李星云

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，圖形是其主要表現(xiàn)形式。幾何直觀是以圖形為研究對象進(jìn)行思考和想象的一種能力，是“圖形與幾何”的核心目標(biāo)。除此之外，幾何直觀也滲透在數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐等領(lǐng)域。數(shù)學(xué)知識具有“數(shù)”與“形”的雙重特征，如函數(shù)、度量、解析幾何等。只有從數(shù)、形兩個方面認(rèn)識數(shù)學(xué)，才能更好地理解和把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而幾何直觀就是從“形”的角度展示數(shù)學(xué)。學(xué)生憑借幾何直觀能力，不僅能夠輕松地從運動和變換的角度研究和學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)，而且可以利用圖形研究代數(shù)等其他領(lǐng)域的問題。因此，可以說，幾何直觀是研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具，也是一種基本能力?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）給出了幾何直觀的定義，并在不同領(lǐng)域?qū)缀沃庇^都提出了相應(yīng)的要求，數(shù)學(xué)教師必須深刻理解幾何直觀的內(nèi)涵、意義，并思考如何在教學(xué)中有效培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

一、幾何直觀的內(nèi)涵

幾何直觀包括“幾何”和“直觀”。幾何指的是圖形；直觀包括兩層含義，一是直接觀察到的事物，二是根據(jù)觀察到的事物進(jìn)行想象、思考和綜合。由此可知，幾何直觀的含義是：根據(jù)直接觀察到的圖形進(jìn)行想象、思考和綜合。[1]直觀是對數(shù)學(xué)概念、定義、關(guān)系等內(nèi)容的直接感知和把握。與直覺不同的是，直觀需要以邏輯作為支撐，是人在后天學(xué)習(xí)經(jīng)驗中慢慢積累而成的。《標(biāo)準(zhǔn)》針對幾何直觀的作用作出了解釋性說明：幾何直觀通過圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題，讓復(fù)雜的問題變得簡明、形象，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，探究解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。[2]

實物直觀、圖形直觀、簡約符號直觀和替代物直觀是小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何直觀的四種主要表現(xiàn)形式。[3]實物直觀指的是以實物為依托的幾何直觀能力。與其他類型相比，實物直觀是生活中現(xiàn)實存在的，能夠比較直觀地表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系。比如，小學(xué)低年級學(xué)生學(xué)習(xí)20以內(nèi)的數(shù)時，可以借助小棒來理解十進(jìn)制的含義，小棒就是實物直觀。簡約符號直觀是借助抽象或簡約的符號來理解數(shù)學(xué)知識，如行程問題中的線路圖。圖形直觀是指利用幾何圖形的直觀能力，比如，圖1巧妙地運用了3個矩形面積的關(guān)系解釋乘法分配率的公式：a（b+c）=ab+ac。替代物直觀是實物直觀、圖形直觀和簡約符號直觀的綜合，“替代物”既可以是具體實物、幾何圖形，也可以是抽象的符號，如分?jǐn)?shù)的除法可以利用線段圖和符號進(jìn)行直觀理解。

綜上所述，圖形不僅是數(shù)學(xué)重點研究的對象，而且是數(shù)學(xué)研究的得力工具。合理運用圖形解決數(shù)學(xué)問題，一方面可以簡化數(shù)學(xué)對象，幫助學(xué)生理解和記憶，另一方面可以幫助學(xué)生找到更為直觀的解決方法。培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力就是要訓(xùn)練學(xué)生利用圖形解決問題的能力，讓學(xué)生學(xué)會從“形”的視角思考問題、分析問題和解決問題。

二、幾何直觀的教育價值

（一）化繁為簡，增強解決問題的信心

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)相對于其他學(xué)科來說，抽象性和邏輯性比較強，學(xué)生對新事物的認(rèn)知主要依賴具體的實物，再加上小學(xué)生的認(rèn)知水平處于具體運算階段逐漸向形式運算階段轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵期，因而學(xué)好數(shù)學(xué)的難度比較大。如果利用直觀形象的背景以及幾何圖形，在抽象知識與實際問題之間架起橋梁，那么復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題就會變得一目了然，學(xué)生也易于理解，進(jìn)而逐步增強解答難題的信心，并從中體會到學(xué)習(xí)的愉悅和數(shù)學(xué)的美感，從而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣。

例如，貨車和客車分別同時從甲、乙兩地相對開出，第一次相遇地點離甲地85千米。相遇后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，到達(dá)目的地后立刻返回，第二次相遇地點離乙地15千米，求甲、乙兩地間的距離。該題是兩個行程問題的綜合，對于初次接觸該題型的學(xué)生而言，幾乎不可能一步到位得出答案。教師若利用線段圖（見圖2）就能對行程過程進(jìn)行詳細(xì)直觀的描述，降低題目的難度，學(xué)生就能夠抓住行程過程的關(guān)鍵點，即客車行駛的路程是甲、乙兩地距離的3倍，所用的時間是貨車所用時間的3倍。

（二）深化理解，訓(xùn)練邏輯推理能力

教師利用合適的幾何模型、圖形對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行描述和解釋，有利于打開學(xué)生的思路，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，透徹理解數(shù)學(xué)問題。幾何直觀利用圖形或模型對數(shù)學(xué)概念、定義和公式進(jìn)行直觀的演繹和推導(dǎo)，使分析問題的過程變得更加顯性、清晰，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力。

例如，盈虧問題是小學(xué)階段的重要題型之一，雖然已經(jīng)有成型的公式可以套用，只要學(xué)生能夠判斷出屬于哪一種類型便可輕松得出答案，但是要讓學(xué)生真正理解盈虧問題的實質(zhì)卻并不容易，對此，教師可以利用幾何直觀進(jìn)行解釋分析。舉例如下：開學(xué)初，某班組織幾名學(xué)生搬書，若每人搬18本，還有2本沒有人搬；若每人搬20本，有1名同學(xué)不用搬。請問一共有幾名同學(xué)去搬書？教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用畫圖的形式，對該題進(jìn)行直觀的描述，讓學(xué)生能夠輕松地理解幾個變量之間的關(guān)系。如圖3所示，書的總數(shù)和搬書的人數(shù)固定不變，實線線段表示書的總數(shù)，這樣，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)前后兩次分配的差（20+2=22）是由于每個人多搬了2本書所導(dǎo)致，從而可以直接得出答案是11個人。

（三）提升綜合能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

已有的腦科學(xué)研究成果顯示：人的左腦主要進(jìn)行抽象思維，對遇到的問題進(jìn)行邏輯分析和運算；而右腦則負(fù)責(zé)形象思維，對問題進(jìn)行直觀形象的分析。只有左右腦協(xié)調(diào)工作時，才能成功地解決問題。因此，學(xué)生憑借直觀形象的載體解決實際問題，也是對右腦的開發(fā)和利用。在一定程度上，想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力是無限的。從本質(zhì)上來看，幾何直觀是利用圖形進(jìn)行想象的一種能力，它不僅有助于學(xué)生深入理解問題，而且能夠從中找到巧妙的解決方法。在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生利用幾何直觀進(jìn)行描述和分析，讓學(xué)生嘗試采用數(shù)形結(jié)合的方法解決數(shù)學(xué)問題。

例如，通過操作、觀察和想象，學(xué)生知道將長方形進(jìn)行平行移動能夠得到長方體，將長方體旋轉(zhuǎn)一周能夠得到圓柱體。因此，在圖形與幾何領(lǐng)域，借助幾何直觀，學(xué)生能夠知道點動成線、線動成面、面動成體的事實。同時，教師還可以讓學(xué)生嘗試將自己喜歡的圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，想象并設(shè)計出各種立體圖形。學(xué)生在不斷的嘗試和探索過程中，能夠逐漸提高解決問題的能力，形成創(chuàng)新的意識。

三、幾何直觀能力的培養(yǎng)策略

幾何直觀在圖形與幾何中發(fā)揮著重要的作用，推動著其他領(lǐng)域的學(xué)習(xí)。圖形是幾何直觀的研究對象與工具，這使得其貫穿于整個圖形與幾何領(lǐng)域，學(xué)生不僅需要認(rèn)識各種圖形及其性質(zhì)，還需要了解圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等變換運動，讓幾何圖形學(xué)“動”起來是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的有效途徑。在相對抽象的數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，幾何直觀的運用可以將抽象的數(shù)學(xué)對象和關(guān)系變得顯性化，因此，尋找數(shù)學(xué)對象的直觀模型是該領(lǐng)域培養(yǎng)學(xué)生直觀能力的重要措施。在統(tǒng)計與概率領(lǐng)域，教師利用直觀材料進(jìn)行教學(xué)，能夠幫助學(xué)生在理解統(tǒng)計過程與統(tǒng)計方法的基礎(chǔ)上形成數(shù)據(jù)分析觀念。在綜合與實踐領(lǐng)域，在具體的問題解決活動中，教師可以借助實物直觀培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力是圖形與幾何的教學(xué)目標(biāo)之一，而幾何直觀能力又是影響中小學(xué)學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的重要因素，教師必須重視。在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，教師可從以下幾個方面入手。

（一）深刻理解幾何直觀的內(nèi)涵

有效培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力關(guān)鍵在于兩點。第一，教師對幾何直觀的認(rèn)識及把握程度。在教學(xué)中，教師關(guān)于幾何直觀的知識儲備量以及把控能力，直接影響著學(xué)生對幾何直觀的認(rèn)識和掌握。第二，教師要具有主動培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的意識，善于挖掘?qū)W生的幾何直觀潛質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。

例如，彩繩每米售價2.5元，購買2米、3米、4米……8米彩繩分別需要多少元？對于熟練掌握小數(shù)乘以整數(shù)的學(xué)生來說，這道題目并不難。當(dāng)然，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生用圖像說話，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，比如利用圖像估計購買彩繩所花費的金額，為學(xué)習(xí)正比例關(guān)系做好鋪墊。如果教師不具備培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的意識，只是讓學(xué)生用乘法尋求答案，那么就無法充分挖掘這道題目蘊含的深層價值。教師如果具備豐富的幾何直觀知識，在備課時就會考慮幾何直觀的教育功能，主動挖掘教材或教學(xué)參考書中可以利用的素材，并在教具的選擇和習(xí)題的安排上充分發(fā)揮幾何直觀的教育功能。

（二）引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣

良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣有助于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。圖形是幾何直觀重要的研究對象與工具，學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是培養(yǎng)幾何直觀能力的基礎(chǔ)。小學(xué)生自制力比較差，注意力容易分散，教學(xué)中教師培養(yǎng)學(xué)生畫圖的習(xí)慣，既能夠讓學(xué)生集中注意力，又能夠提高學(xué)生的繪圖技能和動手能力，并在動手操作中體會幾何直觀的價值。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生盡可能地通過動手畫圖來解決數(shù)學(xué)問題。學(xué)生畫圖的過程可以將頭腦中抽象的思維方式和思考過程變得圖形化、直觀化，使思考過程更加清晰、有條理。畫圖不僅可以在解決具體問題時運用，當(dāng)學(xué)習(xí)完一個單元或整個章節(jié)的內(nèi)容后，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)脠D形對知識進(jìn)行梳理，將知識間的脈絡(luò)體系進(jìn)行整理，提高對知識的整體把握能力。

例如，教師在教學(xué)時可以利用知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖，幫助學(xué)生厘清知識間的聯(lián)系。小學(xué)高年級學(xué)生已經(jīng)初步了解三視圖，會從正面、左面和上面判斷圖形的特征并選出相應(yīng)的圖形，有時還能夠繪制出簡單的圖形，這樣不僅加深了對三視圖的認(rèn)識，還提高了畫圖能力。

（三）尋找數(shù)學(xué)對象的直觀模型

小學(xué)生抽象思維水平較低，對數(shù)的認(rèn)識離不開現(xiàn)實生活中的實物，比如，一個蘋果對應(yīng)1，兩根香蕉對應(yīng)2。當(dāng)學(xué)生開始接觸數(shù)時，教師可以使用點子圖和具體的事物（如小棒、積木條）幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)。在小學(xué)低年級階段，教師應(yīng)用直觀模型可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的認(rèn)識。比如，在方格中放一些圓點，一個圓點代表一個元素，一個方格代表一個集合，整數(shù)的加減運算就可以通過圓點的增加或減少來實現(xiàn)。

例如，為了解釋5×6=30的算理，教師可以利用方格直觀展示，把兩個方格的點排成5行6列的矩陣形式。再如，學(xué)習(xí)長方體、圓柱等立體圖形時，教師可以引入生活事例，也可以引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中哪些對象是已經(jīng)學(xué)過的幾何圖形，并讓學(xué)生說一說。除了上課時準(zhǔn)備的直觀教具，教師還可以利用多媒體展示更為復(fù)雜的直觀模型，如球體的形成過程或立體圖形的切面展示。在統(tǒng)計與概率、綜合與實踐領(lǐng)域，教師可以通過直觀模型呈現(xiàn)問題的背景，如利用小圓片代替教材中的礦泉水瓶、套圈等，幫助學(xué)生直觀理解平均數(shù)的含義。

（四）引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)與形兩個角度理解數(shù)學(xué)

很多數(shù)學(xué)內(nèi)容具有數(shù)與形的雙重特征。數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想與方法，解題時運用數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生需要對所學(xué)知識與技能具有貫通式的認(rèn)識與理解。因此，教師有必要培養(yǎng)學(xué)生具備數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化意識，讓學(xué)生能夠從數(shù)與形兩個方面理解數(shù)學(xué)。

例如，在小學(xué)階段，學(xué)生初步接觸正比例函數(shù)。與中學(xué)階段不同的是，小學(xué)階段只是從有限的自變量認(rèn)識正比例關(guān)系，因而教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫出其中一部分正比例函數(shù)的圖像，并嘗試?yán)脠D像解決問題。相反，在統(tǒng)計與概率領(lǐng)域，當(dāng)需要學(xué)生對統(tǒng)計圖進(jìn)行解釋時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將圖中的信息轉(zhuǎn)化成數(shù)據(jù)再進(jìn)行分析。

（五）重視幾何圖形的變換

發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力是圖形與幾何的核心教學(xué)目標(biāo)之一。重視幾何圖形的變換是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力最有效的途徑，因為只有通過圖形的運動或圖形的變換，才能真正把握圖形的性質(zhì)。[4]小學(xué)生接觸的基本圖形幾乎都是對稱的，如長方形、圓、長方體等，但基本圖形可以通過變換或運動得到更多不同的圖形。

例如，長方形通過變換得到平行四邊形，三角形通過變換和平移可以得到平行四邊形。圖形的變換不僅是幾何學(xué)習(xí)的重點，還是研究其他圖形的工具，教師應(yīng)當(dāng)充分利用圖形的變換，指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識和理解圖形的性質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系。

（六）加強不同版本教材的整合

不同版本的數(shù)學(xué)教材對幾何直觀的重視程度有所差別。以北師大版數(shù)學(xué)教材為例，該教材重視利用幾何直觀幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，闡述數(shù)學(xué)原理。

例如，學(xué)習(xí)小數(shù)乘整數(shù)這節(jié)內(nèi)容，北師大版數(shù)學(xué)教材不僅通過小數(shù)的加法讓學(xué)生理解小數(shù)的乘法，還運用圖形解釋算理（見圖4）。教師在設(shè)計教學(xué)時，要研讀多種版本的教科書，并借鑒其他版本數(shù)學(xué)教材中好的想法與設(shè)計意圖，充分利用各種教學(xué)資源，在教學(xué)中運用幾何直觀的構(gòu)想設(shè)計教學(xué)，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)中直觀地理解數(shù)學(xué)，進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，從而形成直觀想象這一核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：92.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：6.

[3]孔凡哲，曾崢.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：268.

[4]史寧中.數(shù)學(xué)思想概論——圖形與圖形關(guān)系的抽象[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2015：153.

（責(zé)編 歐孔群）