程 謙，張大力，侯立文

(1. 上海交通大學(xué) 中美物流研究院，上海200030；2. 上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海200030)

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具有時間窗的取送貨問題建模和大鄰域搜索算法

程 謙1，張大力1，侯立文2

(1. 上海交通大學(xué) 中美物流研究院，上海200030；2. 上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海200030)

針對新型物流業(yè)態(tài)中出現(xiàn)的路徑優(yōu)化問題，建立了一類具有不同起點和不同終點的帶時間窗取送貨問題模型. 根據(jù)模型特點，設(shè)計了一類大鄰域搜索算法對大規(guī)模問題進(jìn)行求解. 該算法引入了匹配度的概念和時差插入法，以提高搜索效率. 通過設(shè)計一類與精確求解工具進(jìn)行比較的方案，驗證了算法的有效性.

取送貨問題；時間窗；大鄰域搜索算法

具有時間窗約束的取送貨問題(pickup and delivery problem with time windows, PDPTW)是一類特殊的具有時間窗的車輛路徑規(guī)劃問題(VRPTW). 在PDPTW問題中，車輛被安排前往不同的地點取貨并將貨物送往相應(yīng)目的地，車輛到達(dá)每個取貨點或目的地的時間均有約束.

PDPTW的相關(guān)文獻(xiàn)最早可追溯到1980年，Psarafis[1]采用動態(tài)規(guī)劃的方法求解了需求少于10個的算例. 隨后出現(xiàn)的精確算法包括分支定價法[2]和分支剪切法[3].而更多文獻(xiàn)專注于設(shè)計啟發(fā)式算法以增大可求解的PDPTW規(guī)模. Nanry等[4]最早采用了禁忌搜索算法進(jìn)行求解，并創(chuàng)建了一組基準(zhǔn)算例來檢測算法的效果，每個算例最多包含50個需求. 此后Li等[5]提出了一種整合模擬退火和禁忌搜索的算法，并進(jìn)一步擴(kuò)大了算例的規(guī)模至100個需求. Lau[6]等提出了禁忌搜索算法中幾種構(gòu)建路徑的方法. Bent等[7]采用了兩階段混合算法，第一階段用模擬退火算法減少車輛數(shù)，第二階段用大鄰域搜索算法(Large Neighborhood Search, LNS)最小化路徑長度. Ropke等[8]在此基礎(chǔ)上提出了自適應(yīng)大鄰域搜索算法. 據(jù)我們了解，目前國內(nèi)對PDPTW的研究有限，最近的結(jié)果主要為潘立軍[9]提出的一類時差插入法，以及以該插入法為基礎(chǔ)的遺傳算法.國外最近的研究進(jìn)展主要集中于具有特殊結(jié)構(gòu)的PDPTW. 例如需求可拆分的PDPTW[10]和具有后進(jìn)先出的裝載約束的PDPTW[11].

PDPTW的傳統(tǒng)應(yīng)用領(lǐng)域包括車輛調(diào)度、航空調(diào)度、校車路線規(guī)劃等. 伴隨著新型業(yè)態(tài)的出現(xiàn)，PDPTW的一般形式已經(jīng)不能滿足實用性的要求. 例如，在傳統(tǒng)PDPTW中所有車輛具有同一出發(fā)點和終點，且所有需求都要被滿足. 而在拼車平臺中，車輛通常有事先確定的起點和終點，且并不是所有需求都能匹配到合適的運(yùn)輸車輛.

基于以上實用性要求，本文對于PDPTW模型進(jìn)行了進(jìn)一步拓展：首先放松了以往PDPTW中對于所有車輛必須從同一地點出發(fā)和到達(dá)同一地點的假設(shè)，并增加了車輛起點和終點的時間窗約束，同時放松了所有需求都要被滿足的要求. 在算法方面，本文設(shè)計了一類大鄰域搜索算法，通過計算需求與路徑的匹配度，提升算法中的路徑重構(gòu)效率.

1 模型建立

本文考慮了一類具有若干運(yùn)輸車輛和多個運(yùn)輸需求的PDPTW模型. 運(yùn)輸車輛事先都有一個預(yù)定的運(yùn)輸任務(wù)，即給定了起點、終點和初始載貨量，不同車輛的起點、終點各不相同. 車輛在完成預(yù)定任務(wù)的過程中，可以選擇接受其他運(yùn)輸需求以提高運(yùn)營效率. 這些運(yùn)輸需求的取貨點、送貨點和運(yùn)輸貨量也各不相同. 模型中的所有節(jié)點(包括車輛起點和終點)都存在時間窗約束，車輛不能晚于時間窗結(jié)束時間到達(dá)，但可以早于時間窗開始時間到達(dá)，并等候至?xí)r間窗開始時間再進(jìn)行裝卸貨. 模型的目標(biāo)是把運(yùn)輸需求(不要求全部滿足)分配給運(yùn)輸車輛并安排其訪問路線，在滿足時間窗和載貨上限等約束條件下，使得系統(tǒng)運(yùn)營利潤最大.為簡化模型，這里假設(shè)裝卸貨時間忽略不計. 同時各點之間的距離和行駛時間對稱.

模型定義在全連通圖G= (N,A)上. 其中點集N: ={1,2,…,2m+2n}，弧集A: ={:i,j∈N,i≠j}. 模型中共有m個的服務(wù)車輛和n個運(yùn)輸需求，我們定義車輛k的起點為k，終點為k+m+n，，需求i的取貨點為m+i，送貨點為2m+n+i. 集合Om:={1,2,…,m}和Dm:={m+n+1,m+n+2,…,2m+n}分別代表車輛的起點集合和終點集合. 集合On:={m+1,m+2,…,m+n}和Dn:={2m+n+1, 2m+n+2,…, 2m+2n}分別代表需求的取貨點集合和送貨點集合. 此外圖中不存在其他節(jié)點，也即N: =Om∪On∪Dm∪Dn. 圖中每個節(jié)點i都對應(yīng)一個貨量參數(shù)qi，當(dāng)qi為正時代表取貨點，當(dāng)qi為負(fù)時代表送貨點，有qi=-qm+n+i. 同時每個節(jié)點i都對應(yīng)一個時間窗[ai,bi]. 車輛在i點開始裝卸貨的時間必須晚于ai且早于bi.A中每條弧 都對應(yīng)一個距離參數(shù)dij和行駛時間參數(shù)tij. 集合V表示車隊.V中每輛車的載貨上限都為c.

本文模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

?k∈V

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

目標(biāo)函數(shù)(1)是整個系統(tǒng)的運(yùn)營利潤，其中收益是貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量乘以收費(fèi)費(fèi)率u；貨運(yùn)的成本是行駛距離乘以單位距離運(yùn)費(fèi)v. 因此系統(tǒng)總利潤為：

上式等價于

這里我們考慮一下σ的含義. 令目標(biāo)函數(shù)等于0，即系統(tǒng)保持盈虧平衡時，有

其中:分子為所有被服務(wù)的需求產(chǎn)生的總周轉(zhuǎn)量；分母為各車輛行駛總距離乘以其載貨上限c的總和. 所以σ的含義為保持盈虧平衡的平均裝載率.在下文的實驗中，將分別選取不同的σ進(jìn)行計算，并比較結(jié)果.

2 算法設(shè)計

大鄰域搜索算法(Large Neighborhood Search, LNS)最早由Shaw于1997年提出，其搜索機(jī)制包括拆解-重構(gòu)兩個步驟，本文的拆解步驟即為移除路徑中的部分需求，重構(gòu)步驟為將剩余需求插入路徑. LNS與傳統(tǒng)的鄰域搜索算法的主要區(qū)別在于每次迭代搜索的范圍更大，所得的局部最優(yōu)解的質(zhì)量更好，當(dāng)然每次迭代耗時也更長. 針對約束偏多的問題，LNS算法較容易產(chǎn)生可行的鄰域解，同時便于以取貨點-送貨點對作為基本操作單位，非常適合用于本文模型的求解. 以下是本文所設(shè)計的LNS算法框架：

首先，生成初始解x，取當(dāng)前最優(yōu)解xoptimal=x；(見2.1節(jié))

While 終止條件(連續(xù)Num次迭代后都沒有產(chǎn)生新的最優(yōu)解)不滿足：

隨機(jī)移除當(dāng)前解x所形成的路徑中的若干需求；(見2.2節(jié))

將未被當(dāng)前解x選中的需求按匹配度依概率分配到各個車輛的路徑中；(見2.3節(jié))

對分配給各車輛的需求重新進(jìn)行隨機(jī)排列(增加插入順序的隨機(jī)性，擴(kuò)大搜索范圍)；

將重排后的需求按順序依次嘗試插入對應(yīng)的路徑，得到新解x′； (見2.4節(jié))

If目標(biāo)函數(shù)值f(x′)滿足接受條件(見2.5節(jié))

x=x′；

End if

If目標(biāo)函數(shù)值f(x′)>f(xoptimal)

xoptimal=x’；

End if

End while

輸出最優(yōu)解xoptimal.

2.1 生成初始解

本文采用平行插入的方法構(gòu)造初始解. 首先生成m條只包含車輛起點和終點的路徑，再將剩余需求依次插入路徑中的最佳位置(插入方法見2.4)，直到目標(biāo)函數(shù)不再增大為止. 由于生成的初始解由需求插入的順序決定，這里采用以下方法來選擇每一次插入的需求：

假設(shè)Δfir表示將需求i插入路徑r后目標(biāo)函數(shù)的最大增量，當(dāng)需求i無法插入r或插入后增量為負(fù)時取Δfir=0. 如果把各條路徑按Δfir值從大到小排列，ril表示排名第l的路徑，l=1,2,…,m. 則每次插入選擇的需求i為：

上式可以看作如果不把i插入當(dāng)前最優(yōu)路徑將可能造成的損失，每次插入時應(yīng)避免造成最大的損失.

2.2 需求移除

本文采取的移除方法為等概率隨機(jī)移除各路徑上的N個需求，其中N為一隨機(jī)正整數(shù)，取值范圍為1，2，…，Nmove，其中Nmove為N能取到的最大值，各數(shù)值的選取概率為1/Nmove.

2.3 需求的重新分配

在路徑重構(gòu)過程中，未被選中的需求(包括本次移除和上次重構(gòu)時未被插入的需求)將被分配到各條路徑以待插入. 本文采用了隨機(jī)分配的方式以保證搜索范圍足夠大，并設(shè)計了一種評價機(jī)制，稱為匹配度，以使需求以更大概率與合適的路徑相匹配，增加搜索效率.

假設(shè)需求i的取貨點為i，送貨點為i′, 需求j的取貨點為j，送貨點為j′.rij為連接i，i′，j，j′四個點且滿足時間窗、貨量約束的路徑中最短的一條，該路徑總距離為drij,dii′為i與i’之間的距離，djj′為j與j′之間的距離. 則需求i與j的匹配度為：

其中:φij的取值范圍為0到1，φij的值越大，需求i與j的匹配度越高，也就是說越適合放入同一條路徑. 如圖1，圖1(A)中的φij值更大，接近1，則匹配度也更高.

圖1 不同匹配度下兩個需求的位置關(guān)系示意圖

需求與車輛之間的匹配度定義與需求之間的匹配度類似. 假設(shè)需求i的取貨點為i，送貨點為i′，車輛k的起點為k，終點為k′. 由于路徑的起點和終點已經(jīng)確定，所以只存在一條訪問路徑rik. 需求i與路徑k的匹配度為:

如果上述rij或rik不存在，也即不存在符合約束條件的路徑. 則規(guī)定φij或φik為負(fù)無窮大.

接下來，需求與某路徑之間的匹配度即為需求與該路徑上各需求/車輛之間的匹配度的平均值. 假設(shè)路徑r={k,j1,j2,…jn}，即路徑r中包含了車輛k以及需求,j1,j2,…,jn. 則需求i與路徑r的匹配度為：

如需求i與路徑r中的某個需求j或車輛k之間的匹配度為負(fù)無窮大，則表明不存在滿足約束條件的路徑能同時訪問這4個點. 所以需求i不可能成功插入路徑r. 此時φir=0. 根據(jù)需求與路徑之間的匹配度，即可將需求以輪盤賭的方式分配到路徑中去. 假設(shè)共有m條路徑r1,r2,…rm，則將需求i分配到路徑ri的概率為：

2.4 最佳插入位置

在計算將某節(jié)點插入某路徑的最佳位置時，本文參考了潘立軍等[9]的時差插入法以提高檢驗時間窗和載貨量約束的速度. 不同之處在于本文的算法得到的是最優(yōu)解，而不是較優(yōu)解.

首先對于路徑上的節(jié)點i，定義下列參數(shù)：

Ei為車輛在i點開始裝卸的最早時間;Li為車輛在i點開始裝卸的最晚時間;Qi為車輛在i點作業(yè)后的裝載量.

對于路徑的起點k和終點k+m+n，有：

Ek=ak

Lk+m+n=bk+m+n

Qk=qk

Ei，Li和qi的值可以由正向或逆向遞推得到，假設(shè)車輛先后訪問了節(jié)點i和j，則有：

Ej=max{Ei+tij,aj}

Li=min{Lj-tij,bi}

Qj=Qi+qj

將節(jié)點p插入路徑上相鄰兩點i與j時，判斷其滿足時間窗和載貨量約束的充要條件為同時滿足：

min{Lj-tpj,bp}≥max{Ei+tip,ap}

(15)

Lj-Ei≥tip+tpj

(16)

Qp≤c

(17)

假設(shè)需求的取貨點和送貨點分別為p和p′，則最優(yōu)插入位置的算法具體步驟如下：

1)計算當(dāng)前路徑上各點的Ei，Li和Qi.

2)從路徑起點之后的位置到路徑終點之前的位置依次嘗試插入p點，根據(jù)式(15)～(17)判斷插入是否滿足約束. 如果滿足，將該點插入路徑，繼續(xù)執(zhí)行下面p′的插入步驟，然后嘗試下一個插入位置；否則跳過p′的插入，直接嘗試下一個位置.

3)更新路徑上各點的Ei，Li和Qi.

4)將p點后的位置設(shè)為p′插入的初始位置Istart. 計算初始位置后路徑上各點的Qi值，若所有Qi值都小于c，則將路徑終點前的位置記為終止位置Iend. 若存在Qi值大于，則將第一個出現(xiàn)該情況的點之前的位置記為終止位置Iend.

5)從Istart到Iend依次嘗試插入p′，根據(jù)式(15)、(16)判斷其是否滿足時間窗約束. 如果滿足，計算插入后目標(biāo)函數(shù)的增量，執(zhí)行步驟6，再嘗試下一個插入位置. 如果不滿足，跳過下面的步驟，直接移至下一個位置.

6)將步驟5計算的目標(biāo)函數(shù)增量與當(dāng)前最優(yōu)方案比較. 如果大于當(dāng)前最大的目標(biāo)函數(shù)增量，則更新該數(shù)值，并記當(dāng)前插入方案為最優(yōu)方案.

在搜索迭代過程中，算出最佳插入位置和目標(biāo)函數(shù)的增量后，還需判斷是否接受該插入方案，具體的判斷方法見2.5節(jié).

2.5 鄰域解接受條件

在判斷是否接受新產(chǎn)生的鄰域解時，本文采用了模擬退火作為接受條件，以避免陷入局部最優(yōu). 假設(shè)當(dāng)前解為x，新產(chǎn)生的鄰域解為x′則接受x′作為新的當(dāng)前解的概率為min{ef(x′)-f(x)/T，1}. 其中為目標(biāo)函數(shù)值，T為淬火溫度，T的值會隨著迭代的進(jìn)行逐步減小，使接受條件越來越苛刻. 每次迭代后取T=T·γ，其中γ為冷卻率，有0<γ<1. 每當(dāng)有新的最優(yōu)解產(chǎn)生后，將T恢復(fù)為初始值Tstart. 這里把Tstart設(shè)置為以50%的概率接受比當(dāng)前解小α%的鄰域解，則有.

Tstart=-α%·|f(x)|/ln0.5

對于2.4節(jié)中需求插入路徑的過程，本文同樣采用了模擬退火算法來判斷是否接受插入，這樣可以避免多個需求同時插入后可增大目標(biāo)函數(shù)而單個插入不被接受的情況. 由于單個需求插入引起的改變量相對較小，這里取溫度T′=T/m.

3 算法測試與比較

傳統(tǒng)的PDPTW的求解目標(biāo)為最小化車輛數(shù)和車輛行駛距離，不具備與本文模型的直接可比性. 因此本文采用了精確求解軟件Cplex作為對照. 受計算機(jī)計算能力的影響，Cplex可求解的問題規(guī)模有限. 這里首先用Cplex嘗試精確求解小規(guī)模算例，測試本文算法求解的精確度，具體內(nèi)容見3.1節(jié). 對于大規(guī)模問題，本文以Cplex為基礎(chǔ)設(shè)計了一種分組求解的方法，與啟發(fā)式算法進(jìn)行比較，具體內(nèi)容見3.2節(jié).

本文的LNS算法采用MatlabR2014a編程實現(xiàn). 算例改編自Ropke[8]的算例.

3.1 精確求解的算例結(jié)果對比

精確求解的算例結(jié)果比較見表1. 各算例均運(yùn)行于酷睿I3處理器，4G內(nèi)存的PC. 表中算例編號的前兩位表示節(jié)點數(shù)量. 在參數(shù)方面，取迭代次數(shù)Num為3 000，需求移除數(shù)量上限Nmove為5，接受條件參數(shù)取0.05，冷卻率γ取0.998 7.

表1 精確求解的算例結(jié)果對比

算例編號σCplexLNS目標(biāo)函數(shù)值CPU時間/s目標(biāo)函數(shù)值CPU時間/s目標(biāo)函數(shù)值誤差/%40A0.135521233552113040B0.219185111918517040C0.3-53993-539915040D0.4-134303-1343012040E0.5-371416-3714112040F0.6-352532-3525311040G0.7-565562-5655613050A0.137176249836471191.9050B0.222903159022833180.3150C0.3-22014-220111050D0.4-2456312-2456312050E0.5-378543-3785410050F0.6-496493-4964911050G0.7-447642-4476410060A0.1——5104326—60B0.21707100170720060C0.3——185618060D0.4-1307717-1307717060E0.5-3570410-3570434060F0.6-277445-2774419060G0.7-646075-6460718070A0.1——3556926—70B0.2——1759824—70C0.3——-926420—70D0.4-228829-2288221070E0.5-437894-4378924070F0.6-570676-5706723070G0.7-725806-72580370

從表1中可以看出，本文設(shè)計的LNS算法在絕大部分情況下都可以得到最優(yōu)解，且計算時間相對穩(wěn)定. 而用Cplex求解時部分算例無法求出最優(yōu)解. 出現(xiàn)誤差的兩個算例的σ值都很小，分別為0.1、0.2，意味著車輛選擇需求的條件較寬松，或者說對匹配度的要求不高. 這也與本文的算法特點相吻合，說明本文算法更適用于σ較大的情況.

3.2 大規(guī)模算例結(jié)果對比

對于大規(guī)模算例，用Cplex常常無法求解. 本文先將其分組為多個可精確求解的算例(每組算例包含數(shù)量不等的車輛和需求)，再分別用Cplex求解，這樣就得到了一個可行解. 由于不能保證分組的結(jié)果為最優(yōu)，所以用該方法求出的目標(biāo)函數(shù)值是最優(yōu)值的下界.

分組方法為：首先用K-means聚類法把車輛分為t組，聚類的評價指標(biāo)為車輛起點、終點的坐標(biāo)和時間窗共8個參數(shù). 再對需求進(jìn)行分組，本文采用了類似于根據(jù)匹配度分配需求的方式. 假設(shè)需求i的取貨點為i，送貨點為i′,車輛k的起點為k，終點為k′. 則有

當(dāng)聚類個數(shù)t越小，每組的分到的節(jié)點數(shù)越多，而Cplex無法求出最優(yōu)解的可能性越大. 因此，先把t設(shè)為一個較大的數(shù)，再逐步減小t值，嘗試分組計算，直到Cplex無法求解為止. 為了防止分組不均導(dǎo)致個別組求解困難，這里規(guī)定每組節(jié)點數(shù)上限不能超過每組平均節(jié)點數(shù)的1.3倍.

本算例包含50個車輛，250個需求，共600個節(jié)點，運(yùn)行于酷睿I7處理器，8G內(nèi)存的PC. 在參數(shù)方面，平均裝載率σ取0.3，迭代次數(shù)Num取10 000，移除數(shù)量上限Nmove為5，接受條件參數(shù)α取0.05，冷卻率γ取0.998 7. 計算結(jié)果的對比見表2和圖2，可以看出，LNS算法求解具有很大優(yōu)勢.

表2 大規(guī)模算例結(jié)果對比

求解方法分組數(shù)量t目標(biāo)函數(shù)值CPU時間/sCplex分組求解19467381121848152135174298828316514856811552718177614648033218LNS求解—861831503

圖2 Cplex分組求解結(jié)果趨勢圖

4 結(jié) 語

由于傳統(tǒng)PDPTW已不能滿足新型物流業(yè)態(tài)中出現(xiàn)的實用性要求，本文建立了車輛從不同起點出發(fā)到達(dá)不同終點，且車輛起點和終點具有時間窗約束的PDPTW模型. 針對該模型特征，本文設(shè)計了大鄰域搜索算法，并通過引入匹配度的概念以及時差插入法，提升算法的運(yùn)算效率. 算例測試的結(jié)果顯示，該算法具有良好的求解速度和質(zhì)量.

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Study on model for pickup and delivery problem with time windows and large neighborhood search algorithm

CHENG Qian1, ZHANG Da-li1, HOU Li-wen2

(1.Sino-US Global Logistics Institute, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030,China; 2. Antai Economic and Management School of Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030, China)

In order to solve the newly emerged route optimization problem in logistics industry, a model of pickup and delivery problem with time windows was built in this paper, in which vehicles were assigned with different originations and destinations. Time windows for drivers are also taken into account. According to the characteristic of this model, a large neighborhood search algorithm was proposed, in which matching rate is introduced to increase search efficiency. Finally, a comparative test was conducted between the algorithm and exact solver. The effectiveness of the algorithm was verified.

pickup and delivery problem; time window; large neighborhood search algorithm

2016-01-07.

國家自然科學(xué)基金資助項目(71372108)

程 謙(1989-)，男，碩士，研究方向：物流系統(tǒng)優(yōu)化.

F252

A

1672-0946(2016)06-0734-06