處于包含最概然值事件的鄰域內(nèi)。即便實(shí)驗(yàn)或?qū)崪y(cè)中出現(xiàn)小概率事件，由于難于重復(fù)多次出現(xiàn)，也將被舍棄。對(duì)于不同具體問(wèn)題只是“段”的位置和其長(zhǎng)短的不同,即最概然值事件和其鄰域半徑的不同。

具體數(shù)值求解步驟為：

1) 將a,b,c和γ(γ都取10，對(duì)應(yīng)未歸一化的概率分布)取值并代入式(19′)、(20′)，由計(jì)算機(jī)做出y-x曲線圖。

2) 調(diào)換x與y，即調(diào)換橫縱坐標(biāo)，得到x-y曲線圖。

3) 在縱坐標(biāo)y從1到6的變化范圍內(nèi)均勻地在曲線上取60個(gè)點(diǎn)，做“整體”擬合后，優(yōu)選最佳函數(shù)。

4) 將60個(gè)點(diǎn)分為6段(每10個(gè)點(diǎn)為一段，稱“短段”)，分段擬合后，優(yōu)選最佳函數(shù)。

a,b,c分別取8種不同數(shù)值, 優(yōu)選擬合出y-x關(guān)系，如表1所示。

表1 a,b,c分別取8種不同數(shù)值時(shí)整體擬合的優(yōu)選函數(shù)及誤差Tab.1 Optimal fit functions and errors for eight different value of a,b and c

再將每組數(shù)據(jù)的60個(gè)點(diǎn)平均細(xì)分為6段，每段仍用不同的函數(shù)擬合并優(yōu)選出最佳結(jié)果，如表2至表9所示，前述幾種函數(shù)也都有出現(xiàn)，且還會(huì)出現(xiàn)Tsallis形式的冪函數(shù)、負(fù)指數(shù)函數(shù)與負(fù)冪函數(shù)乘積、正指數(shù)函數(shù)與負(fù)冪函數(shù)乘積等形式，且擬合誤差都小于10-4。

表2 a=b=0.96,c=0.98，分段(每段10個(gè)點(diǎn))擬合結(jié)果Tab.2 Piece-wise fitting (a=b=0.96,c=0.98)

如表2所示，第1分段的最優(yōu)擬合函數(shù)為Tsallis形式的冪函數(shù)y=1 623.778 49(1-0.028 53x)25.046 06；第2分段的最優(yōu)擬合函數(shù)為負(fù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的乘積y=251.541 2x2.570 53e-1.246 18x；第3段的最優(yōu)擬合函數(shù)為負(fù)指數(shù)函數(shù)y=-0.101 29+3 171.412 9e-0.889 75x，當(dāng)a，b,c取其它不同數(shù)值時(shí)的擬合結(jié)果可見(jiàn)表3至表9。

當(dāng)a=b=0.97,c=1.02時(shí)，分段擬合結(jié)果如表3所示。

表3 a=b=0.97, c=1.02時(shí)，分段擬合結(jié)果Tab.3 Piece-wise fitting results (a=b=0.97,c=1.02)

當(dāng)a=b=0.99,c=1.01時(shí)，分段擬合結(jié)果如表4所示。

表4 a=b=0.99, c=1.01時(shí)，分段擬合結(jié)果Tab.4 Piece-wise fitting results (a=b=0.99,c=1.01)

當(dāng)a=b=1.50,c=2.04時(shí)，分段擬合結(jié)果如表5所示。

表5 a=b=1.50,c=2.04時(shí)，分段擬合結(jié)果Tab.5 Piece-wise fitting results (a=b=1.50,c=2.04)

當(dāng)a=b=0.30,c=0.40時(shí)，分段擬合結(jié)果如表6所示。

表6 a=b=0.30,c=0.40時(shí)，分段擬合結(jié)果Tab.6 Piece-wise fitting results (a=b=0.30,c=0.40)

當(dāng)a=0.90,b=1.15,c=1.25時(shí)，分段擬合結(jié)果如表7所示。

表7 a=0.90,b=1.15,c=1.25時(shí)，分段擬合結(jié)果Tab.7 Piece-wise fitting results (a=0.90,b=1.15,c=1.25)

當(dāng)a=0.95,b=1.50,c=1.05時(shí)，分段擬合結(jié)果如表8所示。

表8 a=0.95,b=1.50,c=1.05時(shí),分段擬合結(jié)果Tab.8 Piece-wise fitting results (a=0.95,b=1.50,c=1.05)

當(dāng)a=1.25,b=0.98,c=0.95時(shí)，分段擬合結(jié)果如表9所示。

表9 a=1.25, b=0.98, c=0.95時(shí)，分段擬合結(jié)果Tab.9 Piece-wise fitting results (a=1.25,b=0.98,c=0.95)

5 結(jié)果與討論

5.1 結(jié)果

針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)表現(xiàn)出遵循指數(shù)、冪律等分布，且冪律等分布不能像指數(shù)分布那樣可由Shannon熵和最大熵原理導(dǎo)出的矛盾，我們做了如下工作：

1)展現(xiàn)了由Shannon熵和最大熵原理解析推導(dǎo)指數(shù)分布[式(6)，(7)]與等概率假設(shè)程。

2)注意到復(fù)雜系統(tǒng)的不可解性，以及反映復(fù)雜系統(tǒng)特征的隨機(jī)變量的冪律等概率分布源于實(shí)驗(yàn)和實(shí)際測(cè)量，指出這樣獲得的概率分布實(shí)質(zhì)是最概然值附近的一段，因而提出復(fù)雜系統(tǒng)的概率分布是按自變量分段的。

因?yàn)槿=b=c=1是獲取傳統(tǒng)指數(shù)函數(shù)形式“完整”正則分布的路徑，所以本文中a、b和c的選取是以“1”為中心逐漸偏離的。又因冪律分布常出現(xiàn)于復(fù)雜性系統(tǒng)中，且本文并不涉及任何具體復(fù)雜性系統(tǒng)，所以理論上講a，b，c越偏離“1”,系統(tǒng)的復(fù)雜性或非完整程度越高。

在具體推導(dǎo)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)：

1)每段的最優(yōu)分布函數(shù)與指數(shù)因子a、b、c的具體數(shù)值有關(guān)，雖然a，b，c越偏離“1”, 系統(tǒng)的復(fù)雜性或非完整程度越高，但并不是每段的最優(yōu)分布函數(shù)越背離指數(shù)函數(shù)。

2)在不同的區(qū)段或在自變量的不同變化范圍內(nèi)，最優(yōu)分布函數(shù)會(huì)發(fā)生類型的轉(zhuǎn)變，轉(zhuǎn)變依指數(shù)因子a，b，c的具體數(shù)值有一定規(guī)律,但出現(xiàn)不同最優(yōu)分布函數(shù)的具體形式不受限于a與b是否相等，也即出現(xiàn)冪律等分布與是否為守恒量無(wú)關(guān)。

3)分布函數(shù)的最優(yōu)形式與分段的長(zhǎng)短有關(guān)。如本文中的所謂“整體”相對(duì)于“分段”實(shí)質(zhì)只是段長(zhǎng)的不同，但選出的最優(yōu)分布函數(shù)不同。這表明：復(fù)雜系統(tǒng)的概率分布函數(shù)會(huì)隨自變量的取值區(qū)間不同而發(fā)生變化。這樣的結(jié)果是與許多實(shí)際問(wèn)題相吻合的。

4)當(dāng)a=b=c=q時(shí)，分布函數(shù)可解析求出，為指數(shù)函數(shù)形式。

5.2 討論

5.2.1 冪函數(shù)、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積等概率分布形式與Shannon熵

本文已展示可由Shannon熵和最大熵原理解析導(dǎo)出概率分布的指數(shù)函數(shù)形式，但對(duì)冪函數(shù)、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式，只能嘗試用數(shù)值求解。

本文數(shù)值求解建立的基礎(chǔ)是：復(fù)雜系統(tǒng)不可解性；復(fù)雜系統(tǒng)服從冪函數(shù)、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式的概率分布；冪函數(shù)、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式的概率分布是源于直接或間接的有限實(shí)驗(yàn)、實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)得出。因而本文不涉及具體復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)值求解方法(也是普遍由具體復(fù)雜系統(tǒng)得出冪函數(shù)、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式的概率分布的方法)。故由基于Shannon熵和最大熵原理的數(shù)值求解方法得到冪函數(shù)、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式的概率分布可定性解釋復(fù)雜系統(tǒng)出現(xiàn)這些概率分布形式的原因。

5.2.2 最大熵原理與等概率假設(shè)的關(guān)系

將Shannon熵和最大熵原理應(yīng)用于孤立系統(tǒng)，可推導(dǎo)出等概率假設(shè)；反向推導(dǎo)也成立，即由等概率假設(shè)可推導(dǎo)出孤立系統(tǒng)的Shannon熵滿足最大熵原理。但此結(jié)果僅限于孤立系統(tǒng)。雖然等概率假設(shè)在統(tǒng)計(jì)物理建立和發(fā)展過(guò)程中扮演了非常重要的角色，且目前仍是大多數(shù)統(tǒng)計(jì)物理教科書中得到概率分布的出發(fā)點(diǎn),也是物理學(xué)家思想方法具體而閃光的體現(xiàn),但同時(shí)它也被認(rèn)為是人們無(wú)法確定微觀態(tài)的概率的一種無(wú)奈的選擇和假設(shè)。目前,用最大熵原理獲取概率分布的文獻(xiàn)也很多，如：Tsallis統(tǒng)計(jì)分布[19-20]、非完整統(tǒng)計(jì)分布[23-24]等。最大熵原理是比等概率假設(shè)更一般、包含內(nèi)容更多、應(yīng)用范圍更廣的基本原理。鑒于此，在統(tǒng)計(jì)物理中是否可用最大熵原理取代等概率假設(shè)以及等概率假設(shè)僅是最大熵原理的一個(gè)推論呢？這是可討論的問(wèn)題。

6 結(jié)論

指數(shù)分布以及復(fù)雜系統(tǒng)概率分布的冪函數(shù)、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積的形式可由基于Shannon熵的最大熵原理數(shù)值推導(dǎo)出來(lái)。也即說(shuō)明最大熵原理是支配復(fù)雜系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的很重要的基本規(guī)律之一，不同形式的概率分布只是最大熵原理對(duì)不同形式復(fù)雜性系統(tǒng)的具體體現(xiàn)。

基于一些復(fù)雜性系統(tǒng)得出這幾種概率分布是源于對(duì)有限直接或間接實(shí)驗(yàn)、實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)按pi=Ni/N推理的結(jié)果，因而由基于Shannon熵的最大熵原理數(shù)值推導(dǎo)出來(lái)的冪函數(shù)、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式的概率分布，定性解釋了出現(xiàn)這類概率分布的一種原因。

最大熵原理是比等概率原理包含內(nèi)容更廣的能反映自然與人類社會(huì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本原理，由其可推出等概率原理，因而等概率原理可看成是最大熵原理的一個(gè)推論。

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(責(zé)任編輯 李進(jìn))

A Mechanism of Generating Power-Law and Other Distributions

LI Heling1,2,WANG Juanjuan1,YANG Bin1,2,SHEN Hongjun1,2

(1.School of Physics and Electrical Information Science, Ningxia University, Yinchuan 750021, China;2.Key Lab on Information Sensing and Intelligent Desert, Yinchuan 750021, China)

For resolving the contradiction between power-law distribution playing an increasingly important role in investigation of complex systems and it has not been derived out up to now, in this paper the maximal entropy principle and the idea of incomplete statistics were utilized. Firstly, the detail of deriving the equal probability hypothesis from Shannon entropy and maximum entropy principle was showed. Then three different exponential factors were introduced in equations about the normalization condition, statistical average and Shannon entropy respectively. Based on the Shannon entropy and maximum entropy principle, three different probability distribution functions, such as exponential function, power function and the product form consisting of power function and exponential function, were derived out. Which demonstrated the maximum entropy principle was a path which may lead to different distribution functions.

complex systems； incomplete statistics； Shannon entropy； power-law distribution

10.13306/j.1672-3813.2016.04.003

2015-01-20；

2015-11-16

國(guó)家自然科學(xué)基金(61167002) ；寧夏自然科學(xué)基金(NZ14055)

李鶴齡(1960-)，男，河北滄州人，碩士，教授，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)和反常統(tǒng)計(jì)物理。

楊斌(1974-)，男，山西運(yùn)城人，碩士，副教授，主要研究復(fù)雜系統(tǒng)和理論物理。

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A