周長志,孫佳龍,郭淑艷

(1. 山東省國土測繪院,山東 濟南 250102； 2. 淮海工學院測繪與海洋信息學院, 江蘇 連云港 222001； 3. 海島(礁)測繪技術國家測繪地理信息局重點實驗室, 山東 青島 266590； 4. 江蘇省海洋資源開發(fā)研究院, 江蘇 連云港 222001)

基于移動-多面函數(shù)的高程異常擬合方法

周長志1,孫佳龍2,3,4,郭淑艷2

(1. 山東省國土測繪院,山東 濟南 250102； 2. 淮海工學院測繪與海洋信息學院, 江蘇 連云港 222001； 3. 海島(礁)測繪技術國家測繪地理信息局重點實驗室, 山東 青島 266590； 4. 江蘇省海洋資源開發(fā)研究院, 江蘇 連云港 222001)

將多面函數(shù)擬合法獲得局部區(qū)域的最優(yōu)結果作為移動二次曲面擬合時選擇搜索半徑的依據(jù)。然后，將獲得的搜索半徑作為最優(yōu)擬合距離，運用移動二次曲面法實現(xiàn)了高程異常擬合，即移動-多面函數(shù)擬合方法。以某區(qū)域獲取的高程異常作為實例，比較了3種方法的擬合精度。結果顯示，移動二次曲面法、多面函數(shù)和移動多面函數(shù)的中誤差分別為1.499、0.870和0.304 m，可見，移動-多面函數(shù)法比另外兩種方法的擬合精度都高。

高程異常；移動曲面擬合法；多面函數(shù)擬合法

確定高程異常的傳統(tǒng)方法有很多種，主要包括平面擬合法、曲面擬合法、加權均值法、多面函數(shù)法、移動曲面法等。這些方法將所有待估參數(shù)作為非隨機的變量，然后根據(jù)經(jīng)典的最小二乘原理來解算最佳估值[1-3]。然而，擬合函數(shù)僅僅可看作高程異常數(shù)值的一個趨勢面，其與實際的高程異常之間不可避免地會存在差別。其中，在有復雜地質條件的高山地區(qū)，這個差異會增大。目前，國內大量的實際運用和國外學者的研究成果顯示，在地形出現(xiàn)起伏較陡或測區(qū)范圍很大時，似大地水準面可能會出現(xiàn)較為復雜的形狀[4-6]。在不同的GPS測區(qū)中，這些擬合GPS高程的模型法根據(jù)自身的特點分別適用于不同的測區(qū)中。本文根據(jù)移動曲面擬合法和多面函數(shù)曲面擬合法的特點，將移動曲面擬合法和多面函數(shù)曲面擬合法結合起來，提出了移動-多面函數(shù)法，并應用該方法進行了GPS高程擬合。

一、移動-多面函數(shù)擬合方法

移動曲面擬合法利用每一個數(shù)據(jù)點作為內插點，依據(jù)移動法利用該點四周的數(shù)據(jù)點解算其內插值，因為各個數(shù)據(jù)點沒有參加內插，因此它可以給出可靠的精度估計信息[7-8]。用多面函數(shù)擬合法進行內插求值，核函數(shù)的選取、圓滑因子的選取與函數(shù)結點的選取都是待解決的關鍵[10]。利用移動曲面擬合法高精度的優(yōu)點進行多面函數(shù)擬合法中函數(shù)結點的選擇，將兩個方法結合形成移動-多面函數(shù)的高程異常擬合方法。

基于移動-多面函數(shù)的高程異常擬合方法根據(jù)多面函數(shù)擬合法獲得局部區(qū)域的最優(yōu)結果，將該結果作為移動二次曲面擬合時選擇搜索半徑的依據(jù)。然后，根據(jù)選出的搜索半徑作為最優(yōu)擬合距離，運用移動二次曲面法得到高程異常。

根據(jù)該方法的理論，假設已知的高程異常點個數(shù)為m，待定的點個數(shù)為s。具體計算步驟如下：

1) 采用移動二次曲面擬合方法前，計算某一個待定點A到所有已知高程異常點的距離。

2) 選取距離高程異常待定點A最近的n個已知點為多面函數(shù)核函數(shù)的結點(n為計算多面函數(shù)的最少已知點個數(shù))，利用多面函數(shù)計算所有待定點的高程異常值。

3)n依次遞增，直至n=m。

4) 比較以多面函數(shù)的核函數(shù)作為距離指標，計算n個已知點在核函數(shù)距離范圍內的待定點的高程異常變化值Δξ及其變化值的平均值。

5) 以平均值最小時所對應的n作為A點進行移動二次曲面擬合時選取的已知點的范圍，再根據(jù)步驟1)計算的A點到各已知點的距離，確定移動二次曲面擬合時的搜索距離。

6) 依此類推，將移動二次曲面擬合和多面函數(shù)擬合結合確定所有待定點的高程異常值。

二、算例分析

本文數(shù)據(jù)為某區(qū)域D級控制網(wǎng)布設的17個控制點，以兩個控制點間的距離作為搜索半徑，經(jīng)過計算，將6000—8000作為搜索半徑的取值范圍。在取值范圍內選取不同的搜索半徑，運用移動二次曲面法對數(shù)據(jù)進行高程異常擬合試驗，擬合的結果如圖1所示。

圖1 移動曲面法搜索半徑不同時高程異常曲線

從圖1可以看出，運用移動二次曲面法對數(shù)據(jù)進行高程異常擬合時，不同的搜索半徑下擬合所得結果與實際值相差較大，且不存在規(guī)律性。然而，搜索半徑在移動二次曲面法中是關鍵參量，因此，選取一個合適的搜索半徑是至關重要的。圖1中顯示，當搜索半徑取7000時，試驗擬合出的高程異常值很接近實際值。因此，當選取一個合適的搜索半徑時，運用移動二次曲面法可以得到精度較高的擬合結果。

在17個控制點中，按點號順序分別選取不同數(shù)量的點作為已知點。當已知點數(shù)量分別為3、4、5、6、7時，運用多面函數(shù)法對數(shù)據(jù)進行高程異常擬合試驗，擬合的結果見表1。

表1 多面函數(shù)法不同已知點數(shù)下高程異常數(shù)據(jù)表

在選取不同數(shù)量的已知點時，試驗擬合結果的變化如圖2所示。

圖2 多面函數(shù)法不同已知點數(shù)下高程異常曲線

從表2可知，運用多面函數(shù)法對數(shù)據(jù)進行高程異常擬合時，不同數(shù)量的已知點下擬合所得結果與實際值之間均存在差值，但擬合結果存在一定的規(guī)律性。當已知點數(shù)量逐漸增多時，擬合結果逐漸向實際值逼近。圖2中，更加清晰地反映了該規(guī)律，當已知點數(shù)量為7時，試驗擬合出的高程異常值最接近實際值。因此，在控制點數(shù)量范圍內，選取的已知點數(shù)量越多，運用多面函數(shù)法擬合高程異常的精度將越高。在圖2中，13號點的高程異常值在不同已知點數(shù)下均與已知值有較大差異。結合表1可分析得出，由于13號點Y坐標最小，與已知點距離相差較遠，所處地點較偏導致上述差異。因此，可以猜測已知點分布情況不同，即已知點選取方式不同可能影響多面函數(shù)法擬合高程異常的精度。

在所有控制點中，按不同方式選取n個點作為已知點。將所有數(shù)據(jù)分別按X坐標、Y坐標遞增和遞減進行排列，選取前n個點作為已知點，本文中根據(jù)上一試驗選取7個點。另外，將X坐標、Y坐標排序，選取其最大值最小值和中間值，即分布在測區(qū)4個邊和中心的點，并且選取高程異常相差最大的兩個點作為已知點，這些點均勻分布在測區(qū)中。在本文中，選取1、3、4、13、2、7、12這7個點作為均勻分布的已知點。在已知點選取方式不同的情況下，運用多面函數(shù)法對數(shù)據(jù)進行高程異常擬合試驗，對擬合結果求中誤差，最終結果見表2。在已知點選取方式不同時，試驗最終結果的變化如圖3所示。

表2 多面函數(shù)法已知點選取不同時高程異常中誤差數(shù)據(jù)

圖3 多面函數(shù)法已知點選取不同時高程異常中誤差曲線

由表2可知，已知點分布情況不同時，運用多面函數(shù)法對數(shù)據(jù)進行高程異常擬合所得到的結果精度不同，擬合結果也不存在規(guī)律性。當已知點均勻分布時，擬合結果的精度最高。圖3清晰地反映了當已知點均勻分布時，試驗擬合出的高程異常中誤差最小，精度最高。因此，運用多面函數(shù)法進行高程異常擬合時，選取均勻分布的控制點作為高程異常擬合的已知點，擬合得出的結果精度最高。

綜上，移動-多面函數(shù)法需要選取合適的搜索半徑和已知點個數(shù)，并且選取的點應該均勻分布在測區(qū)中。首先根據(jù)算法流程，利用多面函數(shù)法擬合可得到局部區(qū)域的最優(yōu)結果，該結果可作為移動-多面函數(shù)法的搜索半徑。本文中，運用Matlab對該算法進行了運算，最終計算得出合適的搜索半徑為7120。其次，通過比較和分析，可以得出在該算例中，多面函數(shù)法已知點為7個時精度達到最高。因此，本文中移動-多面函數(shù)法選取7個點作為已知點。最后，關于選取測區(qū)中分布均勻的點作為已知點這一方法，由于無法用算法的形式進行表達，暫時只能人為進行選取，這一點仍需改進。本文中，通過人工選取的7個均勻分布的點作為移動-多面函數(shù)法擬合高程異常時的已知點。

在上述分析的基礎上，將17個控制點中的8—17號點作為高程異常檢核點，運用移動-多面函數(shù)法進行高程異常擬合試驗。將移動-多面函數(shù)法擬合得到的結果與上述兩種方法進行對比分析，3種方法所得高程異常數(shù)據(jù)見表3。3種不同方法下，高程異常擬合的結果變化如圖4所示。

從表3可知，3種方法擬合出的高程異常值各不相同。通過分析高程異常中誤差發(fā)現(xiàn)，移動二次曲面法、多面函數(shù)和移動多面函數(shù)的中誤差分別為1.499、0.870和0.304 m，可見，移動-多面函數(shù)法比另外兩種方法的擬合精度都高。圖4展示了3種方法之間的對比，可以看出，多面函數(shù)法存在較大的異常值，移動二次曲面法雖然變化趨勢與高程異常真值比較接近，但與真值之間存在較大的平均誤差，只有移動-多面函數(shù)法與真值變化趨勢基本一致。

表3 3種方法下高程異常數(shù)據(jù)

圖4 3種方法下高程異常值曲線圖

三、結 論

通過對移動二次曲面法和多面函數(shù)法不同情況下的多次試驗，充分了解兩種方法的優(yōu)缺點，將兩種方法結合為移動-多面函數(shù)的高程異常擬合方法。該方法不盲目地選擇搜索半徑，不僅顧及了局部擬合效果與整體擬合效果的統(tǒng)一性，也顧及了多面函數(shù)的核函數(shù)與歐氏距離之間的差異性。然而，利用該方法進行擬合時，對于多面函數(shù)的核函數(shù)和平滑因子的選取并未顧及，這些問題需要進一步研究。

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Height Anomaly Fitting Method Based on Mobile-Polyhedral Function

ZHOU Changzhi,SUN Jialong,GUO Shuyan

2016-04-11

國家自然科學基金(40974016)；江蘇省海洋資源開發(fā)研究院科技開放基金(JSIMR201416)；海島(礁)測繪技術國家測繪地理信息局重點實驗室基金(2014B09)

周長志(1971—)，男，工程師，主要從事GPS數(shù)據(jù)分析和管理工作。E-mail: sdcors@163.com

周長志,孫佳龍,郭淑艷.基于移動-多面函數(shù)的高程異常擬合方法[J].測繪通報，2016(12)：25-27.

10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0394.

P224

B

0494-0911(2016)12-0025-03