李秋英

(1.廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 廣東 廣州510006; 2.運(yùn)城學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系 山西 運(yùn)城044000)

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具有時(shí)滯和不育控制的捕食模型的Hopf分支

李秋英1,2

(1.廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 廣東 廣州510006; 2.運(yùn)城學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系 山西 運(yùn)城044000)

研究了具有時(shí)滯和不育控制的捕食者-食餌模型．首先利用特征根和分支理論等方法獲得了平衡點(diǎn)穩(wěn)定性， 其次討論了正平衡點(diǎn)附近發(fā)生Hopf分支的條件， 最后給出了數(shù)值模擬．

捕食模型; 不育控制; 時(shí)滯; Hopf 分支

0 引言

對鼠害的防治一般有物理學(xué)方法、化學(xué)方法、生物學(xué)方法及生態(tài)學(xué)方法． 其中，生態(tài)學(xué)方法是通過惡化鼠類的生存條件，降低生育率或者降低環(huán)境對鼠類的容納量來實(shí)現(xiàn)的．生態(tài)學(xué)方法中的不育控制是借助某種技術(shù)或方法使雄性或(和)雌性絕育，或阻礙胚胎著床發(fā)育，甚至阻斷幼體生長發(fā)育，以降低生育率，從而控制種群數(shù)量的增長[1-2]．不育控制技術(shù)的研究主要有兩方面: 一方面是藥效的研究即野外控制實(shí)驗(yàn)[2-3];另一方面是不育控制下害鼠種群動態(tài)的系統(tǒng)分析[4-6]．本文在研究害鼠防治時(shí)，除了考慮不育控制外，同時(shí)考慮引進(jìn)天敵．經(jīng)典的Lotka-Volterra捕食系統(tǒng)一直是生態(tài)數(shù)學(xué)的研究熱點(diǎn)[7-10]，因此，本文建立具有時(shí)滯和不育控制的捕食模型，討論其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在，最后給出了數(shù)值模擬．

1 數(shù)學(xué)模型

設(shè)x1(t),x2(t),y(t) 分別是t時(shí)刻可育食餌、不育食餌和捕食者的種群密度；a11是密度制約系數(shù)；a13是被捕食的系數(shù)；c是消化率；μ為食餌中可育者向不育者的轉(zhuǎn)化率.假設(shè)捕食者在捕食食餌后經(jīng)過一定時(shí)間τ后才能轉(zhuǎn)化為自身的增長率． 建立具有時(shí)滯和不育控制的捕食模型如下:

(1)

2 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

由模型(1)可得到如下結(jié)論:

定理1 若b≤d1+μ，則平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的．

定理2 如果b>d1+μ且ca13(b-d1-μ)

(2)

3 Hopf分支

下面討論模型(1)在正平衡點(diǎn)E*處 Hopf分支的存在性．模型(1) 在E*對應(yīng)的特征方程為:

即

λ3+p1λ2+p2λ+(q1λ+q2)e-λτ=0.

(3)

p2ω-ω3=-q1ωcosωτ+q2sinωτ;p1ω2=q2cosωτ+q1ωsinωτ.

(4)

ω6+Aω4+Bω2+C=0,

(5)

綜合上述推導(dǎo)得如下定理.

定理3 當(dāng)b>d1+μ,a13(b-d1-μ)>a11d2以及d1+a13y*-μ>0時(shí)， 至少存在τ0， 使得當(dāng)τ∈[0,τ0]時(shí)，模型(1) 的正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的,當(dāng)τ>τ0時(shí)，E*不穩(wěn)定,當(dāng)τ=τ0時(shí)，模型(1) 在平衡點(diǎn)E*附近發(fā)生Hopf 分支．定理表明， 若系統(tǒng)(1)的時(shí)滯不存在或者很小時(shí)，正平衡點(diǎn)E*是漸近穩(wěn)定的;當(dāng)時(shí)滯逐漸變大時(shí)，正平衡點(diǎn)E*逐漸由穩(wěn)定到不穩(wěn)定，出現(xiàn)了Hopf分支． 因此時(shí)滯τ破壞系統(tǒng)(1)解的穩(wěn)定性．

4 數(shù)值模擬

前面討論了時(shí)滯對系統(tǒng)(1)正平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響．下面通過例子更直觀展示出時(shí)滯τ對系統(tǒng)解的漸近行為的影響．取b=2,d1=0.5,a11=0.1,a13=0.3,μ=0.6,d2=0.45,c=0.4，則系統(tǒng)(1)即為

(6)

圖1 τ=1.2時(shí)，E* 漸近穩(wěn)定Fig.1 The positive equilibrium of (6) was asymptomatic stable when τ=1.2

圖2 τ=1.7時(shí)，E* 不穩(wěn)定且存在周期解Fig.2 The equilibrium of (6) wasn’t stable and there existed periodic solution when τ=1.7

圖1和圖2驗(yàn)證了定理3的結(jié)論：1)τ=1.2<τ0，平衡點(diǎn)E*是漸近穩(wěn)定的;2) 當(dāng)τ=1.7>τ0時(shí)，解是不穩(wěn)定的，且漸漸趨近于一個(gè)周期解，即從穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E*分支出一個(gè)周期解．故當(dāng)時(shí)滯τ穿過τ0=1.635 1 時(shí)，E*變得不穩(wěn)定，出現(xiàn)周期解， Hopf 分支發(fā)生．

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

Hopf Bifurcation of a Predator-prey Model with Time Delays and Contraception Control

LI Qiuying1,2

(1.SchoolofMathematicsandInformationScience,GuangzhouUniversity,Guangzhou510006China；2.DepartmentofAppliedMathematics，YunchengUniversity，Yuncheng044000China)

A predator-prey system with delayed and contraception control was studied．Firstly，stability of the nonnegative equilibrium and the existence of Hopf bifurcation were investigated by using some methods such as characteristic root and bifurcation etc．Secondly，Hopf bifurcation was demonstrated by regarding the delay as the bifurcation parameter． Finally， numerical simulations supporting theoretical results were also given．

predator-prey model; contraception control; time delay; Hopf bifurcation

2016-06-10

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371313)；運(yùn)城學(xué)院科研項(xiàng)目(XK2012003)．

李秋英(1980—)，女，山東菏澤人，副教授，主要從事生物數(shù)學(xué)研究，E-mail:liqy-123@163.com．

李秋英.具有時(shí)滯和不育控制的捕食模型的Hopf分支[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2016,48(4)：23-26.

O175.13

A

1671-6841(2016)04-0023-04

10.13705/j.issn.1671-6841.2016645