賴登榕

摘 要：數學是一門抽象性、邏輯性很強的學科，應用直觀的教學手段增強學生對數學知識的理解，發(fā)展學生的認知能力具有十分重要的作用.初中階段正是學生思維方式發(fā)展的關鍵期和轉折期，思維上體現了抽象性與形象性的綜合特征.如何適時應用直觀性教學手段，以領悟數學知識為媒介，促進學生數學思維的發(fā)展，是數學教育工作者應當思考的問題.

關鍵詞：實物直觀；模像直觀；模式直觀；語言直觀

義務教育數學課程標準（2011年版）指出：“要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系”、“學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程” [1 ].捷克教育家夸美紐斯在《大教學論》中指出，“應該盡可能地把事物本身或代替它的圖像放在面前，讓學生去看看、聽聽、觸觸 [2 ].”美國著名的哲學家、教育學家和心理學家杜威提出了“做中學”，“從活動中學”，“從經驗中學”.他明確提出：“從做中學要比從聽中學更是一種較好的方法 [3 ].”這些教育思想中無不說明直觀性教學的重要性.

下面就應用直觀性教學手段以深化學生對數學知識的領悟方面談談筆者的一些做法和感受.

1 通過實物直觀教學，發(fā)展抽象思維能力

以新北師大版數學教材（下同）為例，列舉一些運用實物直觀教學來深化學生對數學關系的領悟的例子，比如在“九年級上冊第一章——特殊的平行四邊形”這一章節(jié)中，結合教材資源提問：用折紙和剪紙的辦法（如圖1）如何得到一個菱形或正方形，并說明道理.

通過引導學生進行實際操作和演示，讓他們嘗試解說從折到剪的全過程，力求能夠做到具體、形象地講解圖形的邊、角、對角線的內在關系，并辨析圖形變化前后的數值和位置關系.筆者讓學生思考和驗證：上述方法能否剪出一個（不是正方形的）矩形，為什么？調動和激發(fā)學生的積極性和好奇心，課堂活動進入了新的高潮.從而深化了學生從邊、角或對角線的角度，對菱形、正方形間的內在關系的領悟和掌握.

又如在“七年級上冊第一章——豐富的圖形世界”這一章節(jié)中，通過準備好長方體、正方體、圓柱體、剪刀、美工刀、卡紙等教具，在課堂演示操作，適時引導學生參與教學實驗，讓學生準確地把握圖形的形狀、數量和位置關系。通過直觀的實物展示，促進了學生對相對復雜的空間關系的認識，準確把握了長方體和圓柱體的截面形狀、組合體的三視圖以及其間正方形的分布位置、組合體中正方體最多或最少個數問題等的解決方法；為了進一步深化領悟，再設置了如下問題：用一個平面截一個正方體，截面形狀能否是七邊形？請同學們切割用白蘿卜制成的正方體，并說說你在切割中的發(fā)現.實物直觀教學發(fā)展了學生抽象思維能力、空間想象能力，提高了他們發(fā)現、提出、分析和解決問題的能力.

再如，事件的“可能性”、“頻率與概率”，讓學生參與摸紅球、轉轉盤、擲骰子、拋硬幣、拋圖釘、擲飛鏢等游戲活動中，通過親身經歷和實際操作，感知數學規(guī)律的真實性與存在性，深化了學生對應用古典概型或幾何概型解決實際問題的方法的領悟，從根本上把握不確定事件的數學關系.

這樣的例子還有很多.實物直觀本身也存在局限性，如圖形的變換（縮放、平移、旋轉、對折等），想通過實物直觀教學手段來深化學生對知識的領悟的難度是很大的，所以實際教學中借助了其他直觀手段加以實現.

2 通過數學模像直觀教學，發(fā)展抽象思維能力

一般地，觀察與教材相關的模型與圖像（如PPT、圖片、圖表、視頻等），形成表象的方法被稱為模像直觀。它是實物直觀的有效補充.

數學模像直觀主要是通過前景或背景顏色的強調、形狀的縮放、動作路徑的設定、對象的參照等手段形成實物中非本質特征的強度改變，從而突出數學教學中需要概括的數學對象的本質因素.用動畫形式表現圖形的變換（縮放、平移、旋轉、對折）、呈現點、線、面、體的動態(tài)過程、展示相關數學關系之間的互相轉換等，實際教學中可利用的資源有很多，教師亦可自己制作課件，實現圖像動態(tài)效果的易用軟件包括PPT、Flash、幾何畫板等.

例如，七年級下冊“第五章生活中的軸對稱——探索軸對稱的性質”，如果教學過程中只停留在性質的驗證和應用上，課堂學習將會變得枯燥無味，學生的主體性和主動性也將無法得到充分的體現.通過實物展示也可能受阻，因為這節(jié)課的相關圖形已經從生活中抽象成了數學圖形，現在又要倒退回去，這不是折騰嗎？如果我們通過動畫，利用顏色對比和動作路徑設定，讓圖形自己會說話，學生能直接地感知到圖形中每個對應量之間的位置及數量關系，特別是對稱點的連線與對稱軸之間的關系.學生容易得到以下結論（如圖2）：AD=A/D/，∠1=∠2，∠3=∠4，以及AA/被對稱軸l垂直平分等類似的關系，同時對稱軸的位置也顯得十分直觀，不容懷疑.模像直觀彌補了實物直觀的不足，便于學生對數學對象本質屬性的理解和把握，并且在一定程度上培養(yǎng)了學生的抽象思維能力.

3 運用模式直觀，促進思維的遷移，發(fā)展抽象思維能力

所謂模式直觀，是通過相對比較具體的、先前已經熟悉的、具有普遍協(xié)調感的、容易接近的模式作為背景，使得人們能夠進一步把握和理解更加抽象、更為深刻的思維對象[4 ].模式直觀是抽象的數學知識學習中經常運用的教學手段.

比如有理數、實數、無理數乃至代數式的運算教學，通過類比小學已學的運算律、運算順序等已有的算法模式和計算經驗，化未知為已知，成功拓展了數的范圍，深化了對數的運算關系的領悟.

再如利用“糖水的直觀模式”證明a/b

類似的例子還有許多，比如用溫度計類比數軸來比較實數的大小問題、用方格紙體現勾股定理及其逆定理、用抽屜原理說明400人中定有2人生日相同問題、用方程與函數思想解應用題、用摸球游戲做模擬實驗估算概率問題等，通過建模形成不同的模式，用以解決許多同類的實際問題是我們經常運用的思想方法.模式直觀的應用，促進了數學思維的遷移，化被動為主動，化未知為已知，深化了學生對數學關系的領悟，對培養(yǎng)學生思維模式和分析問題、解決問題起到了不可替代的作用.

4 采用語言直觀教學，發(fā)展抽象思維能力

《醫(yī)學百科》對“語言直觀”解釋是：教師用生動形象、富有感染力的語言喚起學生對有關事物表象的重現，并按照描述進行重組，以形成新事物的表象.歸結一些口訣或順口溜，不僅直觀形象、富有趣味性，而且對數學知識的領悟和掌握也很有幫助.

比如，正方體的展開圖有11種情況，如何準確、快速、牢固地掌握它們呢？在實踐中借助口訣輔助教學，稱以下6種基本圖形為1-4-1型，并輔以口訣“四個側面放中間，上下兩面各一邊”，如圖3（甲）.

當然，為了更加準確、快速地判斷一個圖形是否為正方體的展開圖，還應當對圖形進行變式訓練，即對圖形進行位置的改變，如圖3（乙）其實是圖3（甲）水平翻轉后對應的圖形.為了便于學生掌握，可對1-4-1型的圖形進行了有序的排列，在教學中也便于語言直觀的表達.同時，還將其他展開圖分別直觀地概括為2-3-1型（共3種）也輔以口訣“二三相連不成田，三一相連位不限”、2-2-2型和3-3型（各1種）用一句口訣“二二三三連成梯，十一種類歸四型”.

再如，不等式組的解集問題，可用“大大取大；小小取??；大小、小大取中間；大大小小分兩邊（無解）.”類似于這樣的口訣結合線段圖加以輔助教學，讓復雜的情況變得簡單易懂、生動有趣.通過語言直觀和模像直觀（或實物直觀）相結合進行教學，為深化學生對數學知識的領悟起到了事半功倍的效果.

除了用口訣方式使學習內容變得形象生動外，還可借助比喻、對照、轉化、類比等一系列形象生動的教學語言，使一些原本抽象復雜、邏輯性很強的數學關系變得更加簡單、有趣、易懂.比如在“九年級下冊第三章 ——圓”這一章節(jié)中，關于“垂徑定理”的逆定理是這樣描述的：“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，并且平分弦所對的弧”，學生覺得不是太好理解.若讓學生把這句話轉化為“如果……，那么……”的形式，同時畫成圖形，即“如果圓O的直徑d平分一條不是直徑（停頓強調）的弦a（學生畫圖），那么這條直徑d就會垂直于弦a，并且平分弦a所對的兩條?。ńY合圖形說明）”，學生很快就改寫好了，并且也順利地畫出正確的圖形進行描述.為了加深對定理的理解，又引導學生思考：如果把括號中“不是直徑”四個字省略了，這個命題還會成立嗎？學生依照之前的方式將命題轉化成“如果圓O的直徑d平分一條弦a，那么這條直徑d就會垂直于弦a，并且平分弦a所對的兩條弧”，接著用畫圖形的方式加以說明，得到了反例（如圖4），通過舉反例的方式成功地解決了爭議.

語言直觀是最基本的直觀手段，它不會受時空限制，生動形象、富有趣味、感染力強，能夠喚起學生對各種表象的再現.語言直觀要恰當地同實物直觀、模像直觀以及模式直觀相結合，充分發(fā)揮直觀性教學手段在深化學生對數學知識領悟方面的作用.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：3-4.

[2]張煥庭.西方資產階級教育論著選讀[M].北京：人民教育出版，1979：49.

[3]鄭治國.從杜威的“做中學”看現代教育[J].江西教育，2004（3）：2.

[4]羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2008：61.

[5]張廣祥，張奠宙.代數教學中的模式直觀[J].數學教育學報，2006（1）：2.