武 山，王歡歡

（阜陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

以斯涅耳定律為例探討光學(xué)中的以點(diǎn)及面教學(xué)

武 山，王歡歡

（阜陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

本文以斯涅耳定律為例討論了光學(xué)中的以點(diǎn)及面教學(xué)方法.通過運(yùn)用光學(xué)中的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)證明斯涅耳定律，展現(xiàn)出了以點(diǎn)及面光學(xué)教學(xué)的優(yōu)點(diǎn).并且通過引入當(dāng)前的科研前沿，拓展斯涅耳定律的教學(xué)內(nèi)容，從而進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

光學(xué)；斯涅耳定律；以點(diǎn)及面教學(xué)

隨著知識(shí)經(jīng)濟(jì)和信息時(shí)代的發(fā)展，社會(huì)對人才的要求也在不斷提高.特別是隨著光電產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，大學(xué)越來越注重光電專業(yè)人才的教育.然而，光學(xué)課程內(nèi)容比較繁雜，牽涉的知識(shí)面廣，致使學(xué)生學(xué)習(xí)困難，教學(xué)效果不好.為了更好地理解光學(xué)內(nèi)容，需要在教學(xué)過程中綜合歸納.特別需要在復(fù)習(xí)的時(shí)候能夠以點(diǎn)及面，從一個(gè)小的知識(shí)點(diǎn)拓展到很大的知識(shí)面，既提高了學(xué)生的興趣，又能拓寬學(xué)生的知識(shí)面，有利于學(xué)生對光學(xué)知識(shí)的整體把握.本文通過對斯涅耳定律的證明為例，拓展光學(xué)中的其他知識(shí)面，從而做到以點(diǎn)及面的教學(xué).

1 斯涅耳定律

斯涅耳定律（Snell's law）[1]，又稱折射定律，是荷蘭數(shù)學(xué)家斯涅耳（Snell）在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的，是在光的折射現(xiàn)象中，確定折射光線方向的定律.其具體內(nèi)容為（如圖1）：折射光線、入射光線和法線在同一平面內(nèi)；折射線與入射線分別在法線的兩側(cè)；折射角和入射角滿足：

圖1 光線折射示意圖.其中n1和n2為折射率，θ1和θ2是入射角和折射角.

下面通過證明斯涅耳定律為切入點(diǎn)，介紹光學(xué)中的多個(gè)知識(shí)點(diǎn).

2 費(fèi)馬原理證明斯涅耳定律

費(fèi)馬原理（Fermat's Principle）是指光在兩點(diǎn)間傳播，實(shí)際走的路線花費(fèi)的時(shí)間是極值（最大、最小和恒定值）.其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

如圖2所示，在折射率為n1的介質(zhì)中，從A點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過C點(diǎn)到達(dá)折射率為n2的介質(zhì)中的B點(diǎn).AB之間的水平距離設(shè)為L，假設(shè)C點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)的水平距離為x，則到達(dá)B點(diǎn)的水平距離為L-x，A點(diǎn)和B點(diǎn)到界面的距離為h1和h2.則光線從A到B的光程L為：

圖2 費(fèi)馬原理證明斯涅耳定律示意圖

這里，通過證明折射定律學(xué)習(xí)了幾何光學(xué)中的最基本的原理——費(fèi)馬原理.

3 惠更斯原理證明斯涅耳定律

惠更斯原理（Huygens'Principle）[1]是指波動(dòng)傳播到的各點(diǎn)都可以看作是發(fā)射子波的波源，而在其后的任意時(shí)刻，這些子波的包絡(luò)面就是新的波前.

圖3 惠更斯原理證明斯涅耳定律的光路示意圖

如圖3所示，作一入射光的波前AB.根據(jù)惠更斯原理，波前AB上的任意兩點(diǎn)A和B可以作為子波源.子波源A和B發(fā)出的光在相同的時(shí)間t內(nèi)到達(dá)D和C點(diǎn)，所組成的新包絡(luò)面CD即為新的波前.根據(jù)幾何關(guān)系可知

其中υ1=c/n1和υ2=c/n2為光在介質(zhì)1和2中的速度，c為光速.在（4）式消掉時(shí)間t和AC，即可證斯涅耳定律.

在這個(gè)實(shí)例中，波前、波速的概念和惠更斯原理得到了學(xué)習(xí)和理解.

4 干涉原理證明惠更斯原理

如圖3所示，光線1和2斜入射到界面上，作一波前AB.在波前上，A點(diǎn)和B點(diǎn)是同相的，也就是相位差等于0.根據(jù)上面討論知道，在相同的時(shí)間里，A發(fā)出的光到達(dá)D點(diǎn)，B的到達(dá)C點(diǎn).如果要形成折射波，在C和D點(diǎn)的光波必須相長干涉，否則，會(huì)因?yàn)橄嘞缮娑2].這就要求光波在C點(diǎn)和D點(diǎn)是同相的，也就是說它們的相位差等于0.即光程差等于0.

其中k1=n1k0和k2=n2k0是光在介質(zhì)n1和n2中的波矢，k0=2π/λ0是真空中的波矢,λ0是真空中的波長.利用（4）式的幾何關(guān)系，斯涅耳定律可證.

在這個(gè)證明中所用的光學(xué)知識(shí)有相位差和光程差的定義以及干涉的原理等.

5 動(dòng)量守恒定律證明惠更斯原理

圖4 動(dòng)量守恒定律證明惠更斯原理示意圖

其中，

（7）代入（6）式，斯涅耳定律可證.

這這個(gè)證明中，學(xué)習(xí)了德布羅意波、光量子和光動(dòng)量的概念.

6 變分法證明斯涅耳定律

如圖5所示，假設(shè)ACB是真實(shí)的光線路徑，而ADC是無限靠近真實(shí)路徑的一個(gè)虛擬路徑.按照變分原理，兩條光線在A、B兩點(diǎn)相位相同，也就是光線經(jīng)過兩條路徑的光程差為0.

斯涅耳定律可證.

圖5 變分法證明斯涅耳定律示意圖

7 斯涅耳定律的拓展

斯涅耳定律反映的是在兩個(gè)介質(zhì)均勻界面上的折射情況.然而，隨著微納加工技術(shù)的發(fā)展，人們已經(jīng)能夠調(diào)控界面處的相位變化.如果在界面處沿著x軸有一常數(shù)相位梯度，那么折射定律就要改寫.如圖5所示，假設(shè)光線在D處，坐標(biāo)為x，相位變化為Φ，在相鄰的C處，坐標(biāo)為x+dx，相位變化為Φ+dΦ.則（8）式改寫為

化簡得

這是廣義斯涅耳定律[3].通過設(shè)計(jì)界面處的相位變化，可以得到任意方向的折射光線.

8 總結(jié)

通過斯涅耳定律這一知識(shí)點(diǎn)，在證明過程中學(xué)習(xí)了光學(xué)的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了以點(diǎn)及面的教學(xué).并且通過對斯涅耳定律的拓展，讓學(xué)生接觸到當(dāng)前的科研前沿，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng).

〔1〕A.Ghatak.光學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010.

〔2〕S.O.Kasap.光電子學(xué)與光子學(xué)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2013.

〔3〕N.Yu,P.Genevet,M.A.Kats,F.Aietam,J.Tetienne,F.Capasso,Z [J].Gaburro,Science,2011, 334-333.

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2016-11-21