趙梓媛 孟慶國(guó) 孫文軍

(哈爾濱師范大學(xué),黑龍江 哈爾濱 150025)

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【書(shū)訊】

基于Matlab的二維正交網(wǎng)格夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)模擬分析

趙梓媛 孟慶國(guó) 孫文軍

(哈爾濱師范大學(xué),黑龍江 哈爾濱 150025)

二維正交網(wǎng)格夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)的計(jì)算較為復(fù)雜，衍射過(guò)程抽象，利用Matlab軟件對(duì)其進(jìn)行模擬分析，以便整體掌握二維正交網(wǎng)格衍射場(chǎng)的分布特點(diǎn).用于夫瑯禾費(fèi)衍射的二維正交網(wǎng)格相當(dāng)于兩塊黑白光柵的正交密接，其屏函數(shù)為二者之積.夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)能準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)屏函數(shù)的傅里葉變換，其中空間頻率與場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足確定的替換關(guān)系，進(jìn)而可計(jì)算出衍射場(chǎng)的光強(qiáng)分布.利用傅里葉變換的基本理論與Matlab軟件計(jì)算模擬二維正交網(wǎng)格的夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)的頻率域光強(qiáng)分布，分析光學(xué)參數(shù)變化對(duì)衍射場(chǎng)的影響，加深對(duì)光衍射及傅里葉變換理論的理解與掌握，為該領(lǐng)域的研究人員提供相應(yīng)的理論與技術(shù)借鑒.

正交網(wǎng)格；夫瑯禾費(fèi)衍射；傅里葉變換

隨著計(jì)算機(jī)的普及和軟件的高速發(fā)展，計(jì)算機(jī)模擬已成為物理研究中，除實(shí)驗(yàn)、理論分析之外的較為重要的研究方法.Matlab在繪制圖像上具有極其重要的作用，如今已經(jīng)應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、經(jīng)濟(jì)、氣象等各個(gè)領(lǐng)域.在光學(xué)圖像中的應(yīng)用也很廣泛[1-8]，光譜圖、衍射、干涉等圖樣的繪制越來(lái)越多地依賴(lài)于Matlab.在衍射領(lǐng)域，許多科研人員現(xiàn)已運(yùn)用Matlab模擬了單縫、多縫及矩孔等多種光柵的夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)，高峰等人運(yùn)用Matlab軟件仿真了夫瑯禾費(fèi)單縫衍射[1]，孫文軍等人利用Matlab分析多縫夫瑯禾費(fèi)衍射[2]，郝忠秀等人利用Matlab對(duì)矩孔夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)進(jìn)行了模擬計(jì)算[3]，崔祥霞運(yùn)用Matlab仿真了圓孔圓環(huán)的夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)[4].

上述文獻(xiàn)計(jì)算的都為衍射屏為單方向的受限或簡(jiǎn)單的二維受限情況，模擬計(jì)算過(guò)程較為簡(jiǎn)單，而二維正交網(wǎng)格光柵的夫瑯禾費(fèi)衍射公式計(jì)算較為復(fù)雜，可供參考的資料較少，給衍射的理論分析與理解帶來(lái)了不便，本文基于光信息處理中傅里葉變換的基本理論，對(duì)二維正交網(wǎng)格的夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)的復(fù)振幅和強(qiáng)度分布進(jìn)行計(jì)算.運(yùn)用Matlab軟件的計(jì)算和繪制功能模擬并分析二維正交網(wǎng)格的夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)，根據(jù)控制變量法改變各光學(xué)參量，分析衍射場(chǎng)隨光學(xué)參量的變化.通過(guò)運(yùn)用Matlab研究二維正交網(wǎng)格的夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)，加深了對(duì)夫瑯禾費(fèi)衍射的認(rèn)識(shí)與理解，提高對(duì)衍射場(chǎng)的分析能力，加深了對(duì)光信息處理中傅里葉變換的基本理論的理解與掌握，直觀地呈現(xiàn)了衍射斑的強(qiáng)度分布特點(diǎn)，便于整體掌握二維正交網(wǎng)格衍射場(chǎng)的變化規(guī)律.

1 基礎(chǔ)理論[10，11]

如圖1所示，衍射屏為xOy面內(nèi)二維正交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，光柵常數(shù)為d(x、y方向分別為dx和dy)，透光部分的縫寬為a(x、y方向分別為ax和ay)，其夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)經(jīng)透鏡匯聚于x′O′y′面上，并呈現(xiàn)頻率域的衍射光斑分布.

圖1 二維正交網(wǎng)格衍射光柵

二維正交網(wǎng)格相當(dāng)于兩塊黑白光柵的正交密接，其屏函數(shù)為二者之積：

(1)

(2)

(8)

(9)

夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)屏函數(shù)的傅里葉變換，其中空間頻率與場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足下列關(guān)系：

(10)

(11)

衍射光強(qiáng)度分布為

(12)

其中,λ為入射光波長(zhǎng);F為匯聚透鏡焦距，N1、N2分別為x、y方向上的光柵周期;x′、y′為接收屏上場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo);f1、f2為相對(duì)應(yīng)的空間頻率;θ1、θ2分別為x、y方向的衍射角.

2 模擬分析

根據(jù)空間頻率與場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式(8)與(9)，可得到相對(duì)應(yīng)的空間頻率取值，再聯(lián)立式(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)、(10)可求得衍射光強(qiáng)I.

2.1 光學(xué)參數(shù)對(duì)頻率域衍射場(chǎng)的影響

計(jì)算中初步設(shè)定λ=600nm，F(xiàn)=30cm，ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6，得到衍射光強(qiáng)度分布如圖2所示.由圖2可知衍射中心光斑強(qiáng)度最大，頻率域的衍射光斑沿x′、y′方向均呈現(xiàn)對(duì)稱(chēng)分布，且兩個(gè)方向的分布一致，說(shuō)明光波在兩個(gè)方向上的受限程度相同.

圖2 光強(qiáng)分布(λ=600nm，F(xiàn)=30cm， ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6)

圖3為λ=600nm，F(xiàn)=30cm，ax=ay=0.8μm，N1=N2=6，dx=1.6μm，dy=2μm時(shí)頻率域衍射光強(qiáng)分布，由圖3可知，光柵常數(shù)改變不影響光強(qiáng)分布，根據(jù)衍射斑間距與光柵常數(shù)的關(guān)系Δx=λF/d及式(10)、(11)可知，衍射斑的頻率間隔與光柵常數(shù)成反比，x方向的光柵常數(shù)變小，則頻率域f1上的間隔變大.

圖3 光強(qiáng)分布(λ=600nm，F(xiàn)=30cm， ax=ay=0.8μm，dx=1.6μm，dy=2μm，N1=N2=6)

圖4為λ=600nm，F(xiàn)=30cm，ax=0.8μm，ay=1.2μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6時(shí)頻率域衍射光強(qiáng)分布，與圖2相比發(fā)現(xiàn)縫寬的變化(晶格常數(shù)不變)并不改變衍射斑的位置，卻使衍射斑的強(qiáng)度得到了重新分布.即縫寬越大，衍射效應(yīng)越不明顯.

圖4 光強(qiáng)分布(λ=600nm，F(xiàn)=30cm， ax=0.8μm，ay=1.2μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6)

圖5為λ=600nm，ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=6，N2=4，F(xiàn)=30cm時(shí)頻率域衍射光強(qiáng)分布.與圖2相比，由于y方向上的光柵周期N2變小，使得原來(lái)的圓形衍射斑沿x′方向擴(kuò)展，形成長(zhǎng)軸沿x′方向的橢圓形光斑.可見(jiàn)兩個(gè)方向上的光柵周期數(shù)不同時(shí)，頻率域的衍射光斑形狀會(huì)發(fā)生變化.

圖5 光強(qiáng)分布(λ=600nm， ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=6，N2=4，F(xiàn)=30cm)

圖6為λ=600nm，ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6，F(xiàn)=50cm時(shí)頻率域衍射光強(qiáng)分布.與圖2相比，當(dāng)匯聚透鏡的焦距變大時(shí)，衍射光斑的強(qiáng)度并未發(fā)生變化，但光斑之間的頻率間隔及衍射光斑所占的頻率范圍都在增大.

圖6 光強(qiáng)分布(λ=600nm， ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6，F(xiàn)=50cm)

2.2 衍射場(chǎng)的頻譜提取

二維正交網(wǎng)格(正交密接黑白光柵)夫瑯禾費(fèi)衍射的頻譜是二維的矩形點(diǎn)陣，在其基礎(chǔ)上進(jìn)行平面頻譜提取，將得到全新的夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)光強(qiáng)分布，頻譜提取后的衍射場(chǎng)將對(duì)應(yīng)于不同的衍射屏.

圖7 只保留中央一列衍射光斑的光強(qiáng)分布

圖8 只保留中央一行衍射光斑的光強(qiáng)分布

向的多縫結(jié)構(gòu)，即圖7的頻譜逆傅里葉變換為沿x方向的多縫光柵；圖8為只提取中央一行分布的衍射光斑，則只對(duì)應(yīng)于二維正交網(wǎng)格光柵xOy面上縱向網(wǎng)紋，相當(dāng)于衍射屏為沿y方向的多縫結(jié)構(gòu)，即圖8的頻譜逆傅里葉變換為沿y方向的多縫光柵.

圖9與圖10為只提取沿對(duì)角線(xiàn)分布的衍射光斑，它們分別對(duì)應(yīng)于二維正交網(wǎng)格光柵xOy面上與其相垂直的網(wǎng)紋，相當(dāng)于衍射屏為沿另外一對(duì)角線(xiàn)分布的多縫結(jié)構(gòu)，即圖9與圖10的頻譜逆傅里葉變換為沿與其垂直的多縫光柵.

圖9 只保留fθ頻譜中央一斜排衍射光斑的 光強(qiáng)分布三維圖像

圖10 只保留fφ頻譜中央一斜排衍射光斑的 光強(qiáng)分布三維圖像

3 結(jié)語(yǔ)

運(yùn)用Matlab軟件的計(jì)算與繪圖功能模擬了正交網(wǎng)格的夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)光強(qiáng)分布，獲得了不同光學(xué)參數(shù)下的頻率域衍射光強(qiáng)分布圖，分析了不同光學(xué)參數(shù)對(duì)衍射場(chǎng)分布的影響及不同頻譜提取所對(duì)應(yīng)的衍射屏變化.計(jì)算與分析方法具有形象、生動(dòng)、簡(jiǎn)單、靈活等特點(diǎn)，為光信息處理等相關(guān)領(lǐng)域的其他師生在理論與技術(shù)上提供了重要的支持與借鑒.

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SIMULATION AND ANALYSIS OF FRAUNHOFER DIFFRACTION FIELD FOR TWO-DIMENSION ORTHOGONAL GRID BY MATLAB SOFTWARE

Zhao Ziyuan Meng Qingguo Sun Wenjun

(School of Physics and Electronic Engineering, Harbin Normal University, Harbin, Heilongjiang 150025)

In order to show the diffraction field distribution, Matlab software was used as simulation and analysis of Fraunhofer diffraction for two-dimensional orthogonal grid. The Fraunhofer diffraction of two-dimensional orthogonal grid is equivalent to orthogonal joint of two pieces of black and white orthogonal gratings, and screen function is their product. Fraunhofer diffraction field is able to accurately realize the Fourier transform of screen function. Its spatial frequency and sites coordinates meet certain relations, consequently be able to calculate the distribution of the diffraction fields. The basic theory of Fourier transform and Matlab software are used to render the three dimensional diffraction intensity distribution image for the two-dimensional orthogonal grids, in order to analyze the relationship between the parametric variation and image, deepening the understanding and mastering of the theory of optical diffraction, providing a theoretical basis and technical supports for researchers in the field.

orthogonal grid; Fraunhofer diffraction; Fourier transform

2016-04-25

黑龍江省教育改革工程項(xiàng)目(No.JG2014010850).

孫文軍，男，教授，主要從事物理教學(xué)科研工作,研究方向?yàn)榈入x激元光子學(xué)及半導(dǎo)體非線(xiàn)性光學(xué).swjgood0139@126.com

趙梓媛，孟慶國(guó)，孫文軍. 基于Matlab的二維正交網(wǎng)格夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)模擬分析[J]. 物理與工程，2016，26(6)：112-116.