周 楊●

江蘇省南京市金陵中學(xué)龍湖分校(210001)

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三角形全等證明的基本類型與方法

周 楊●

江蘇省南京市金陵中學(xué)龍湖分校(210001)

三角形全等證明題怎么寫，要注意什么？有沒有什么套路可循？現(xiàn)將初中階段常見的幾種三角形全等證明題類型及思想方法分類說明．

一、弄清三角形全等證明題的基本類型

從蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第一章和第二章中證明題的梳理歸納中發(fā)現(xiàn)按題目給定條件可將三角形全等證明題大致分為四種類型．具體如下：

1.條件(圖形)中隱含公共線段

案例1 已知：如圖，點(diǎn)A、F、E、C在同一直線上，AB=CD，BE=DF，AF=CE．

(1)求證：△ABE≌△CDF;

(2)判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由．

分析 問題(1)由條件入手，直接找到三角形全等的兩個(gè)條件，題目中的間接條件AF=CE轉(zhuǎn)化為三角形全等的第三個(gè)直接條件．本題許多學(xué)生容易犯錯(cuò)，把間接條件AF=CE錯(cuò)誤當(dāng)成三角形全等的一組要素來使用．此類問題的條件簡單，在審題時(shí)應(yīng)提醒學(xué)生找到相等的線段在什么地方？平行的線段在哪？如把題目中的已知條件在圖形上標(biāo)出來之后即可發(fā)現(xiàn)問題(1)根據(jù)(SSS)方法即可證明三角形全等.問題(2)由三角形全等得到判定兩直線平行的條件∠A=∠C．

2.條件(圖形)中隱含公共角

案例2 已知，如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B、C、D在一條直線上．AC與BE相交于點(diǎn)G，AD與CE相交于點(diǎn)F，AD與BE相交于點(diǎn)O．

(1)求證：BE=AD；

(2)求∠AOB的度數(shù)；

(3)判斷△CGF的形狀并證明．

分析 問題(1)要證明AD=BE，我們仔細(xì)觀察幾何圖形不難發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)三角形的形狀大小完全一樣，由此啟發(fā)我們想到只要證明△ACD≌△BCE即可．問題(2)怎么證明呢？還是先找到△CGF，然后認(rèn)真觀察幾何圖形，很容易猜想到△CGF是等腰三角形或等邊三角形．通過觀察發(fā)現(xiàn)△BCG可以通過旋轉(zhuǎn)得到△ACF；或者△CGE通過旋轉(zhuǎn)得到△CFD.先得等腰三角形，再找一個(gè)角是60°，得到等邊三角形結(jié)論．這一類型的幾何證明關(guān)鍵是圖形觀察能力與數(shù)形結(jié)合能力．

3.兩角與另外某一角的和相等

案例3 如圖，CD是經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB，E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA=∠α．直線CD經(jīng)過∠BCA內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題：

(1)如圖1，若△CBE≌△ACF且∠BCA=∠α，求∠α的度數(shù)．

(2)如圖2，若0°<∠BCA<180°，觀察問題(1)中∠α與∠BCA兩角關(guān)系，并添加一個(gè)∠α與∠BCA應(yīng)滿足的條件____，使∠CBE=∠ACF．結(jié)合添加的條件，證明：△CEB≌△AFC．

分析 問題(1)學(xué)生經(jīng)過計(jì)算后對(duì)“兩個(gè)角與另外一個(gè)角和相等，那么這兩個(gè)角相等”這樣的等量代換關(guān)系也會(huì)有更深刻的認(rèn)識(shí)，為解決后續(xù)問題(2)積累經(jīng)驗(yàn)．如將題目改變一下：“如圖3，直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請(qǐng)?zhí)岢鲫P(guān)于EF、BE、AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想,直接寫出結(jié)論，不需證明．”變式后題目的形式發(fā)生變化，但基本思路方法不變，故提醒學(xué)生借鑒上一題的解題策略運(yùn)用類比思想解決問題．

二、三角形全等證明方法的一般步驟

1.審題

要求一邊讀題一邊根據(jù)題意、對(duì)照?qǐng)D形把題目中的已知條件和求證的結(jié)論，盡量用自己的語言說出來，明確題目已經(jīng)告訴了什么．弄清哪些是直接條件(證明結(jié)論時(shí)候可以直接拿來使用的條件，如證明三角形全等可以直接用的邊或角，直接拿來證明兩直線平行的同位角相等之類條件)，分清哪些是間接條件(不能被用來直接應(yīng)用的，需要轉(zhuǎn)化為直接條件的條件)，找出圖形中隱藏的條件(如案例1中的公共邊EF，案例2中的的公共角∠ACE)．

2.猜想與整理

如案例2，仔細(xì)觀察圖形發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)三角形的形狀大小完全一致，即全等．再發(fā)現(xiàn)這類證明題每個(gè)問題都蘊(yùn)含著：某兩個(gè)角與其中的一個(gè)角的度數(shù)之和都等于同一個(gè)角度，然后通過等量代換得到某兩個(gè)角相等．如∠BCE+∠ACF=∠α或180-∠α．這里雖然沒有真正意義上的公共角，但通過與另外兩個(gè)角和相等，就可以根據(jù)等量代換得到另兩個(gè)角相等．

3.整理分析思路，書寫證明過程

通過添加條件，運(yùn)用找到的∠BCE+∠ACF=∠BCE+∠CBE=180-∠α關(guān)系，轉(zhuǎn)化得到三角形中另一組相等角，然后將三角形全等三組條件按全等類型歸納好，即可證得全等并解決后續(xù)問題．

4.檢查

比較難的證明題，不能像上面那樣直接4步驟就可以了，要綜合進(jìn)行步驟1、2，由問題入手大膽猜測(cè)，這種類型問題多數(shù)要運(yùn)用三種基本圖形變換，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將一條邊或一個(gè)角變換到另一個(gè)位置后構(gòu)造全等圖形．

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