黃永紅

(重慶市勘測院，重慶 400020)

基于灰色時間序列組合的隧道變形預(yù)測研究

黃永紅*

(重慶市勘測院，重慶 400020)

隨著各大城市地鐵的興建，各種工程事故相繼發(fā)生，隧道開挖具有復(fù)雜性和特殊性，充分認(rèn)識和掌握隧道圍巖的變形規(guī)律，對于避免不必要的工程事故具有重要意義。本文基于隧道圍巖施工期的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，深入研究了時間序列分析、灰色系統(tǒng)理論和組合模型預(yù)測方法。結(jié)果表明，MGM(1，3)+AR(3)組合模型不僅能夠反映數(shù)據(jù)序列的發(fā)展變化的趨勢性，而且還能考慮數(shù)據(jù)序列隨機波動的影響，組合模型擬合與預(yù)測的模擬預(yù)測精度高。研究成果為隧道圍巖施工期和運行期的安全提供可靠依據(jù)，并未科學(xué)研究和理論計算提供參考。

灰色；時間序列；圍巖；變形預(yù)測

1 引 言

隨著城市地鐵隧道工程的蓬勃發(fā)展，出現(xiàn)了因地下工程施工而引起的各種事故[1-3]。例如：地下工程施工會引起地層移動而導(dǎo)致不同程度的沉降和位移，當(dāng)?shù)貙右苿雍偷乇碜冃纬^一定的限度時就會造成地面沉陷、基坑垮塌、隧道破壞、周邊建筑物損害、地下管線損害等事故，導(dǎo)致嚴(yán)重經(jīng)濟損失并產(chǎn)生不良的社會影響，從而影響到隧道和地表建筑物的正常使用和安全運營[4]。尤其對于城市地鐵，一般都穿越城市中心地帶，因建筑物密集、施工場地狹小、地質(zhì)情況復(fù)雜、地下管網(wǎng)密布、交通繁忙、施工條件受到限制，對環(huán)境的控制要求更為嚴(yán)格。為了保證隧道工程的進行以及周圍(建)構(gòu)筑物的安全，密切監(jiān)測圍巖變形，提出較為可靠的圍巖變形預(yù)測方法就顯得十分必要和重要。

時間序列分析是基于動態(tài)數(shù)據(jù)解釋系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)和規(guī)律的統(tǒng)計方法，是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的重要分支之一[5，6]。其基本原理是基于系統(tǒng)有限次數(shù)的觀察數(shù)據(jù)，建立能夠比較精確地反映時間序列中所包含的動態(tài)依存關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，借助模型對系統(tǒng)未來的行為進行預(yù)報，因而可以作為因果關(guān)系統(tǒng)計模型的補充。然而時間序列分析方法適用于平穩(wěn)時間序列建模，但實際圍巖變形監(jiān)測數(shù)據(jù)既非平穩(wěn)的又非等間距的，因此如何對監(jiān)測資料進行等間距和平穩(wěn)化處理，使其適合建立平穩(wěn)時間序列模型，是需要研究的一個問題?；疑到y(tǒng)模型是處理數(shù)據(jù)量少、信息貧乏、不確定性問題的有效方法。均值GM(1，1)模型參數(shù)在模型建立后一直保持不變，而圍巖變形隨著時間而變化，其對應(yīng)的模型的參數(shù)必然發(fā)生變化，因此均值GM(1，1)模型的適用性受到限制[7，8]。鑒于以上原因，將灰色與時間序列組合，實現(xiàn)優(yōu)勢互補，從而全面系統(tǒng)的反映效應(yīng)量的信息是本文要做的主要工作。

2 時間序列的建模

時間序列分析建模預(yù)報的過程是：首先判斷模型類型與模型階數(shù)，即數(shù)據(jù)序列適合建立AR(p)模型、MA(q)模型還是ARMA(p，q)模型，并定出合適的模型階數(shù)p和q；其次估計計算相應(yīng)模型的參數(shù)值φ=(φ1，φ2，…，φp)T及θ=(θ1，θ2，…，θq)T；再次檢驗殘差εt是否為平穩(wěn)白噪聲；最后利用通過檢驗的模型進行預(yù)報[9]。

理論上任何ARMA(p，q)模型均可以轉(zhuǎn)化為 AR(p)模型，從方便實用的角度出發(fā)，本文全部采用 AR(p)模型。

2.1 AR(p)模型的χ2檢驗

模型檢驗就是對殘差序列{ε(t)，t∈Z}進行檢驗。如果建立的模型已經(jīng)完全將原時間序列包含的所有變化趨勢提取出來，則{ε(t)，t∈Z}是平穩(wěn)白噪聲序列，從而證明建立的模型是合適的；反之，若殘差序列不是平穩(wěn)白噪聲序列，則表明建立的模型沒能將原數(shù)據(jù)序列的變化趨勢提取完全，因而應(yīng)進一步對模型進行修正或重新建立模型[10]。

對于AR(p)模型，殘差為：

構(gòu)造χ2的檢驗統(tǒng)計量：

檢驗的假設(shè)：

H0：ρK=0，當(dāng)k≥m；H0：ρK≠0，對某些當(dāng)k≤m。

2.2 AR(p)模型的預(yù)報

AR(p)的最小均方誤差預(yù)測公式為

(1)

則根據(jù)式(1)，AR(p)的遞推預(yù)測公式可表示為

AR(p)模型的最小均方預(yù)測公式簡便實用，根據(jù)xm，xm-1，…，xm-p+1即可求得多步的預(yù)測值，因而其適用性較強。

3 灰色系統(tǒng)GM(1，1)建模

3.1 數(shù)據(jù)序列預(yù)處理

原始數(shù)據(jù)序列為：

X(0)=[x(0)(1)，x(0)(2)，…x(0)(n)]

將X(1)(k)做一次累加：

X(1)=[x(1)(1)，x1(2)，…x(1)(n)]

計算X(1)(k)背景值：

3.2 建立一階微分方程

3.3 微分方程的解

用最小二乘法求解參數(shù)a和b，得：

A=[a，b]T=(BTB)-1BTYn

模擬預(yù)測值表達式為：

(1)殘差檢驗

(2)均方差比值檢驗與小誤差概率檢驗

X(0)(k)的均值和方差：

ε(k)的均值和方差：

計算均方差比值C及小概率誤差P：

均方差比值合格模型要求：對于給定的C0>0，C

小誤差概率合格模型要求：對于給定的P0>0，P

4 灰色時間序列組合模型的工程應(yīng)用

4.1 組合預(yù)測的權(quán)重組合模型

單個模型能針對效應(yīng)量的某些影響因素構(gòu)建模型進行預(yù)測，反映這些因素對效應(yīng)量的影響，因而具有一定的局限性。而實際上，效應(yīng)量與其影響因素之間的關(guān)系是復(fù)雜多變的，單項模型難以反映全部環(huán)境量對效應(yīng)量變性規(guī)律的影響[11]。

組合預(yù)測理論認(rèn)為：對同一個研究對象，組合預(yù)測方法將建立在不同信息基礎(chǔ)上的單項模型有機的組合在一起，綜合各個模型的優(yōu)點實現(xiàn)優(yōu)勢互補，從而全面系統(tǒng)綜合地反映物體的變形情況，提高預(yù)測精度。組合模型并不是各個模型的簡單拼盤，每個單項模型都不是孤立存在的，而是彼此聯(lián)系的，共同組成一個復(fù)雜的政體。組合預(yù)測模型大多優(yōu)于單項模型的預(yù)測效果[12]。

權(quán)重組合模型：

其中：wj表示第j個模型在組合模型中的權(quán)重，wj應(yīng)滿足

權(quán)重系數(shù)wj可以通過多種計算方法就求解得到，常用的有均方導(dǎo)數(shù)法、方差倒數(shù)法、算術(shù)平均法、最優(yōu)加權(quán)法、標(biāo)準(zhǔn)差法、簡單加權(quán)法等。本章介紹最優(yōu)加權(quán)法。4.2 組合模型最優(yōu)權(quán)系數(shù)

將誤差統(tǒng)計量選定為擬合誤差et，則線性規(guī)劃模型可表示為：

(2)

用矩陣表示上式中的各項，即：

W=(w1，w2，…，wJ)T，R=(1，1，…，1)T

ej=[e1(j)，e2(j)，…，eN(j)]T

e=[e1，e2，…，eN]T，j=1，2，…，J

E為正定對稱矩陣，則：

式(2)可表示為：

引進Lagrange乘子，求極小值：

即：EW-λR=0，W=λE-1R

可得：RTW=1，即RT(λE-1R)=1

因而Lagrange乘子λ可表示為：

λ=(RTE-1R)-1

最優(yōu)權(quán)W0和最小值Q0為：

(RTE-1R)-1E-1R=W0

(RTE-1R)-1=Q0

4.3 算例分析

某地鐵隧道是某地鐵一號線一個重要標(biāo)段，而三線大跨隧道施工是本標(biāo)段控制工期的關(guān)鍵，L=127.225 m，主要穿越K1g-2-3a泥質(zhì)粉砂巖(中～微風(fēng)化)，洞口地段穿越粉質(zhì)黏土、粉質(zhì)黏土混卵礫石、強風(fēng)化泥質(zhì)粉砂巖，拱頂覆土厚度 0.5 m～30 m。

施工中建立了位移監(jiān)測系統(tǒng)，它主要根據(jù)位移時間曲線來描述圍巖的變形，以便了解圍巖松動破壞范圍，對圍巖穩(wěn)定性作評價。 選擇RK1+062斷面位移監(jiān)測數(shù)據(jù)作建模分析，具有典型意義。數(shù)據(jù)單位為mm。

V7測點實測值與MGM(1，3)+AR(3)模型擬合值對比表 表1

V7測點MGM(1，3)模型與MGM(1，3)+AR(3)

圖1 實測曲線與MGM(1，3)、MGM(1，3)+AR(3)與擬合預(yù)測曲線

5 結(jié) 論

本文討論了組合預(yù)測模型理論，并基于樁基沉降變形數(shù)據(jù)建立相應(yīng)的組合模型，組合模型綜合了單項模型的優(yōu)點，提高了模擬預(yù)測精度。

MGM(1，3)和AR(3)的權(quán)重組合模型綜合了灰色模型和時間序列模型的優(yōu)點，既反映數(shù)據(jù)序列變化的趨勢項又考慮數(shù)據(jù)序列隨機波動的影響，這是單項模型所不具備的；組合模型擬合與預(yù)測精度均比單個模型高；組合模型的短期預(yù)報精度高，中長期預(yù)報精度低；組合模型的模擬預(yù)測精度受到單項模型的限制，單項模型的精度較低時，組合模型的精度也較低。

MGM(1，3)+AR(3)組合模型不僅能夠反映數(shù)據(jù)序列的發(fā)展變化的趨勢性，而且還能考慮數(shù)據(jù)序列隨機波動的影響，與MGM(1，3)模型相比，組合模型擬合與預(yù)測的模擬預(yù)測精度高。

[1] 劉軍，易勝文，晉濤等. 改進的灰色模型在建筑物沉降預(yù)測中的應(yīng)用研究[J]. 城市勘測，2015，144(1)：149～151.[2] 潘華志，衛(wèi)建東，夏治國等. 實時灰色模型在變形預(yù)測中的應(yīng)用[J]. 測繪科學(xué)，2007.07，32(4).

[3] 劉棠洪，周俊，朱慶川. 改進的灰色預(yù)測模型在地面沉降預(yù)測中的應(yīng)用[J]. 地質(zhì)災(zāi)害與環(huán)境保護，2007.09，18(3).[4] Wang Z，Woodward W A，Gray H L. The application of the Kalman filter to nonstationary time series through time deformation[J]. Journal of Time Series Analysis，2009，30(5)：559～574.

[5] Dong-Jian Z，Chong-Shi G.，et al. Time series evolution forecasting model of slope deformation based on multiple factors[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2005，24(17)：3180～3184.

[6] 張非非，胡健，佘兆宇. 基于優(yōu)化的GM(1，1)模型在高速公路沉降預(yù)報中的應(yīng)用[J]. 城市勘測，2014，139(2)：154～156.

[7] Fernández J，Tizzani P，Manzo M，et al. Gravity‐driven deformation of Tenerife measured by InSAR time series analysis[J]. Geophysical Research Letters，2009，36(4).

[8] Henderson S T，Pritchard M E. Decadal volcanic deformation in the Central Andes Volcanic Zone revealed by InSAR time series[J]. Geochemistry，Geophysics，Geosystems，2013，14(5)：1358～1374.

[9] 陳玲菊. 改進GM(1，1)在高鐵隧道沉降變形預(yù)測中的對比應(yīng)用[J]. 城市勘測，2015，144(1)：142～145.

[10] Samsonov S，d’Oreye N，Smets B. Ground deformation associated with post-mining activity at the French-German border revealed by novel InSAR time series method[J]. International journal of applied earth observation and geoinformation. 2013，23：142～54.

[11] 夏力. 改進的灰色模型在高鐵沉降預(yù)測中的應(yīng)用研究[J]. 城市勘測，2015，147(4)：148～151.

[12] Hetland EA，Musé P，Simons M，et al. Multiscale InSAR time series (MInTS) analysis of surface deformation[J]. Journal of Geophysical Research：Solid Earth. 2012，117(B2).

Deformation Prediction of Tunnel Surrounding Rock Based on Grey Time Series Combined Model

Huang Yonghong

(Chongqing Survey Institute，Chongqing 400020，China)

With more and more subway construction in big cities，engineering accidents occurred one after another. For the tunnel excavation has the complexity and the particularity，it is very important to fully understand and grasp the deformation rule of tunnel surrounding rock，so as to avoid unnecessary accidents. Based on the deformation monitoring data of tunnel surrounding rock during construction，in this paper the time series analysis，the grey system theory and the combination model prediction method are studied. The results show that the MGM(1，3)+AR(3) model combination can not only reflect the trend of the development and change of the sequence data，but also consider the effects of stochastic fluctuations in the data sequence，which can fit and forecast with high precision. The research results provide a reliable basis for the safety of the tunnel surrounding rock construction period and operation period，and provide reference for scientific research and theoretical calculation.

grey；time series；surrounding rock；deformation prediction

1672-8262(2016)06-127-04

TU413.6

A

2016—05—03

黃永紅(1966—)，男，高級工程師，主要從事測繪監(jiān)測工作。

國家自然科學(xué)基金項目(51408191)