涂愛玲

各地在中考第二輪復(fù)習(xí)時基本都是采用專題方式推進(jìn)，初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課往往是針對某一類重點題型、重要知識板塊或者某一種比較突出的思想方法等組織展開專題復(fù)習(xí)、專題研究. 2015年5月，桂林市教科所在我校組織開展初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)備考會，探討在中考第二輪復(fù)習(xí)備考中如何培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，進(jìn)而提高學(xué)生綜合運用知識的能力.為了給大家提供一節(jié)有價值的研究課，我校初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)團隊全力以赴集備，充分發(fā)揮師生的資源優(yōu)勢，開發(fā)出這節(jié)“二次函數(shù)存在性問題”專題復(fù)習(xí)課.

存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題.這類問題的知識覆蓋面廣，綜合性強，題意構(gòu)思巧妙，解題方法靈活，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求都比較高，而二次函數(shù)的存在性問題屬于中考壓軸題中的經(jīng)典題型，作為研究課非常有探討價值.結(jié)合現(xiàn)階段學(xué)生的實際情況，基于對該內(nèi)容題型特點的分析，并立足于學(xué)生的整體水平提升，我們將設(shè)計思路定位為寬入口、低起點、高落點，可拓展、能延伸，用五度教學(xué)模式進(jìn)行問題設(shè)計，即“有效度的問題呈現(xiàn)—有梯度的問題變式—有深度的問題拓展—有廣度的問題開放—有高度的問題歸納”.這節(jié)課既關(guān)注到了五個教學(xué)環(huán)節(jié)的緊湊性，又在每一個教學(xué)環(huán)節(jié)中突出了各環(huán)節(jié)問題設(shè)計的基本原則.

一、有效度的問題呈現(xiàn)：從一個簡單問題切入，作為教學(xué)的起點

要使問題呈現(xiàn)有效度，必須認(rèn)真考慮問題的選取和整體設(shè)計.我們決定由一條拋物線切入本專題復(fù)習(xí)，讓拋物線解析式統(tǒng)領(lǐng)全局，像一粒種子一樣自然地生長發(fā)芽，貫穿這節(jié)課問題設(shè)計的始終，且確保內(nèi)容緊湊、環(huán)環(huán)相扣；微觀上則貫穿“點→線→面”的設(shè)計思路，一路設(shè)問，承前啟后，使所解決的問題都能成為后續(xù)問題的生長點.

在這個環(huán)節(jié)，我們的問題設(shè)計經(jīng)歷了“解析式→求點坐標(biāo)→求線段長→判斷形狀→計算面積”的思維過程，以此確保低起點、寬入口，步步為營，層層推進(jìn)，一脈相承，讓學(xué)生每解決一個問題總能為下一個問題的解決做好鋪墊，由此實現(xiàn)知識和能力的同步自然生長.

問題：如圖1，拋物線=-+2+3與軸交于點、（點在點的左側(cè)），與軸交于點，頂點為點.

（1）請你直接寫出A、B、C、D四點的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；

（2）你能求出圖中哪些線段的長度？

（3）你能判斷△的形狀嗎？

（4）請你求出△的面積.

以上問題呈現(xiàn)，用四個小問依次幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固如何根據(jù)解析式求拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，復(fù)習(xí)鞏固如何根據(jù)兩點坐標(biāo)求這兩點間的線段長度，復(fù)習(xí)鞏固如何根據(jù)確定的三條線段長度判定它們所構(gòu)成的三角形形狀，最后復(fù)習(xí)鞏固如何根據(jù)確定的三角形、運用三角形面積公式或割補的方法計算該三角形的面積.四個小問環(huán)環(huán)相扣，問題解決經(jīng)歷了“歸納知識要點→歸納解題方法→形成解題策略”的思維過程，滲透了數(shù)學(xué)基本知識、基本方法和基本思想的教學(xué).

二、有梯度的問題變式：探究“最值”，經(jīng)歷“線段和→線段差→周長→面積”的思維歷程

為探究“最值”問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“線段和→線段差→周長→面積”的思維歷程，問題設(shè)計由淺入深、層層推進(jìn)，注意為學(xué)生搭建思維階梯，讓學(xué)生可以拾級而上、不斷攀升，最終形成有序的邏輯思維鏈條.經(jīng)歷了上一個環(huán)節(jié)的“問題”解決，確定了點坐標(biāo)、對稱軸等基本元素以后，這個環(huán)節(jié)的問題變式設(shè)計便進(jìn)入了“探究線段和最小值→探究線段差最大值→探究周長最小值→探究面積最大值”等一系列“最值”存在性問題.選擇“問題”已解決的點和線作為問題變式的生長點，由線段和聯(lián)想到線段差，又由線段和最小值聯(lián)想到周長最小值，由周長最小值聯(lián)想到面積最大值等，問題之間相互關(guān)聯(lián)、層次分明，梯度推進(jìn)思路明顯.

過渡語：我們由一條拋物線解析式解決了一系列的確定性問題，那么我們能不能從我們已知的點[A（-1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4）]，對稱軸（直線x=1），拋物線（y=-x2+2x+3）中選擇幾個元素，設(shè)計出新的問題，探究不能直接確定的結(jié)果呢？

變式1：如圖2，在拋物線的對稱軸上是否存在一個點P，使PA+PC的值最??？若存在，請找出點P.

變式2：如圖2，在拋物線的對稱軸上是否存在一個點P，使PA-PC的值最大？若存在，請找出點P.

變式3：如圖3，在拋物線的對稱軸上是否存在一個點P，使△PAC的周長最??？若存在，請找出點P.

變式4：如圖4，在第一象限的拋物線上是否存在一個點P，使△PBC的面積最??？若存在，請找出點P.

以上變式設(shè)計，通過變式1和變式2引導(dǎo)學(xué)生運用軸對稱和三角形三邊關(guān)系探究線段和的最小值和線段差的最大值，運用“將軍飲馬”這個基本模型解決問題，滲透了數(shù)學(xué)建模的學(xué)科思想；通過變式3引導(dǎo)學(xué)生將三角形周長最小值問題轉(zhuǎn)化為線段和的最小值問題，滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；通過變式4引導(dǎo)學(xué)生運用二次函數(shù)討論面積的最值問題，滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.這個環(huán)節(jié)，我們通過引導(dǎo)學(xué)生依次解決所呈現(xiàn)的變式問題，來培養(yǎng)其建模、轉(zhuǎn)化和遷移能力.

三、有深度的問題拓展：由探究最值問題，拓展到探究圖形形狀

問題拓展有深度，是指所提問題要具有思考性和挑戰(zhàn)性，問題設(shè)計要向縱深發(fā)展.在這個環(huán)節(jié)，我們的問題設(shè)計開始從最值的存在性問題過渡到圖形形狀的存在性問題，包括探究直角三角形（直角頂點確定）、探究直角三角形（直角頂點不確定）、探究等腰三角形的圖形形狀的存在性問題，這是數(shù)學(xué)思維的又一次躍進(jìn).問題生成仍然選擇用“問題”解決的點和線作為問題拓展的生長點，由直角頂點確定聯(lián)想到直角頂點不確定，由直角三角形聯(lián)想到等腰三角形，不斷突破學(xué)生思維的局限，提升學(xué)生的思維水平，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能.

過渡語：我們?nèi)匀粡囊阎狞c和已知的線出發(fā)，但可以改變提問的角度，由“最值”的存在性問題拓展到“圖形形狀”的存在性問題.

拓展1：如圖5，在拋物線上是否存在一個點P，使△PBD為直角三角形，且點B為直角頂點？若存在，請找出滿足條件的點P，并求出點P的坐標(biāo).

拓展2：如圖5，在拋物線上是否存在一個點P，使△PBD為直角三角形，且點P為直角頂點？若存在，請找出滿足條件的點P，并求出點P的坐標(biāo).

拓展3：如圖6，在拋物線的對稱軸上是否存在一個點P，使△PCG為等腰三角形？若存在，請找出滿足條件的點P，并求出點P的坐標(biāo).

以上問題拓展，通過拓展1啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想并運用勾股定理探究直角三角形的頂點存在性問題，滲透了方程思想、數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想；通過拓展2啟發(fā)學(xué)生分情況，探究不確定的直角頂點的存在性問題，滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想；通過拓展3啟發(fā)學(xué)生借助拓展1和拓展2的解題經(jīng)驗和方法，再結(jié)合等腰三角形的特點，建立方程求解，滲透了幾何問題代數(shù)化的建模思想.在這個環(huán)節(jié)，我們旨在通過引導(dǎo)學(xué)生對以上拓展問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生自主溝通問題與知識、問題與方法之間聯(lián)系的能力，使學(xué)生的思維層次不斷升級.

四、有廣度的問題開放：由教師主導(dǎo)編制變式問題，過渡到由學(xué)生自主編題

問題開放有廣度，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過設(shè)計開放性問題激活個性思維，培養(yǎng)問題意識，激發(fā)創(chuàng)造力，全面訓(xùn)練思維發(fā)散性.在這個環(huán)節(jié)，問題設(shè)計由封閉到開放，由老師主導(dǎo)編寫變式問題開始遞進(jìn)到讓學(xué)生自主創(chuàng)編新的二次函數(shù)存在性問題.

過渡語：緊扣主題，結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容和你自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，自由發(fā)揮，小組討論，創(chuàng)作出符合要求的新問題.

師：請根據(jù)“問題”中的拋物線和“問題”中所求得的點和線作為條件，提出一個以二次函數(shù)為背景的存在性問題.

該環(huán)節(jié)為學(xué)生提供了一個獨立思考與合作創(chuàng)新的平臺，讓不同層次的學(xué)生在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中獨立處理、加工本課中所獲得的各種信息，聯(lián)系已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，創(chuàng)造出新的屬于自己和團隊的問題.這樣的“問題開放”既尊重學(xué)生的個性特點，又強調(diào)團隊的合作交流，在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和創(chuàng)新精神的同時，滲透了對學(xué)生自主思考、合作探究的學(xué)習(xí)態(tài)度的培養(yǎng).

五、有高度的問題歸納：采用文字歸納法和思維導(dǎo)圖歸納法，有條不紊地進(jìn)行問題歸納

為使問題歸納有高度，我們可以采用精煉的文字歸納和思維導(dǎo)圖歸納的方式方法，引導(dǎo)學(xué)生從解題策略、解題方法和解題思想的高度進(jìn)行問題的歸納與總結(jié)，讓學(xué)生學(xué)會從深層次挖掘問題與問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，溝通數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)知識、方法和思想的關(guān)聯(lián).

過渡語：縱觀整節(jié)課，請同學(xué)們自主梳理、整合、歸納本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

歸納任務(wù)：請回顧這堂課，你收獲了哪些知識，掌握了哪些方法，形成了哪些策略，了解了哪些思想，或者有了哪些新的感悟？

“問題歸納”讓學(xué)生將一節(jié)課的知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，使縱橫交錯、融會貫通，有助于培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣，讓學(xué)生形成可遷移、能生長的知識和能力。學(xué)生通過反思解題方法發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，進(jìn)而將解題方法上升為通解通法，做到舉一反三、觸類旁通.

（責(zé)編 白聰敏）