駱勇鵬，黃方林，伍彥斌，魯四平，蘇澤平

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

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基于逐步回歸分析和Bootstrap重抽樣的鐵路鋼桁橋不確定參數(shù)識別

駱勇鵬，黃方林，伍彥斌，魯四平，蘇澤平

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

為獲得不確定性參數(shù)的概率統(tǒng)計特征，提出一種基于逐步回歸分析和Bootstrap重抽樣的不確定性參數(shù)識別方法。該方法首先根據(jù)合理試驗設(shè)計確定試驗點并計算試驗點所對應的響應，基于逐步回歸分析方法構(gòu)造表達設(shè)計參數(shù)和響應關(guān)系的最優(yōu)響應面模型。進而在小樣本的情況下，利用Bootstrap重抽樣技術(shù)對實測響應進行抽樣得到大樣本數(shù)據(jù)，結(jié)合響應面模型，通過優(yōu)化反演來求得各個Bootstrap樣本所對應的參數(shù)值，經(jīng)概率統(tǒng)計分析得到參數(shù)的均值和標準差。采用一組試驗鋼板和鐵路鋼桁橋算例來驗證所提方法的可行性和可靠性。結(jié)果表明,所提方法可準確地識別出不確定性參數(shù)的概率統(tǒng)計特征值;與隨機模型修正相比，所提方法在保證精度的前提下，具有更高的計算效率，可用于復雜工程結(jié)構(gòu)的不確定性參數(shù)量化分析中。

橋梁工程；不確定性參數(shù)識別；Bootstrap重抽樣；鐵路鋼桁橋；模型修正

0 引言

目前結(jié)構(gòu)設(shè)計分析往往都是在模型、參數(shù)等因素已經(jīng)確定的情況下，采用確定性的方法進行仿真分析。由于結(jié)構(gòu)尺寸誤差、材料特性等存在一定的不確定性，這些不確定性又使結(jié)構(gòu)響應具有變異性，導致研究人員難以準確地對結(jié)構(gòu)的實際特性進行分析與判斷[1]。因此，如何準確量化這些不確定性成為當前工程界迫切需要解決的問題之一[2]。目前，不確定性分析方法中應用較為廣泛的是基于概率的分析方法，如隨機模型修正[3]和蒙特卡羅法[4]等。隨機模型修正對應于多組測試值，認為結(jié)構(gòu)響應是分布范圍，修正參數(shù)結(jié)果為分布參數(shù)或者概率密度函數(shù)[5]。該方法通常假設(shè)不確定性參數(shù)為服從某種概率分布的隨機變量，通過構(gòu)建一個反問題來求得結(jié)構(gòu)參數(shù)的概率統(tǒng)計特征[6]。其在每個迭代優(yōu)化過程都需要進行不確定性的正反向分析，因此需要較高的計算成本。同時，由于考慮了不確定性，優(yōu)化過程容易出現(xiàn)病態(tài)的優(yōu)化問題，導致無法收斂的情況。為了簡化隨機模型修正過程，文獻[7]提出將隨機模型修正分解為一系列確定性修正過程，通過大量確定性樣本來反演得到大量參數(shù)，從而進行概率統(tǒng)計分析。該方法概念簡單，使得復雜工程結(jié)構(gòu)的隨機模型修正問題更容易實現(xiàn)。

然而，在實際工程結(jié)構(gòu)中，由于現(xiàn)場測試條件及測試成本等因素的限制，往往僅能獲得少量的樣本數(shù)據(jù)，不足以形成有效的分布，無法為不確定性參數(shù)識別提供有效的概率信息。若是人為假定不確定性參數(shù)服從某種概率分布，當此假設(shè)與現(xiàn)實不符時，可能導致錯誤的計算結(jié)果。為了解決該問題，筆者結(jié)合響應面模型修正和Bootstrap重抽樣技術(shù)，提出一種改進的不確定性參數(shù)識別方法。該方法首先采用逐步回歸分析(Stepwise Regression，SR)建立表達參數(shù)與響應之間的復雜關(guān)系的響應面模型。然后采用Bootstrap抽樣技術(shù)對有限的實測數(shù)據(jù)進行重新抽樣，得到大量符合原始數(shù)據(jù)特征的Bootstrap樣本。以Bootstrap樣本為輸入，結(jié)合響應面模型構(gòu)造優(yōu)化反演過程來計算各個Bootstrap樣本所對應的一組參數(shù)，進而基于大量樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到不確定性參數(shù)的均值和標準差。采用以一組試驗鋼板和一座鐵路鋼桁橋來驗證所提方法的可行性與可靠性。

1 基于SR的響應面模型修正方法

響應面模型修正是通過對樣本數(shù)據(jù)進行回歸分析，以顯式多項式逼近目標函數(shù)與設(shè)計變量之間的復雜隱式函數(shù)關(guān)系，得到簡化的結(jié)構(gòu)模型，代替初始有限元模型，然后在此基礎(chǔ)上進行迭代修正[8-9]。常用二次多項式響應面如式(1)所示。

(1)

式中,β0，βi，βii，βij是待定系數(shù)；xi為參數(shù)主效應；xixj為參數(shù)之間的相互效應。

假設(shè)回歸方程中引入了L項，則其中的第i項的顯著性可由下式衡量：

(2)

首先確定顯著水平α，然后確定引入多項式的臨界值FL1和剔除臨界值FL 2。在考慮全部自變量對y的顯著程度大小，若其Fi值大于引入臨界值FL1，則說明此變量是顯著的，需引入回歸方程。己被引入回歸方程的變量在引入新變量后也可能造成顯著性下降，從而需要從回歸方程中剔除出去。因此引入后需要重新計算各展開項的Pi，并確定具有最小偏回歸平方和的展開項的F檢驗值，若該值大于FL2，則說明該展開項是顯著的，需要保留在回歸方程中；反之，則剔除[10-12]。

在得到響應面模型后，需要對其精度檢驗。目前常用的3種準則的表達式如下：

(3)

(4)

(5)

通過上述分析可以看出：楚雄市公示語英譯存在的問題較多，為了提高公示語翻譯的準確性，筆者認為應該從以下四個方面來規(guī)范公示語的翻譯與使用。

最后，以得到響應面模型代替有限元模型進行修正，因此有限元模型修正可轉(zhuǎn)化為以下的優(yōu)化問題：

(6)

s.t.VLB≤Χ≤VUB，

式中,X為設(shè)計參數(shù)；fE為試驗值；fA為分析值；wi為權(quán)重系數(shù)；VLB和VUB是參數(shù)設(shè)計空間范圍。

2 不確定性參數(shù)識別流程

在實際工程結(jié)構(gòu)中，由于現(xiàn)場測試條件及測試成本等因素的限制，往往僅能獲得少量的樣本數(shù)據(jù)，不足以形成有效的分布，無法為不確定性參數(shù)識別提高準確的概率信息。美國斯坦福大學Efron教授于1979年提出的Bootstrap法可有效解決該問題。Bootstrap法是一種基于試驗觀測數(shù)據(jù)的模擬再抽樣來分析不確定性的工具，它運用模擬再抽樣技術(shù)代替理論分析，采用試驗觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征代替真實母體的特征。在擺脫了傳統(tǒng)統(tǒng)計方法中對于分布假定依賴的條件下，基于有限的試驗觀測數(shù)據(jù)模擬再抽樣出大量符合原數(shù)據(jù)特征的模擬樣本，從而為不確定性分析提供了足夠的樣本，然后在此基礎(chǔ)上進行統(tǒng)計推斷[13-14]。為此，筆者結(jié)合響應面模型修正和Bootstrap重抽樣技術(shù)，提出一種新的不確定性參數(shù)識別方法。所提方法的計算流程如下：

(1)假設(shè)結(jié)構(gòu)的實測響應X=(X1,X2,…,Xn)是來自總體F、容量為n的樣本,x=(x1,x2,…,xn)是一個已知的原生樣本。根據(jù)該樣本即可構(gòu)造原生樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)，如式(7)所示。

(7)

式中，k為x(1),x(2)，…,x(n)中不大于x(k)的樣本個數(shù)，1≤k

(2)相繼地、獨立地從Fn中抽取容量為n的Bootstrap樣本x1*,x2*,…,xn*。

(3)為快速地進行響應計算和參數(shù)反演，先通過試驗設(shè)計和逐步回歸分析方法建立表達設(shè)計參數(shù)與響應之間復雜關(guān)系的前i階模態(tài)頻率的響應面模型yi。并根據(jù)式(6)構(gòu)造優(yōu)化目標函數(shù)。

(4)將步驟(2)抽樣得到的bootstrap樣本分別代入優(yōu)化目標函數(shù)，采用序列二次規(guī)劃算法反演得到第j個設(shè)計參數(shù)值的n個值Pj1*,Pj2*,…,Pjn*。構(gòu)造統(tǒng)計量。

(8)

(9)

(10)

綜上所述所提方法的計算流程如圖1所示。

圖1 所提方法的計算流程圖Fig.1 Flowchart of calculation by proposed method

3 鋼板試驗驗證

以33塊具有相同名義尺寸及材料參數(shù)的鋼板為研究對象。鋼板的名義尺寸為564 mm× 110 mm × 1.45 mm，彈性模量、剪切模量、質(zhì)量密度的名義取值分別為210, 83 GPa及7 860 kg/m3。采用Shell單元建立鋼板的初始有限元模型，有限元模型的物理參數(shù)取名義尺寸及材料參數(shù)的名義取值。

為了預測參數(shù)的不確定性，在自由-自由邊界條件下，采用錘擊法對這33塊鋼板進行模態(tài)試驗，得到33塊鋼板的前5階模態(tài)頻率值及其統(tǒng)計特征值，如表1所示[15]。假設(shè)模態(tài)頻率的變異性是由材料參數(shù)不確定性所引起的，采用所提方法識別鋼板的不確定性參數(shù)。

表1 頻率實測值及其統(tǒng)計特征值(單位：Hz)Tab.1 Measured frequencies and statistical features(unit:Hz)

以鋼板的材料參數(shù)E和G作為修正參數(shù)，研究表明，待修正參數(shù)的初始區(qū)間范圍(不確定性大小)對參數(shù)區(qū)間的最終估計精度影響很小，可設(shè)置較大[7]?？紤]到鋼材材料參數(shù)通常具有5%的變異性，結(jié)合相關(guān)文獻鋼板單軸拉伸試驗結(jié)果，確定參數(shù)E，G的初始區(qū)間分別為[199.5，220.5]、[78.85，87.15]。采用中心復合設(shè)計確定試驗點并計算試驗點所對應的響應，如表2所示。為提高修正效率，采用逐步回歸分析方法擬合前5階模態(tài)頻率的響應面模型，式(11)為第1階模態(tài)頻率的響應面模型表達式。

f1=24.27+0.63E-0.021G-0.005 2E·G-0.005 5E2+0.003 1G2。

(11)

表2 中心復合試驗設(shè)計表Tab.2 Design table for central composite experiment

由于樣本數(shù)量較小，難以準確估計實測頻率的統(tǒng)計特征值，為此以實測得到的33組模態(tài)頻率值作為原始樣本，采用Bootstrap重抽樣技術(shù)，每次生成1組前5階模態(tài)頻率，每階模態(tài)頻率有33個取值，結(jié)合響應面模型，構(gòu)建確定性的優(yōu)化反問題，計算得到33組材料參數(shù)取值，經(jīng)統(tǒng)計分析可計算每組材料參數(shù)的均值和標準差。重復抽樣1 000次可計算得到1 000組材料參數(shù)的均值和標準差。根據(jù)式(9)和式(10)估計得到E和G的均值和標準差，如表3所示。為了方便比較分析，表3中還列出了隨機模型修正法[15]及改進的隨機模型修正法[7]的識別結(jié)果。從表3可知所提方法預測的彈性模量和剪切模量值與分別采用隨機模型修正法[15]及改進的隨機模型修正法[7]得到的預測值的誤差很小，符合鋼材材料特性取值。頻率預測均值結(jié)果如表4所示。由表4可知所提方法的頻率預測均值誤差比隨機模型修正法[15]及改進的隨機模型修正法[7]的誤差來得小。從表5的頻率標準差比較結(jié)果可知，3種方法修正后的預測頻率標準差均有所改善，但誤差仍然較大，因此如何提高標準差的修正精度仍是一個亟待解決的問題。根據(jù)圖2和圖3可知，所提方法預測頻率分布范圍與實測分布范圍較為接近，驗證了所識別的不確定性參數(shù)取值的準確性。

表3 鋼板材料參數(shù)的統(tǒng)計特征估計值(單位:GPa)

Tab.3 Estimated statistical features of material parameters of steel plate(unit:GPa)

預測值隨機模型修正改進的隨機模型修正所提方法EGEGEG均值209.683.8209.284.9206.785.4標準差1.61.222.141.091.020.95

表4 實測及預測頻率的均值

Tab.4 Mean values of measured and predicted frequencies

模態(tài)實測值隨機模型修正法改進的隨機模型修正法所提方法修正后/Hz誤差/%修正后/Hz誤差/%修正后/Hz誤差/%124.1224.230.4724.210.3724.09-0.12266.9267.040.1866.930.0166.87-0.07377.6576.671.2577.410.3177.6504131.97131.930.03131.620.27132.380.315158.8156.861.22158.310.31159.01-0.13

表5 實測與預測頻率的標準差Tab.5 Standard deviations of measured and predicted frequencies

圖2 預測和實測的鋼板前3階模態(tài)頻率散點圖(單位：Hz)Fig.2 Scattergram of predicted and measured first 3 ordersmode frequencies(unit:Hz)

圖3 預測和實測的第3，4，5階模態(tài)頻率散點圖(單位：Hz)Fig.3 Scattergram of predicted and measured 3rd, 4th,5 order mode frequencies(unit:Hz)

4 既有鐵路鋼桁架橋不確定性參數(shù)識別

南京長江大橋是我國首座自行設(shè)計和建造的公鐵兩用橋梁。上部結(jié)構(gòu)由10孔鋼梁組成，浦口岸第1孔為128 m的簡支鋼桁梁，其余9孔為3聯(lián)3等跨160 m的連續(xù)鋼桁梁。為了驗證所提方法在復雜土木工程結(jié)構(gòu)不確定性參數(shù)識別上應用的可行性及可靠性，以南京長江大橋中間聯(lián)為研究對象，根據(jù)實測頻率值反演結(jié)構(gòu)參數(shù)的統(tǒng)計特征值。文獻[16]詳細介紹了該橋的振動測試，本文不再贅述。

南京長江大橋中間聯(lián)的有限元模型采用幾種不同單元類型來模擬不同的結(jié)構(gòu)構(gòu)件，采用三維梁單元beam4模擬主桁桿件、鐵路縱梁等，采用質(zhì)量單元mass21加在模型的上、下平聯(lián)相關(guān)節(jié)點上來考慮鐵路軌枕和無縫鋼軌等構(gòu)件對結(jié)構(gòu)的影響。模型中的Beam44梁單元4 395個，Mass21質(zhì)量單元552個，梁截面類型51種，節(jié)點總數(shù)1 597個。有限元模型如圖4所示。

圖4 有限元模型圖Fig.4 Finite element model

研究表明，鋼材的彈性模量受環(huán)境因素(尤其是溫度因素)的影響會產(chǎn)生一定程度的變化[6]。同時，鐵路軌枕和無縫鋼軌等構(gòu)件對結(jié)構(gòu)的影響采用等效質(zhì)量來考慮，具有較大的不確定性。因此本次識別以主桁桿件的彈性模量E、公路橋面及公路縱梁質(zhì)量M1、鋼軌及輕軌等效質(zhì)量M2這3個參數(shù)作為不確定性參數(shù)。初始材料參數(shù)取值如表6所示。

表6 初始材料參數(shù)取值范圍Tab.6 Initial value range of material parameters

為模擬不同時段的模態(tài)頻率值，筆者假設(shè)3個參數(shù)的實際均值為E=203.6 GPa,M1=8 503.9 kg,M2=534.8 kg，這3個參數(shù)分別具有3%，10%，10%的不確定性，采用拉丁超立方抽樣抽取30個樣本并計算樣本所對應的模態(tài)頻率值作為模擬實測模態(tài)頻率值。30組前5階模態(tài)頻率的概率統(tǒng)計特征值如表7所示。

采用中心復合設(shè)計進行試驗設(shè)計，然后在樣本點上進行有限元分析得到樣本數(shù)據(jù)，最后計算各展開項的貢獻值，確定引入和剔除的界限值，在逐步回歸分析過程中剔除對響應影響不顯著的展開項，得到前5階模態(tài)頻率響應面模型。限于篇幅，本文給出豎向第1階頻率響應面模型表達式如式(12)所示。

V1=0.55+0.027E-0.068M1-0.002 7M2-

0.003 2E·M1+0.012M12。

(12)

按照所提方法識別得到3個材料參數(shù)均值的標準差，如表8所示。從表8可以看出，預測與實測的材料參數(shù)統(tǒng)計特征值(均值和標準差)非常接近，誤差較小，這說明所提方法可以準確地識別不確定性參數(shù)的統(tǒng)計特征值。表7為預測和實測的頻率統(tǒng)計特征值(均值和標準差)的比較結(jié)果，從結(jié)果比較可得，預測頻率的均值與實測頻率的均值基本一致，最大誤差僅為-0.41%。從圖5和圖6可以看出，預測頻率分布與實測頻率分布吻合程度良好，這說明所提方法具有較高的識別精度。

表7 預測與實測模態(tài)頻率的統(tǒng)計特征值(單位：Hz)

Tab.7 Statistical feature values of predicted and measured mode frequencies(unit:Hz)

頻率修正值實測值相對誤差均值標準差均值標準差均值標準差V10.60350.00870.60440.0132-0.16-34.55V21.39250.01621.39260.02640.00-38.40V32.12750.01372.12330.02440.20-43.75H11.06830.00541.07270.0090-0.41-39.29H21.14540.00591.14190.00680.30-12.65

表8 材料參數(shù)的統(tǒng)計特征估計值Tab.8 Estimated statistical feature values of material parameters

圖5 實測和預測的前3階豎向模態(tài)頻率散點圖(單位：Hz)Fig.5 Scattergram of predicted and measured first 3 ordersvertical mode frequencies(unit:Hz)

圖6 預測和實測的豎向第3階及橫向前2階模態(tài)頻率散點圖(單位：Hz)Fig.6 Scattergram of predicted and measured 3 ordervertical and first 2 orders horizontal mode frequencies(unit:Hz)

5 結(jié)論

提出一種基于逐步回歸分析和Bootstrap重抽樣的不確定性參數(shù)識別方法。以一組鋼板試驗和鐵路鋼桁架橋算例來驗證所提方法的可行性及可靠性，得到以下幾點結(jié)論。

(1)所提方法將不確定性量化過程分解為一系列確定性的模型修正過程，簡化了不確定性正反分析過程且可準確地識別不確定性參數(shù)的概率統(tǒng)計特征值。

(2)采用逐步回歸分析方法進行響應面擬合可在保證計算精度的前提下有效地減少待定系數(shù)。用響應面模型代替有限元模型進行計算，通過確定性優(yōu)化反演可快速識別不確定性參數(shù)取值，提高了計算效率。

(3)引入Bootstrap重抽樣技術(shù)，通過對實測的多組頻率進行重抽樣得到符合原始數(shù)據(jù)特征的Bootstrap樣本，解決了小樣本數(shù)據(jù)下無法準確獲得響應的統(tǒng)計特征值和概率分布問題。

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Identification of Uncertain Parameters of Railway Steel Truss Bridge Based on Stepwise Regression and Bootstrap Resampling

LUO Yong-peng, HUANG Fang-lin, WU Yan-bin, LU Si-ping, SU Ze-ping

(School of Civil Engineering, Central South University, Changsha Hunan 410075, China)

In order to obtain the probabilistic statistical feature of uncertain parameters，a new uncertain parameters identification method based on stepwise regression analysis and Bootstrap resampling is proposed. First, according to the reasonable experiment design, the test points is determined and the corresponding responses of test point are calculated in the method, the optimal response surface model which expresses the relationship of design parameters and responses is constructed based on the stepwise regression analysis. Secondly, in the case of small samples, the Bootstrap resampling technology is used for the resampling of the measured responses to get the large-scale samples. Combining with the response surface model, the optimization inversion procedure is constructed to obtain the corresponding parameter values of each Bootstrap sample, and the means and standard deviations of the parameters are obtained by probabilistic statistical analysis. Finally, the feasibility and reliability of the proposed method are verified by the calculation examples of a set of test steel plates and of an existing railway steel truss bridge. The result shows that (1) the proposed method can accurately identify the probabilistic statistical feature values of uncertain parameters; (2) compared with the stochastic model updating, the proposed method has a higher computational efficiency in the case of high precision and can be used in the quantitative analysis of uncertain parameters of complex engineering structure.

bridge engineering; uncertain parameter identification; Bootstrap resample; railway steel truss bridge; model updating

2016-03-30

國家自然科學基金項目(51378504)；貴州省交通廳科技項目(2013-122-001)；中南大學中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金項目(2015zzts058)

駱勇鵬(1989-)，男，福建泉州人，博士研究生.(lyp-luo@163.com)

10.3969/j.issn.1002-0268.2016.11.016

U446.1

A

1002-0268(2016)11-0104-07