朱 春 鵬

(徐州工程學(xué)院數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院， 江蘇 徐州 221111)

批量到達(dá)、服務(wù)臺(tái)可修的MX/G/1重試排隊(duì)系統(tǒng)

朱 春 鵬

(徐州工程學(xué)院數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院， 江蘇 徐州 221111)

討論顧客批量到達(dá)且服務(wù)臺(tái)會(huì)出現(xiàn)故障的重試排隊(duì)模型。當(dāng)新顧客批量到達(dá)服務(wù)臺(tái)時(shí)，如果服務(wù)臺(tái)忙，則新到達(dá)的顧客會(huì)進(jìn)入重試組繼續(xù)尋求服務(wù)或離開系統(tǒng)；當(dāng)服務(wù)臺(tái)出現(xiàn)故障時(shí)，會(huì)立刻得到修理并繼續(xù)進(jìn)行服務(wù)。利用補(bǔ)充變量法，結(jié)合服務(wù)時(shí)間、修理時(shí)間、重試時(shí)間研究排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)。給出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)的遍歷條件，求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)方程組，分析系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)。

批量到達(dá)； 重試； 可修； 補(bǔ)充變量； 穩(wěn)態(tài)

當(dāng)排隊(duì)系統(tǒng)中有新顧客進(jìn)入時(shí)，如果服務(wù)臺(tái)忙，則顧客會(huì)去排隊(duì)繼續(xù)尋求服務(wù)或者離開排隊(duì)系統(tǒng)。而實(shí)際上，大部分顧客會(huì)選擇再次回到系統(tǒng)中繼續(xù)尋求服務(wù)。針對(duì)這種情況，可建立一個(gè)重試組(Orbit)作為緩沖區(qū)，讓再次回到系統(tǒng)的顧客進(jìn)入重試組中繼續(xù)尋求服務(wù)，這種排隊(duì)系統(tǒng)即重試排隊(duì)系統(tǒng)。重試排隊(duì)系統(tǒng)大量用于通信、電話交換系統(tǒng)[1-3]。通常在某個(gè)時(shí)刻，進(jìn)入系統(tǒng)的顧客有可能不止1個(gè)，而是批量到達(dá)。當(dāng)顧客正在接受服務(wù)時(shí)，服務(wù)臺(tái)有可能會(huì)出現(xiàn)故障無(wú)法繼續(xù)服務(wù)，這時(shí)候需要立即對(duì)服務(wù)臺(tái)進(jìn)行維修。當(dāng)服務(wù)臺(tái)結(jié)束維修后，會(huì)繼續(xù)提供服務(wù)[4-7]。本次研究中，將針對(duì)上述情況建立一種批量到達(dá)服務(wù)臺(tái)且服務(wù)臺(tái)可修的MX/G/1重試排隊(duì)模型[8-10]。

1 模型描述

系統(tǒng)在t時(shí)刻重試、服務(wù)、修理所花費(fèi)的時(shí)間分別為C0(t)、S0(t)、H0(t)。設(shè)有以下狀態(tài)變量：μ(t)=0，當(dāng)服務(wù)臺(tái)空閑且系統(tǒng)中無(wú)顧客時(shí)；μ(t)=1，當(dāng)服務(wù)臺(tái)空閑且重試組中有顧客時(shí)；μ(t)=2，當(dāng)服務(wù)臺(tái)進(jìn)行服務(wù)時(shí)；μ(t)=3，當(dāng)服務(wù)臺(tái)進(jìn)行服務(wù)時(shí)發(fā)生故障。補(bǔ)充變量{C0(t),S0(t),H0(t)}，并建立馬氏過(guò)程{N(t),Ω(t)}，其中N(t)=0,1,2…。再假設(shè)：Ω(t)=0，當(dāng)μ(t)=0；Ω(t)=C0(t)，當(dāng)μ(t)=1；Ω(t)=S0(t)，當(dāng)μ(t)=2；Ω(t)=H0(t)，當(dāng)μ(t)=3。重試、服務(wù)、修理的風(fēng)險(xiǎn)率函數(shù)算式分別為：

定義概率函數(shù)：

(1)

(2)

x≤S0(t)≤x+dx},(x>0,n≥1)

(3)

y≤H0(t)≤y+dy，S0(t)=x},

(x>0,y>0,n≥1)

(4)

2 模型建立及求解

2.1 模型建立

令

(5)

(6)

(7)

(8)

n≥1,(x,y)>0

邊界條件：

(9)

(10)

n≥2,2≤i≤m

(11)

Hn(x,0)=pSn(x),n≥1

(12)

歸一化條件：

(13)

2.2 模型求解

根據(jù)式(6)、(8)，假設(shè)[6-8]:

C(x,z)=C(0,z)[1-C(x)]× exp(-λx),x>0

(14)

H(x,y,z)=H(x,0,z)[1-H(y)]× exp(-a(z)y),(x,y)>0

(15)

由式(12)可得:

H(x,0,z)=pS(x,z)

(16)

由式(7)、(16)可以得到：

(17)

由式(12)、(15)、(16)可以得到：

H(x,y,z)=pS(0,z)[1-S(x)]× exp(-φ(z)x)[1-H(y)]× exp(-a(z)y),(x,y)>0

(18)

由式(5) — (12)可以得到：

(19)

(20)

又：

(21)

ρ=λE(X)E(S)(1+ph)

(22)

x>0,1≤i≤m

(23)

(24)

(25)

證明：顯然，{Xn,n=1,2,…}為一個(gè)不可約、非周期的馬氏鏈。根據(jù)Forster準(zhǔn)則，只有滿足條件

{Xn,n=1,2,…}才是遍歷的。證畢。

(26)

(27)

(28)

證明：由式(14) — (25)可以得到式(26) — (28)。定理證畢。

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

證明：由式(29)、(30)、(31)，以及

Q(z)=I0+C(z)+S(z)+H(z)

可得式(32)；再由式(32)及

得式(33)；由式(32)及

3 性能指標(biāo)

3.1 狀態(tài)概率

服務(wù)臺(tái)空閑的概率PN：

服務(wù)臺(tái)正在服務(wù)的概率PS：

PS=λE(X)E(S)

3.2 隊(duì)長(zhǎng)指標(biāo)

(1)重試組中的隊(duì)長(zhǎng)LO：

(2)任意時(shí)刻的系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)LP：

(3)顧客離開后系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)LD：

3.3 非可靠指標(biāo)

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)利用率θ：

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)失效頻率f ：

f=λE(X)E(S)

平均忙期E(TE)：

平均空閑期E(TO):

平均循環(huán)周期E(Tc):

E(Tc)=E(T0)+E(Tb)

4 結(jié) 語(yǔ)

本次研究中，利用補(bǔ)充變量法，建立了MX/G/1重試排隊(duì)系統(tǒng)在批量到達(dá)、服務(wù)臺(tái)可修條件下的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)求解該模型得到了系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)條件下的重試隊(duì)長(zhǎng)和系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)，進(jìn)而求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)利用率、失效頻率、平均忙期、平均空閑期、平均循環(huán)周期等狀態(tài)指標(biāo)。

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Repairable Retrial Queuing System With Batch Arrival

ZHUChunpeng

(School of Mathematical Physics, Xuzhou Institute of Technology, Xuzhou Jiangsu 221111, China)

This paper relates to a retrial queuing model with unreliable server and batch arrivals. When customers arrive at the server which is busy, the new arrivals will enter the retry group to continue to search for a service or leave the system. We assumed that the server may fail while providing service and must be repaired immediately. We research the queue size by using supplementary variables methods corresponding to service time, repair time and retrial time. We also present the ergodic condition for the system to be stable and derive analytical results for the stationary distribution as well as some performance measures of the system.

batch arrival; retrial; repairable; supplementary variables; steady-state

2016-09-20

國(guó)家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金項(xiàng)目“KAM理論中光滑性問(wèn)題的研究”(11526177)；2014年江蘇省高校自然科學(xué)基金項(xiàng)目“樹指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程的極限理論及其應(yīng)用”(14KJB110025))；徐州工程學(xué)院青年教師科研項(xiàng)目“基于排隊(duì)論方法優(yōu)化物流運(yùn)輸?shù)难芯俊?XKY2012302)

朱春鵬(1982 — )，男，講師，研究方向?yàn)榕抨?duì)論。

O226

A

1673-1980(2016)06-0104-04