朱旭生，趙康鑫，傅春燕

(華東交通大學(xué) 理學(xué)院，江西 南昌 330013)

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n維歐拉方程組初邊值問題經(jīng)典解的爆破

朱旭生，趙康鑫，傅春燕

(華東交通大學(xué) 理學(xué)院，江西 南昌 330013)

討論了n維空間中帶線性阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組初邊值問題經(jīng)典解的爆破。 一方面,利用對(duì)稱雙曲型方程組解的存在性理論,得到了n維空間中可壓縮歐拉方程組的初邊值問題的經(jīng)典解的局部存在性以及解的有限傳播性質(zhì);另一方面,通過構(gòu)造幾種不同類型的泛函,證明了當(dāng)初始數(shù)據(jù)較大時(shí)初邊值問題的經(jīng)典解必定在有限時(shí)間內(nèi)爆破的結(jié)論。

線性阻尼；歐拉方程組；初邊值問題；泛函方法；經(jīng)典解；爆破

0 引言

本文主要考慮如下n維等熵可壓縮歐拉方程組的初邊值問題:

(1)

其邊界條件為：

u·n||x|=1=0，t≥0，

(2)

以及初始條件為：

(3)

對(duì)于可壓縮歐拉方程組經(jīng)典解的爆破[1-12]研究一直是人們關(guān)注的重點(diǎn)。當(dāng)然,我們可以研究的形式也是多種多樣;不過,一般主要集中在一維[8,11]或三維[1-3,6-7,9,12]空間中等熵[2-3,5,7-10,12]與非等熵[1,6,11],是否帶有阻尼項(xiàng)以及是否有真空出現(xiàn)等常見情形。而證明經(jīng)典解爆破常用的就是泛函方法,其核心的思想就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆汉?通過分部積分,最后轉(zhuǎn)化成黎卡提型微分不等式,再根據(jù)所假定的初始泛函可以證明解必定會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破。往往這里所構(gòu)造的泛函大都來源于文獻(xiàn)[1],并且研究的結(jié)果都是針對(duì)初始動(dòng)量所做的假設(shè)得到的。文獻(xiàn)[9]則考慮了歐拉方程組的軸對(duì)稱解,利用其特殊性,構(gòu)造出了只與速度有關(guān)的泛函,同樣證明了解的爆破。而在文獻(xiàn)[10-11]中則是通過平面動(dòng)力系統(tǒng)分析的方法研究了一類特殊形式的解,也得到了經(jīng)典解的爆破。本文通過已研究的相關(guān)成果,在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上,將三維可壓縮歐拉方程組初邊值問題經(jīng)典解的爆破研究進(jìn)而推廣到n維空間,并且引入幾個(gè)新的泛函,在幾種關(guān)于初始動(dòng)量的泛函足夠大時(shí),分別得到了經(jīng)典解在某一時(shí)刻前必定爆破的結(jié)論。

1 相關(guān)定義與引理

定義

wn為單位球體的體積。則有

(4)

m(t)=m(0)。

(5)

2 爆破結(jié)論與證明

定義1

(6)

證明一方面，由引理1，可知

對(duì)F1(t)進(jìn)行求導(dǎo), 再由方程組(1),通過分部積分可以得到

(7)

其中

另外

綜上，將其代入式(7)就可以化為

(8)

另一方面，再由Schwarz不等式

由于

所以

(9)

綜合式(8)和式(9)得

(10)

當(dāng)0≤t≤τ，上式可化為

(11)

由定理中條件可知

所以式(11)可以改寫成

然后對(duì)上式兩邊同時(shí)在[0，t]上積分,就可得到

定義2

(12)

則 T<τ。

證明一方面,對(duì)F2(t)進(jìn)行求導(dǎo),然后再由方程組(1),通過分部積分得到

另外

將上式代入其前一式，即得

(13)

另一方面,再由Schwarz不等式

(14)

綜合式(13)和式(14)得

(15)

(16)

當(dāng)0≤t≤τ,根據(jù)定理假設(shè)條件可知

所以式(16)可以改寫成

然后對(duì)上式兩邊同時(shí)在[0,t]上積分,就可得到

定義3

(17)

則T<τ。

證明首先,對(duì)F3(t)進(jìn)行求導(dǎo),然后根據(jù)方程組(1),通過分部積分得到

(18)

其次,由Schwarz不等式

(19)

綜合式(18)和式(19)得

(20)

4 結(jié) 語

在流體力學(xué)中，可壓縮歐拉方程組是一類重要的方程組，對(duì)其研究已經(jīng)有大量的研究成果出現(xiàn)，研究范圍包括了柯西問題和初邊值問題，從不帶阻尼項(xiàng)到具有阻尼項(xiàng)，從等熵情形到非等熵情形。研究內(nèi)容分別涉及到了經(jīng)典解的整體存在或經(jīng)典解在有限時(shí)間內(nèi)的爆破這兩個(gè)問題。而根據(jù)所提的不同條件也產(chǎn)生了各種不同的爆破的結(jié)果。其中有些結(jié)果還未得到進(jìn)一步的推廣。例如從不帶阻尼項(xiàng)到具阻尼項(xiàng)情形的爆破結(jié)果還需要完善，尤其帶非線性阻尼項(xiàng)的結(jié)果較少，另外在有界區(qū)域情形相關(guān)的爆破現(xiàn)象還未建立相關(guān)的結(jié)論。正因?yàn)樵诹黧w力學(xué)中歐拉方程組占有重要的地位，所以研究可壓縮歐拉方程組意義重大。

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Blowup of the Classical Solutions for the IBVP of the n-dimensional Euler Equations

ZHU Xusheng,ZHAO Kangxin,FU Chunyan

(School of Science,East China Jiao Tong University,Nanchang 330013,China)

This paper discusses the blowup of classical solutions for the initial-boundary value problem of the isentropic Euler equations with linear damping inn-dimensional space.On the one hand,the local existence of the classical solutions is obtained and has limited speed by utilizing the theory for the quasi-linear symmetric hyperbolic systems.On the other hand,by constructing several different types of functional,the classical solution of initial-boundary value problem is proved to be blown up in finite time when the initial functional is large enough.

linear damping;Euler equations;initial-boundary value problem;functional methods;classical solutions;blowup

1673-5072(2016)04-0407-06

2016-05-20

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11161021,61262031,61472138,11561024)

朱旭生(1968—)，男，博士，副教授，主要從事偏微分方程研究。

朱旭生， E-mail:zhuxusheng0926@163.com

O175.2

A

10.16246/j.issn.1673-5072.2016.04.009